?2022-2023學(xué)年廣東省梅州市豐順縣三友中學(xué)九年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。
1．二次函數(shù)y＝ax2﹣bx﹣5與x軸交于（1，0）、（﹣3，0），則關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝5的解為（　?。?br /> A．1，3 B．1，﹣5 C．﹣1，3 D．1，﹣3
2．下列不是一元二次方程的是（　?。?br /> A．（x+2）2＝3 B．x2＝3 C．x+22＝5 D．x﹣x2＝5
3．2022年油價多次上漲，新能源車企迎來了更多的關(guān)注，如圖是四款新能源汽車的標(biāo)志，其中是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（3，2）繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　　）

A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣1，3）
5．已知四邊形ABCD兩條對角線相交于點(diǎn)E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，則BE?DE
的值為（　　）

A．6 B．7 C．12 D．16
6．如圖，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，過點(diǎn)A作BC的平行線l，P為直線l上一動點(diǎn)，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點(diǎn)，則AE的最小值為（　　）

A． B．7﹣4 C． D．1
7．如圖，已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延長CB至E，使得BE＝b，以CD，CE為邊作矩形CEFD，連接并延長DB，交FE的延長線于點(diǎn)G，連接AG，《幾何原本》中利用該圖解釋了代數(shù)式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的幾何意義，以AG為直徑作圓，交AF于點(diǎn)H，若a＝9，b＝6，則HG的長為（　?。?br />
A．5 B．18 C．3 D．17
8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，如果AB＝20，CD＝16，那么線段OE的長為（　?。?br />
A．4 B．6 C．8 D．9
9．已知拋物線y＝x2+2mx+2022（m為常數(shù)）上有三點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣m﹣1，y1），點(diǎn)B（﹣m+1.5，y2），點(diǎn)C（2﹣m，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
10．向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間與高度的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮彈在第8秒與第16秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是（　?。?br /> A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。
11．y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+a2，在時有最大值6，則a＝　 　．
12．拋物線y＝x2+2x﹣1的對稱軸是　 　．
13．如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合（AB＝6），其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第20秒時點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動路徑長是 　 ?。?br />
14．若將拋物線y＝x2﹣6x+5所在的平面直角坐標(biāo)系中的x軸向上平移1個單位，把y軸向右平移2個單位，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系下的函數(shù)表達(dá)式為 　 ?。?br /> 15．如圖，已知拋物線y＝x2﹣7x+6與x軸的相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸的相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P，Q分別從A，O兩點(diǎn)同時以1cm/秒的速度沿AB，OC向B，C方向移動，用t（秒）表示移動時間，連接PQ，當(dāng)t為 　 　值時，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．

16．如圖，A，B，C三點(diǎn)都在⊙O上，已知∠AOC＝138°，則∠OAB+∠OCB＝　 　°．

17．定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”．
如圖，已知l1∥l2，l1與l2之間的距離為2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上，點(diǎn)A在直線l2上，△ABC有一邊的長是BC的倍．將△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C，A'C所在直線交l2于點(diǎn)D，則CD＝　 　．

三、解答題：第18，19，20小題6分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。
18．已知關(guān)于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，求m的取值范圍．
19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k2＝0的兩根x1、x2滿足x12+x22＝5，求k的值．
20．如圖，兩個圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)，AC＝2．求BD的長．

21．如圖，用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m．設(shè)矩形ABCD的面積為S（m2）．問AB長為多少時S最大，并求最大面積．

22．實(shí)施“雙減”政策后，某校每周舉行一次學(xué)科實(shí)踐作業(yè)秀活動，內(nèi)容有布藝、剪紙、卡通畫（分別用A，B，C依次表示這三種作業(yè)）．小聰和小明計(jì)劃每人選擇一種作業(yè)，上述三種作業(yè)中的每一種作業(yè)被選中的可能性均相同．請你用列表法或畫樹狀圖法，求小聰和小明選擇同一種作業(yè)的概率．
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y＝x2+bx﹣2過點(diǎn)C．求拋物線的表達(dá)式．

