[基礎(chǔ)題組練]1．定積分(3x＋ex)dx的值為(　　)A．e＋1　　　　　　　　　　 B．eC．e－ D．e＋解析：選D.(3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝＋e.2．若f(x)＝f(f(1))＝1，則a的值為(　　)A．1 B．2C．－1 D．－2解析：選A.因?yàn)?/span>f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3|＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.3．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，則f(x)dx＝(　　)A．－1 B．－C.  D．1解析：選B.因?yàn)?/span>f(x)＝x2＋2f(x)dx，所以f(x)dx＝|＝＋2f(x)dx，所以f(x)dx＝－.4．(2019·湖南湘中名校聯(lián)考)設(shè)f(x)＝則f(x)dx的值為(　　)A.＋   B.＋3C.＋ D.＋3解析：選A.f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx＝π×12＋＝＋，故選A.5．由曲線y＝x2和曲線y＝圍成的一個(gè)葉形圖如圖所示，則圖中陰影部分的面積為(　　)A.   B.C. D.解析：選A.由解得或所以陰影部分的面積為(－x2)dx＝.故選A.6．定積分(x2＋sin x)dx＝________．解析：(x2＋sin x)dx＝x2dx＋sin xdx＝2x2dx＝2·＝.答案：7.(x2tan x＋x3＋1)dx＝________．解析：因?yàn)?/span>x2tan x＋x3是奇函數(shù)．所以(x2tan x＋x3＋1)dx＝1dx＝x|＝2.答案：28．一物體受到與它運(yùn)動(dòng)方向相反的力：F(x)＝ex＋x的作用，則它從x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝1時(shí)F(x)所做的功等于________．解析：由題意知W＝－dx＝－＝－－.答案：－－9．求下列定積分：(1)dx；(2)(cos x＋ex)dx.解：(1)dx＝xdx－x2dx＋dx＝|－|＋ln x|＝－＋ln 2＝ln 2－.(2)(cos x＋ex)dx＝cos xdx＋exdx＝sin x|＋ex|＝1－.10．已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在點(diǎn)(1，2)處的切線與函數(shù)g(x)＝x2圍成的圖形的面積．解：因?yàn)?/span>(1，2)為曲線f(x)＝x3－x2＋x＋1上的點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)(1，2)處的切線的斜率為k，則k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，所以過點(diǎn)(1，2)處的切線方程為y－2＝2(x－1)，即y＝2x.y＝2x與函數(shù)g(x)＝x2圍成的圖形如圖中陰影部分：由可得交點(diǎn)A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x與函數(shù)g(x)＝x2圍成的圖形的面積S＝(2x－x2)dx＝|＝4－＝.[綜合題組練]1．由曲線xy＝1，直線y＝x，x＝3所圍成的封閉平面圖形的面積為(　　)A.  B．4－ln 3C．4＋ln 3 D．2－ln 3解析：選B.畫出平面圖形，根據(jù)圖形確定積分的上、下限及被積函數(shù)．由曲線xy＝1，直線y＝x，x＝3所圍成的封閉的平面圖形如圖所示：由得或由得故陰影部分的面積為dx＝＝4－ln 3.2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，則x0的值為________．解析：f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x0)＝ax＋c，所以x＝，x0＝±.又因?yàn)?/span>0≤x0≤1，所以x0＝.答案：3.(＋ex－1)dx＝________．解析：(＋ex－1)dx＝dx＋(ex－1)dx.因?yàn)?/span>dx表示單位圓的上半部分的面積，所以dx＝.而(ex－1)dx＝(ex－x)＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－－2，所以(＋ex－1)dx＝＋e－－2.答案：＋e－－24．若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，f(x)＝x3＋x2f′(1)，則f(x)dx＝________．解析：因?yàn)?/span>f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3.所以f(x)＝x3－3x2.故f(x)dx＝(x3－3x2)dx＝＝－4.答案：－45．(創(chuàng)新型)如圖所示，過點(diǎn)A(6，4)作曲線f(x)＝的切線l.(1)求切線l的方程；(2)求切線l，x軸及曲線f(x)＝所圍成的封閉圖形的面積S.解：(1)由f(x)＝，所以f′(x)＝.又點(diǎn)A (6，4)為切點(diǎn)，所以f′(6)＝，因此切線方程為y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.(2)令f(x)＝0，則x＝2，即點(diǎn)C(2，0)．在x－2y＋2＝0中，令y＝0，則x＝－2，所以點(diǎn)B(－2，0)．故S＝dx－dx＝－(4x－8)＝.6．(應(yīng)用型)如圖，在曲線C：y＝x2，x∈[0，1]上取點(diǎn)P(t，t2)，過點(diǎn)P作x軸的平行線l.曲線C與直線x＝0，x＝1及直線l圍成的圖形包括兩部分，面積分別記為S1，S2.當(dāng)S1＝S2時(shí)，求t的值．解：根據(jù)題意，直線l的方程是y＝t2，且0＜t＜1.結(jié)合題圖，得交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(0，0)，P(t，t2)，B(1，1)．所以S1＝(t2－x2)dx＝|＝t3－t3＝t3，0＜t＜1.S2＝(x2－t2)dx＝|＝－＝t3－t2＋，0＜t＜1.由S1＝S2，得t3＝t3－t2＋，所以t2＝.又0＜t＜1，所以t＝.所以當(dāng)t＝時(shí)，S1＝S2.

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