2022-2023學年天津市南開中學高三下學期第四次月考數學試題含答案

這是一份2022-2023學年天津市南開中學高三下學期第四次月考數學試題含答案，共18頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，，則集合（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分又不必要條件
3. 函數的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
4. 學校組織班級知識競賽，某班的12名學生的成績（單位：分）分別是：，則這12名學生成績的分位數是（ ）．
A. 92B. 87C. 93D. 91
5. 已知，，，則的大小關系是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 已知一個正四棱柱所有棱長均為3，若該正四棱柱內接于半球體，即正四棱柱的上底面的四個頂點在球面上，下底面的四個頂點在半球體的底面圓內，則半球體的體積為（ ）．
A B. C. D.
7 已知函數，有下述三個結論：
①的最小正周期是；
②在區(qū)間上單調遞減；
③將的圖象上所有點向左平行移動個單位長度后，得到函數的圖象.
其中所有正確結論的編號是（ ）
A ①B. ②C. ①②D. ①②③
8. 已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，過作與一條漸近線平行的直線，交另一條漸近線于點，交拋物線的準線于點，若三角形（為原點）的面積，則雙曲線的方程為（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函數，若函數有4個零點，則實數a的取值范圍是（ ）．
A. B.
C D.
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．
10. 復數z滿足（i是虛數單位），則復數z為__________．
11. 在的展開式中，的系數是__________．
12. 直線l經過點P（5，5）且和圓C：相交，截得弦長為，則l的方程是______．
13. 某電視臺舉辦知識競答闖關比賽，每位選手闖關時需要回答三個問題．第一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤得0分；第三個問題回答正確得30分，回答錯誤得分．規(guī)定，每位選手回答這三個問題的總得分不低于30分就算闖關成功．若某位選手回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率是，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．則該選手僅回答正確兩個問題的概率是______；該選手闖關成功的概率是______．
14. 已知，，，則的最小值為__________．
15. 如圖，在邊長為1的正方形中，P是對角線上一點，且，則__________，若點M為線段（含端點）上的動點，則的最小值為__________．
三、解答題：
16. 在中，角所對的邊分別為.已知.
（1）求A的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD，，，，點P為棱DF的中點.
（1）求證：平面APC；
（2）求直線DE與平面BCF所成角的正弦值；
（3）求平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值.
18. 已知橢圓，其離心率為，右焦點為，兩焦點與短軸兩端點圍成的四邊形面積為.
（1）求橢圓的標準方程：
（2）直線與橢圓有唯一的公共點（在第一象限，此直線與軸的正半軸交于點，直線與直線交于點且，求直線的斜率.
19. 設是公比大于0的等比數列，是等差數列，已知，，，．
（1）求數列，數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
20. 已知函數，在點處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）已知，當時，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）對于在中的任意一個常數，是否存在正數，使得，請說明理由.
2023屆高三第四次月考
一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，，則集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
3. 函數的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4. 學校組織班級知識競賽，某班的12名學生的成績（單位：分）分別是：，則這12名學生成績的分位數是（ ）．
A. 92B. 87C. 93D. 91
【答案】C
5. 已知，，，則的大小關系是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
6. 已知一個正四棱柱所有棱長均為3，若該正四棱柱內接于半球體，即正四棱柱的上底面的四個頂點在球面上，下底面的四個頂點在半球體的底面圓內，則半球體的體積為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
7. 已知函數，有下述三個結論：
①的最小正周期是；
②在區(qū)間上單調遞減；
③將的圖象上所有點向左平行移動個單位長度后，得到函數的圖象.
其中所有正確結論的編號是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
【答案】C
8. 已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，過作與一條漸近線平行的直線，交另一條漸近線于點，交拋物線的準線于點，若三角形（為原點）的面積，則雙曲線的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
9. 已知函數，若函數有4個零點，則實數a的取值范圍是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．
10. 復數z滿足（i是虛數單位），則復數z為__________．
【答案】
11. 在的展開式中，的系數是__________．
【答案】
12. 直線l經過點P（5，5）且和圓C：相交，截得弦長為，則l的方程是______．
【答案】或
13. 某電視臺舉辦知識競答闖關比賽，每位選手闖關時需要回答三個問題．第一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得20分，回答錯誤得0分；第三個問題回答正確得30分，回答錯誤得分．規(guī)定，每位選手回答這三個問題的總得分不低于30分就算闖關成功．若某位選手回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率是，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．則該選手僅回答正確兩個問題的概率是______；該選手闖關成功的概率是______．
【答案】 ①. ②. ##0.5
14. 已知，，，則的最小值為__________．
【答案】12
15. 如圖，在邊長為1的正方形中，P是對角線上一點，且，則__________，若點M為線段（含端點）上的動點，則的最小值為__________．
【答案】 ①. ②.