24．已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．

（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC，BD，CD的長；
（Ⅱ）如圖②，若∠CAB＝60°，求BD的長．
25．如圖1，將兩個等腰直角三角形紙片OAB和OCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C（0，1），點(diǎn)D（1，0）．

（1）求證：AC＝BD；
（2）如圖2，現(xiàn)將△OCD繞點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），連接AC，BD，這一過程中AC和BD是否仍然保持相等？說明理由；當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為　 　時，AC所在直線能夠垂直平分BD；
（3）在（2）的情況下，將旋轉(zhuǎn)角α的范圍擴(kuò)大為0°＜α＜360°，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，求△BAD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）．


參考答案
一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。
1．二次函數(shù)y＝ax2﹣bx﹣5與x軸交于（1，0）、（﹣3，0），則關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝5的解為（　?。?br /> A．1，3 B．1，﹣5 C．﹣1，3 D．1，﹣3
【分析】利用拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程根的聯(lián)系即可得出結(jié)論．
解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣bx﹣5的圖象與x軸交于（1，0），（﹣3，0）兩點(diǎn)，
∴方程ax2﹣bx＝5即ax2﹣bx﹣5＝0個根為1，﹣3，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，一元二次方程的根與拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法解答是解題的關(guān)鍵．
2．下列不是一元二次方程的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．x2＝3 C．x+22＝5 D．x﹣x2＝5
【分析】利用一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)為2次，這樣的整式方程為一元二次方程，判斷即可．
解：A、（x+2）2＝3是一元二次方程，不符合題意；
B、x2＝3是一元二次方程，不符合題意；
C、x+22＝5是一元一次方程，符合題意；
D、x﹣x2＝5是一元二次方程，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．
3．2022年油價多次上漲，新能源車企迎來了更多的關(guān)注，如圖是四款新能源汽車的標(biāo)志，其中是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重合，則這個圖形為中心對稱圖形判斷即可．
解：∵在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重合，則這個圖形為中心對稱圖形，
∴C選項(xiàng)中的圖形為中心對稱圖形，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查中心對稱圖形的知識，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（3，2）繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣1，3）
【分析】把點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形旋轉(zhuǎn)的問題，畫出圖形可解決問題．
解：點(diǎn)（3，2）繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，3）．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
5．已知四邊形ABCD兩條對角線相交于點(diǎn)E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，則BE?DE
的值為（　　）

A．6 B．7 C．12 D．16
【分析】由題意可知AB＝AC＝AD，點(diǎn)D、C、B在以點(diǎn)A為圓心的圓周上運(yùn)動，由相交弦定理可得，BE?DE＝CE?EF即可求出答案．
解：∵AB＝AC＝AD，
∴點(diǎn)D、C、B在以點(diǎn)A為圓心的圓周上運(yùn)動，
AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，
EF＝AE+AF＝3+4＝7，
由相交弦定理可得，
BE?DE＝CE?EF＝1×7＝7，
故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了相交弦定理，根據(jù)圓心和半徑構(gòu)建圓是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，過點(diǎn)A作BC的平行線l，P為直線l上一動點(diǎn)，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點(diǎn)，則AE的最小值為（　?。?br />
A． B．7﹣4 C． D．1
【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC＝120°，由此推出點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的上運(yùn)動，連接O'A交于E′，此時AE′的值最?。?br /> 解：如圖，連接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的上運(yùn)動，
連接O'A交于E′，此時AE′的值最?。藭r⊙O與⊙O'交點(diǎn)為E'．
∵∠BE'C＝120°
∴所對圓周角為60°，
∴∠BOC＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．
故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題．
7．如圖，已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延長CB至E，使得BE＝b，以CD，CE為邊作矩形CEFD，連接并延長DB，交FE的延長線于點(diǎn)G，連接AG，《幾何原本》中利用該圖解釋了代數(shù)式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的幾何意義，以AG為直徑作圓，交AF于點(diǎn)H，若a＝9，b＝6，則HG的長為（　　）

