NEIRONGSUOYIN
基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)
題型分類 深度剖析
1.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念
ZHISHISHULI
(2)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).記作f′(x)或y′.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝ .
3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有(1)[f(x)±g(x)]′＝ ；(2)[f(x)·g(x)]′＝ ；(3) ＝(g(x)≠0).5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝ ，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于 的導(dǎo)數(shù)與 的導(dǎo)數(shù)的乘積.
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
1.根據(jù)f′(x)的幾何意義思考一下，|f′(x)|增大，曲線f(x)的形狀有何變化？
提示　|f′(x)|越大，曲線f(x)的形狀越來越陡峭.
2.直線與曲線相切，是不是直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)？
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率.(　　)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　)(3)(2x)′＝x·2x－1.(　　)(4)若f(x)＝e2x，則f′(x)＝e2x.(　　)
2.[P18A組T5]若f(x)＝x·ex，則f′(1)＝ .
解析　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
3.[P18A組T6]曲線y＝1－ 在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為 .
∴所求切線方程為2x－y＋1＝0.
4.如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是
解析　由y＝f′(x)的圖象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，故可排除A，C.又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.
5.設(shè)f(x)＝ln(3－2x)＋cs 2x，則f′(0)＝ .
6.(2017·天津)已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－ln x的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為 .
又∵f(1)＝a，∴切線l的斜率為a－1，且過點(diǎn)(1，a)，∴切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1).令x＝0，得y＝1，故l在y軸上的截距為1.
3.f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，則x0＝ .
由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1.
4.若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，則f′(0)＝ .
解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
1.求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，盡量避免不必要的商的求導(dǎo)法則，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度減少差錯(cuò).2.(1)若函數(shù)為根式形式，可先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo).(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可進(jìn)行換元.
命題點(diǎn)1　求切線方程例1　(1)(2018·湖北百所重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x＋1)＝ ，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為A.1 B.－1 C.2 D.－2
題型二　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求切線的斜率k＝1.
(2)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為 .
解析　∵點(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直線l的方程為y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.
命題點(diǎn)2　求參數(shù)的值例2　(1)直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點(diǎn)A(1，3)，則2a＋b＝ .
解析　由題意知，y＝x3＋ax＋b的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2＋a，
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1))，則m＝ .
又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.g′(x)＝x＋m，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，
命題點(diǎn)3　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象
例3　(1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是
解析　由y＝f′(x)的圖象是先上升后下降可知，函數(shù)y＝f(x)圖象的切線的斜率先增大后減小，故選B.
(2)已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝ .
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由題圖可知f(3)＝1，
導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值k＝f′(x0).(2)若求過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由 求解即可.(3)函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況.
跟蹤訓(xùn)練　(1)(2018·全國Ⅰ)已知f(x)＝x2，則曲線y＝f(x)過點(diǎn)P(－1,0)的切線方程是 .
y＝0或4x＋y＋4＝0
∵f′(x)＝2x，∴切線方程為y－0＝2x0(x＋1)，
∴所求切線方程為y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.
(2)設(shè)曲線y＝ 處的切線與直線x－ay＋1＝0平行，則實(shí)數(shù)a＝ .
(3)(2018·開封模擬)函數(shù)f(x)＝ln x＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
解析　函數(shù)f(x)＝ln x＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解.
2.(2018·衡水調(diào)研)設(shè)f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0的值為
解析　由f(x)＝xln x，得f′(x)＝ln x＋1.根據(jù)題意知，ln x0＋1＝2，所以ln x0＝1，即x0＝e.
3.曲線y＝sin x＋ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是A.x－3y＋3＝0 B.x－2y＋2＝0C.2x－y＋1＝0 D.3x－y＋1＝0
解析　y′＝cs x＋ex，故切線斜率k＝2，切線方程為y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.
4.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可能是
解析　原函數(shù)的單調(diào)性是當(dāng)x0時(shí)，f(x)的單調(diào)性變化依次為增、減、增，故當(dāng)x0；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)的符號(hào)變化依次為＋，－，＋.故選C.
∴y′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)，
6.(2018·廣州調(diào)研)已知曲線y＝ln x的切線過原點(diǎn)，則此切線的斜率為
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,0)，所以－ln x0＝－1，
7.(2018·鷹潭模擬)已知曲線f(x)＝2x2＋1在點(diǎn)M(x0，f(x0))處的瞬時(shí)變化率為－8，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
解析　∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，則x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(－2,9).
8.設(shè)曲線y＝eax－ln(x＋1)在x＝0處的切線方程為2x－y＋1＝0，則a＝ .
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝a－1，∵曲線y＝eax－ln(x＋1)在x＝0處的切線方程為2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.
9.若曲線y＝ln x的一條切線是直線y＝ x＋b，則實(shí)數(shù)b的值為 .
解得x0＝2，則切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，ln 2)，所以ln 2＝1＋b，b＝－1＋ln 2.
10.(2018·泰安模擬)若曲線f(x)＝acs x與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(diǎn)(0，m)處有公切線，則a＋b＝ .
解析　依題意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，得b＝0.又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.
11.已知f′(x)，g′(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且它們?cè)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)的圖象如圖所示.(1)若f(1)＝1，則f(－1)＝ ；
解析　由題圖可得f′(x)＝x，g′(x)＝x2，設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)，則f′(x)＝2ax＋b＝x，g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2，
(2)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，則h(－1)，h(0)，h(1)的大小關(guān)系為 .(用“

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