三、解答題：
16. 在中，角所對的邊分別為.已知.
（1）求A的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出，利用正弦定理求出，即可求出A；
（2）先利用和差角公式求出，利用正弦定理求出c；
（3）利用二倍角公式和和差角公式即可求解.
【小問1詳解】
因為,所以.
因為，由正弦定理得：,所以.
因為，，所以.
【小問2詳解】
由（1）知：.
因為，所以
.
由正弦定理得：.
【小問3詳解】
由（1）知：.
所以.
.
所以.
17. 如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD，，，，點P為棱DF的中點.
（1）求證：平面APC；
（2）求直線DE與平面BCF所成角的正弦值；
（3）求平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）連接BD，交AC于點O，由中位線定理和線面平行判定定理即可證明結果；
（2）建立空間直角坐標系，寫出坐標，求得平面的法向量，根據線面角公式即可求得直線與平面所成角的正弦值；
（3）由（2）可知平面的法向量，再求得平面的法向量，利用空間向量法即可求出結果.
【小問1詳解】
證明：連接BD，交AC于點O，又P，O分別為DF和DB的中點，
所以，
因為平面APC，平面APC，所以平面APC；
【小問2詳解】
解：直線平面ABCD，平面ABCD，所以，
由（1）得，，
所以以A為原點，AB，AD，AF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
，，，，，，
所以，，
設平面BCF的法向量，
，，解得，
又.
設直線DE與平面BCF所成角的正弦值，
所以，
所以直線DE與平面BCF所成角的正弦值；
【小問3詳解】
解：由（2），，，
設平面APC的法向量為，
則，即，令，則，，
所以平面APC的法向量，
所以，
所以平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值為.
18. 已知橢圓，其離心率為，右焦點為，兩焦點與短軸兩端點圍成的四邊形面積為.
（1）求橢圓的標準方程：
（2）直線與橢圓有唯一的公共點（在第一象限，此直線與軸的正半軸交于點，直線與直線交于點且，求直線的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的標準方程；
（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，且，將直線的方程與橢圓的方程聯立，由可得出，列出韋達定理，求出點、的坐標，進而求出點的坐標，由已知可得出，可求得，結合可求得的值.
【小問1詳解】
解：由題意可得，解得，
因此，橢圓的標準方程為：.
【小問2詳解】
解：由題意可知，直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，且，
聯立，消去并整理，得，
，可得，
由韋達定理可得，，
，則點，
因為點在第一象限，則，則，直線的方程為，
在直線的方程中，令可得，即點，易知點，
，則直線的方程為，
聯立可得，即點，
因為，，即，即，可得，則，
將代入可得，則，
，解得.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用三角形面積之間的等量關系求出直線的斜率，解題的關鍵在于求出點的坐標，將三角形面積的等量關系轉化為兩點坐標之間的關系，進而構建等式求解.
19. 設是公比大于0的等比數列，是等差數列，已知，，，．
（1）求數列，數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據等比數列的通項公式列方程，求得公比，可求得其通項公式，繼而根據等差數列的通項公式列方程，求得首項和公差，可得其通項公式；
（2）由（1）的結論可得的表達式，分別利用錯位相減法和裂項求和法，即可求得.
【小問1詳解】
設等比數列的公比為q，，設等差數列的公差為d．
∵，，∴，
∵，∴，∴．
∵，，∴，
∴，∴．
【小問2詳解】
由（1）得，
令，，
記數列前項和為A，數列的前項和為B，
，①
則，②
①－②得，
，
∴，
又，
∴
，
∴．
20. 已知函數，在點處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）已知，當時，恒成立，求實數的取值范圍；
（3）對于在中的任意一個常數，是否存在正數，使得，請說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在；答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）求導，表示在點處切線方程，再由已知條件得出方程組，解之可得答案.
（2）由（1）可得，問題轉化為恒成立，令，求導，分析在上的單調性，由函數的最值可求得的取值范圍；
（3）假設存在正數，使得：成立.并轉化為函數的最小值小于0即可.求導，分析函數的單調性，得出最值，由此可得出正數的值.
【詳解】解：（1）函數的導數為，
在點處切線方程為，可得；
∴函數的切線方程為，即，
∴，解得；
（2）證明：由（1）可得，
∵，∴，即為，
可令，，
由，可得，，即有，在遞增，
可得，∴，
故的取值范圍為；
（3）對于在中的任意一個常數，
假設存在正數，使得：.
由成立，
從而存在正數，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可.
令，，
令，解得，令，解得，
則為函數的極小值點，即為最小值點.
故的最小值為，
再令，（），
，
則在遞增，可得，則.
故存正數，使得.
【點睛】本題考查導數的幾何意義，運用導函數分析函數的單調性和最值，不等式的恒成立問題的轉化，屬于難題.