A．5 B．18 C．3 D．17
【分析】連接OE，EH，證明AD＝EH，然后根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理即可解決問題．
解：如圖，連接OE，EH，

∴OE＝AG，
∴點(diǎn)E在以AG為直徑的圓上，
∵DF∥AE，
∴＝，
∴AD＝EH，
∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，CD⊥AB且CD＝AB＝a，
∴AC＝a，CB＝a，
∴AD＝DB＝a，
∴HE＝AD＝a，
∵EF＝DC＝a，
∴HF＝＝＝a，
∵BE＝b，BE垂直于FG，
∴EG＝b，
∴FG＝EF+EG＝a+b，
∴HG＝＝，
∵a＝9，b＝6，
∴HG＝＝＝3．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段平分線的性質(zhì)及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到AD＝EH．
8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，如果AB＝20，CD＝16，那么線段OE的長為（　　）

A．4 B．6 C．8 D．9
【分析】根據(jù)垂徑定理可得，DE＝，在Rt△DOE中，根據(jù)勾股定理，OE＝，計(jì)算即可得出答案．
解：∵AB＝20，
∴OD＝10，
∵CD⊥AB，
∴DE＝＝，
在Rt△DOE中，
OE＝＝＝6．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理的應(yīng)用進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
9．已知拋物線y＝x2+2mx+2022（m為常數(shù)）上有三點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣m﹣1，y1），點(diǎn)B（﹣m+1.5，y2），點(diǎn)C（2﹣m，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據(jù)點(diǎn)A，B，C與對稱軸的距離大小關(guān)系求解．
解：∵y＝x2+2mx+2022，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝﹣m，
∴與對稱軸距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，
∵1＜1.5＜2，
∴y3＞y2＞y1．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．
10．向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間與高度的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）、若此炮彈在第8秒與第16秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是（　?。?br /> A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【分析】本題需先根據(jù)題意求出拋物線的對稱軸，即可得出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得出炮彈所在高度最高時x的值．
解：∵此炮彈在第8秒與第16秒時的高度相等，
∴拋物線的對稱軸是：x＝＝12，
∴炮彈所在高度最高的是第12秒．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，在解題時要能根據(jù)題意求出拋物線的對稱軸得出答案是本題的關(guān)鍵．
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。
11．y關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+a2，在時有最大值6，則a＝　2或﹣　．
【分析】分類討論：a＜0，a＞0，根據(jù)函數(shù)的增減性，可得答案．
解：當(dāng)a＜0，函數(shù)的最大值為y＝a2＝6，
解得：a1＝（不合題意舍去），a2＝﹣，
當(dāng)a＞0，x＝﹣1時，y最大值＝a+a2＝6，
解得：a＝2或a＝﹣3（舍去）．
綜上所述，a的值是2或﹣．
故答案是：2或﹣．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是最大值，利用函數(shù)的增減性得出函數(shù)的最值，分類討論是解題關(guān)鍵．
12．拋物線y＝x2+2x﹣1的對稱軸是　直線x＝﹣1?。?br /> 【分析】由對稱軸公式x＝﹣可得對稱軸．
解：∵對稱軸x＝﹣＝﹣＝﹣1，
∴對稱軸是直線x＝﹣1．
故答案為：直線x＝﹣1．
【點(diǎn)評】考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用對稱軸公式．也可以運(yùn)用配方法寫成頂點(diǎn)式求對稱軸．
13．如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合（AB＝6），其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第20秒時點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動路徑長是 　2π?。?br />
【分析】首先連接OE，由∠ACB＝90°，易得點(diǎn)E，A，B，C共圓，然后由圓周角定理，求得點(diǎn)E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)．
解：連接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴A，B，C在以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓上，
∴點(diǎn)E，A，B，C共圓，
∵∠ACE＝3×20°＝60°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝120°．
∴點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動路徑長＝＝2π，
故答案為：2π．

【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
14．若將拋物線y＝x2﹣6x+5所在的平面直角坐標(biāo)系中的x軸向上平移1個單位，把y軸向右平移2個單位，則該拋物線在新的平面直角坐標(biāo)系下的函數(shù)表達(dá)式為 　y＝x2﹣2x﹣4　．
【分析】根據(jù)題意易得新拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得新拋物線的解析式．
解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴頂點(diǎn)為（3，﹣4），
將x軸向下平移1個單位長度，將y軸向右平移2個單位長度得到拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣5），
∴該拋物線在新平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)解析式為：y＝（x﹣1）2﹣5＝x2﹣2x﹣4．
故答案為：y＝x2﹣2x﹣4．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握頂點(diǎn)平移的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，已知拋物線y＝x2﹣7x+6與x軸的相交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸的相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P，Q分別從A，O兩點(diǎn)同時以1cm/秒的速度沿AB，OC向B，C方向移動，用t（秒）表示移動時間，連接PQ，當(dāng)t為 　或或秒　值時，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．

【分析】先計(jì)算x＝0時的函數(shù)值得到C（0，6），解方程x2﹣7x+6＝0得B（1，0），A（6，0），所以O(shè)C＝6，OB＝1，OA＝6，則OQ＝t，OP＝6﹣t，由于∠POQ＝∠BOC，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)＝時，△OPQ∽△OBC，即＝；當(dāng)＝時，△OPQ∽△OCB，即＝，然后分別解方程即可．
解：當(dāng)x＝0時，y＝x2﹣7x+6＝6，則C（0，6），
當(dāng)y＝0時，x2﹣7x+6＝0，解得x1＝1，x2＝6，
∴B（1，0），A（6，0），
∴OC＝6，OB＝1，OA＝6，
∴OQ＝t，OP＝|6﹣t|，
∵∠POQ＝∠BOC，
∴當(dāng)＝時，△OPQ∽△OBC，
即＝，
解得t＝或；
當(dāng)＝時，△OPQ∽△OCB，
即＝，
解得t＝或﹣（舍去），
綜上所述，當(dāng)t＝或或秒時，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．
故答案為：或或秒．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題．
16．如圖，A，B，C三點(diǎn)都在⊙O上，已知∠AOC＝138°，則∠OAB+∠OCB＝　111　°．

【分析】先作出弧AC所對的圓周角∠D，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠D＝∠AOC＝50°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠ABC的度數(shù)．
解：如圖，∠D為弧AC所對的圓周角，
∵∠D＝∠AOC，
而∠AOC＝138°，
∴∠D＝69°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣69°＝111°．
∴∠OAB+∠OCB＝360°﹣∠AOC﹣∠ABC＝360°﹣111°﹣138°＝111°
故答案為：111．

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．
17．定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”．
如圖，已知l1∥l2，l1與l2之間的距離為2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上，點(diǎn)A在直線l2上，△ABC有一邊的長是BC的倍．將△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C，A'C所在直線交l2于點(diǎn)D，則CD＝　或2或2?。?br />
【分析】①當(dāng)AB＝BC時，畫出圖形分兩種情況分別求得CD＝x＝或CD＝AC＝2；②當(dāng)AC＝BC時，畫出圖形分兩種情況討論，求得CD＝AB＝BC＝2．
解：①當(dāng)AB＝BC時，
Ⅰ．如圖1，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

∵“等高底”△ABC的“等底”為BC，l1∥l2，l1與l2之間的距離為2，AB＝BC，
∴BC＝AE＝2，AB＝2，
∴BE＝2，即EC＝4，
∴AC＝2，
∵△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C，
∴∠DCF＝45°，
設(shè)DF＝CF＝x，
∵l1∥l2，
∴∠ACE＝∠DAF，
∴＝，即AF＝2x，
∴AC＝3x＝2，
∴x＝，CD＝x＝．
Ⅱ．如圖4，此時△ABC等腰直角三角形，

∵△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AC＝2．
②當(dāng)AC＝BC時，
Ⅰ．如圖5，此時△ABC是等腰直角三角形，

∵△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C，
∴A'C⊥l1，
∴CD＝AB＝BC＝2；
Ⅱ．如圖6，作AE⊥BC于E，則AE＝BC，

∴AC＝BC＝AE，
∴∠ACE＝45°，
∴△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到△A'B'C時，點(diǎn)A'在直線l1上，
∴A'C∥l2，即直線A'C與l2無交點(diǎn)，
綜上所述，CD的值為或2或2．
【點(diǎn)評】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)分類討論的思想進(jìn)行解答．
三、解答題：第18，19，20小題6分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。
18．已知關(guān)于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2，求m的取值范圍．
【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個實(shí)數(shù)根，可知Δ≥0，據(jù)此列出不等式解答即可．
解：因?yàn)榉匠蘹2﹣2x+m﹣2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1、x2，
所以Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝4﹣4m+8＝12﹣4m≥0，
解得m≤3．
故m的取值范圍為m≤3．
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac．當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)根．
19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k2＝0的兩根x1、x2滿足x12+x22＝5，求k的值．
【分析】根據(jù)一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1、x2，即可得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝2k2，然后將x12+x22＝5變形，再將x1+x2＝2k+1，x1x2＝2k2代入，即可得到關(guān)于k的方程，然后求解即可．
解：∵一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1、x2，
∴x1+x2＝2k+1，x1x2＝2k2，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴（2k+1）2﹣2×2k2＝5，
解得k＝1．
【點(diǎn)評】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確根與系數(shù)的關(guān)系，列出關(guān)于k的方程．
20．如圖，兩個圓都以點(diǎn)O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)，AC＝2．求BD的長．

【分析】作OH⊥AB于H，應(yīng)用垂徑定理，即可求解．
解：作OH⊥AB于H，

∴AH＝BH，CH＝DH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴BD＝AC＝2．
【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，關(guān)鍵是作OH⊥AB于H，應(yīng)用垂徑定理，得到AH＝BH，CH＝DH．
21．如圖，用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m．設(shè)矩形ABCD的面積為S（m2）．問AB長為多少時S最大，并求最大面積．

【分析】設(shè)AB長為xm，則AD長為m，根據(jù)用正方形面積公式列出函數(shù)解析式，然后由函數(shù)的性質(zhì)求最值．
解：設(shè)AB長為xm，則AD長為m，
根據(jù)題意得：S＝x?＝﹣x2+15x＝﹣（x﹣15）2+，
∵﹣＜0，0＜x＜18，
∴當(dāng)x＝15時，S有最大值，最大值為，
答：AB長為15米時S最大，最大值為平方米．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是用正方形面積公式列出函數(shù)解析式．
22．實(shí)施“雙減”政策后，某校每周舉行一次學(xué)科實(shí)踐作業(yè)秀活動，內(nèi)容有布藝、剪紙、卡通畫（分別用A，B，C依次表示這三種作業(yè)）．小聰和小明計(jì)劃每人選擇一種作業(yè)，上述三種作業(yè)中的每一種作業(yè)被選中的可能性均相同．請你用列表法或畫樹狀圖法，求小聰和小明選擇同一種作業(yè)的概率．
【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小聰和小明選擇同一種作業(yè)的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．
解：畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中小聰和小明選擇同一種作業(yè)的結(jié)果有3種，
∴小聰和小明選擇同一種作業(yè)的概率為＝．
【點(diǎn)評】本題考查了樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y＝x2+bx﹣2過點(diǎn)C．求拋物線的表達(dá)式．

【分析】首先構(gòu)造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用點(diǎn)C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式．
解：如圖1所示，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CAD+∠ACD＝90°．
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠CAD＝90°，
∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．
在△AOB與△CDA中，
，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA+AD＝3，
∴C（3，1）．
∵點(diǎn)C（3，1）在拋物線y＝x2+bx﹣2上，
∴1＝×9+3b﹣2，解得：b＝﹣．
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2．

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．
24．已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．

（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC，BD，CD的長；
（Ⅱ）如圖②，若∠CAB＝60°，求BD的長．
【分析】（Ⅰ）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD＝OB＝OD＝5．
解：（Ⅰ）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．
∵AD平分∠CAB，
∴＝，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；

（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直徑為10，則OB＝5，
∴BD＝5．

【點(diǎn)評】本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了圓的定義、有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△OBD是等邊三角形．
25．如圖1，將兩個等腰直角三角形紙片OAB和OCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C（0，1），點(diǎn)D（1，0）．

（1）求證：AC＝BD；
（2）如圖2，現(xiàn)將△OCD繞點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），連接AC，BD，這一過程中AC和BD是否仍然保持相等？說明理由；當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為　90°　時，AC所在直線能夠垂直平分BD；
（3）在（2）的情況下，將旋轉(zhuǎn)角α的范圍擴(kuò)大為0°＜α＜360°，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，求△BAD的面積的最大值，并寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果即可）．
【分析】（Ⅰ）由點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)求出OA，OB，OC，OD，進(jìn)而求出AC，BD即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）先判斷出△AOC≌△BOD，得出AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，進(jìn)而得出AC始終垂直于BD，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用OC＝1，BC＝CD＝，建立方程組求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）先利用面積求出OH，再由旋轉(zhuǎn)判斷出點(diǎn)D的軌跡，進(jìn)而判斷出點(diǎn)D在HO的延長線上時，△ABD的AB邊上的高最大，即可得出結(jié)論．
解：（Ⅰ）∵點(diǎn)A（0，+1），點(diǎn)B（+1，0），點(diǎn)C（0，1），點(diǎn)D（1，0），
∴OA＝+1，OB＝+1，OC＝1，OD＝1，
∴AC＝OA﹣OC＝+1﹣1＝，BD＝+1﹣1＝，
∴AC＝BD；

（Ⅱ）由題意知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣∠COB，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，
如圖1（注：點(diǎn)C在x軸上，為了不要出現(xiàn)誤解，點(diǎn)C沒畫在x軸上），延長AC交BD于D，連接BC，

在Rt△AOB中，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠CAB+∠ABD＝∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝90°，
∴AC⊥BD，
∵AC垂直平分BD，
∴CD＝BC，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n），
∴m2+n2＝1①，
由旋轉(zhuǎn)知，CD＝＝，
∵B（1，0），[m﹣（+1）]2+n2＝2②，
聯(lián)立①②解得，m＝1，n＝0，
∴點(diǎn)C在x軸上，
∴旋轉(zhuǎn)角為∠AOC＝90°，
故答案為：90°；

（Ⅲ）如圖2，

∵OA＝OB＝+1，
∴AB＝OA＝2+，
過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，
∴S△AOB＝OA?OB＝AB?OH，
∴OH＝＝＝（2+），
過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，S△ABD＝AB?DG＝（2+）DG，
要使△ABD的面積最大，則DG最大，
由旋轉(zhuǎn)知，點(diǎn)D是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，
∴點(diǎn)D在HO的延長線上時，DG最大，
即DG的最大值為D'H＝OD'+OH＝1+＝，
∴S△ABD最大＝AB?D'H＝（2+）×＝，
在Rt△AOB中，OA＝OB，OH⊥AB，
∴∠BOH＝45°，
∴旋轉(zhuǎn)角∠BOD'＝180°﹣45°＝135°．
【點(diǎn)評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，確定出點(diǎn)C在x軸上是解本題的關(guān)鍵．

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