?第3講　直線、平面平行的判定與性質(zhì)
最新考綱
考向預(yù)測(cè)
從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.
命題趨勢(shì)
直線、平面平行的判定及性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線平行、線面平行、面面平行的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容．多出現(xiàn)在解答題的第(1)問，難度中等.
核心素養(yǎng)
直觀想象、邏輯推理


1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)

因?yàn)閘∥a，
a?α，l?α，
所以l∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)

因?yàn)閘∥α，
l?β，α∩
β＝b，
所以l∥b
2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)

因?yàn)閍∥β，
b∥β，a∩
b＝P，
a?α，b?α，
所以α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

因?yàn)棣痢桅拢?br /> α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
所以a∥b
常用結(jié)論
1．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：
線線平行線面平行面面性質(zhì)定理平行
線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想．
2．平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論
(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.
(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
常見誤區(qū)
1．在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
2．解題中注意符號(hào)語言的規(guī)范應(yīng)用．

1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α.(　　)
(2)若直線l在平面α外，則l∥α.(　　)
(3)若直線l∥b，直線b?α，則l∥α.(　　)
(4)若直線l∥b，直線b?α，那么直線l就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(易錯(cuò)題)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是(　　)
A．存在一條直線a，a∥α，a∥β
B．存在一條直線a，a?α，a∥β
C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
解析：選D.若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.
3．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________．

解析：連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，

在△BDD1中，E為DD1的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，
所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，
而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
答案：平行
4．如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．
解析：因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．
答案：平行四邊形


與線、面平行相關(guān)命題的判定
[題組練透]
1．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面，則下列推理正確的是(　　)
A．α∩β＝a，b?α?a∥b
B．α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C．a(chǎn)∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
解析：選D.選項(xiàng)A中，α∩β＝a，b?α，則a，b可能平行也可能相交，故A不正確；
選項(xiàng)B中，α∩β＝a，a∥b，則可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或平面β內(nèi)，故B不正確；
選項(xiàng)C中，a∥β，b∥β，a?α，b?α，根據(jù)面面平行的判定定理，再加上條件直線a與直線b相交，才能得出α∥β，故C不正確；選項(xiàng)D為面面平行性質(zhì)定理的符號(hào)語言．
2．(多選)已知m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是(　　)
A．若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n
B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β
C．若m∥n，n?α，α∥β，m?β，則m∥β
D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，則m∥β
解析：選BC.若m∥α，n∥β且α∥β，則m，n也可能異面或相交，故A錯(cuò)誤；若m∥n，m⊥α，則n⊥α，又n⊥β，故α∥β，B正確；若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，又α∥β，m?β，故m∥β，C正確；若m∥n，n⊥α，則m⊥α，又α⊥β，則m∥β或m?β，D錯(cuò)誤．故選BC.
3．(多選)如圖，若Ω是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點(diǎn)，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A．EH∥FG
B．四邊形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．四邊形EFGH可能為梯形
解析：選ABC.因?yàn)镋H∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，由EH?平面BCC1B1，B1C1?平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又EH?平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，所以A正確．由EH⊥平面A1ABB1，得EH⊥EF.由A項(xiàng)知FG∥EH，則FG⊥EF，同理，EH⊥HG，F(xiàn)G⊥HG，所以四邊形EFGH為矩形，所以B正確，D錯(cuò)誤．Ω是一個(gè)五棱柱，C正確．故選ABC.

直線、平面平行的判定方法
(1)關(guān)注是否符合判定定理與性質(zhì)定理，并注意定理中易忽視的條件．
(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．
(3)利用實(shí)物進(jìn)行空間想象，比較判斷．

線面平行的判定與性質(zhì)
角度一　線面平行的證明
如圖，四邊形ABCD為矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求證：BF∥平面CDE.

【證明】　方法一：如圖，在ED上取點(diǎn)N，使DN＝AF，連接NC，NF，
因?yàn)锳F∥DN且AF＝DN，
所以四邊形ADNF為平行四邊形，
所以AD∥FN且AD＝FN，
又四邊形ABCD為矩形，AD∥BC
且AD＝BC，所以FN∥BC且FN＝BC，
所以四邊形BCNF為平行四邊形，所以BF∥NC，
因?yàn)锽F?平面CDE，NC?平面CDE，所以BF∥平面CDE.
方法二：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AB∥CD，
因?yàn)锳B?平面CDE，CD?平面CDE，
所以AB∥平面CDE；
又AF∥ED，因?yàn)锳F?平面CDE，ED?平面CDE，
所以AF∥平面CDE；
因?yàn)锳F∩AB＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，
所以平面ABF∥平面CDE，
又BF?平面ABF，
所以BF∥平面CDE.

證明直線與平面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義．
(2)利用線面平行的判定定理：關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與已知直線平行的直線，可先直觀判斷題中是否存在這樣的直線，若不存在，則需作出直線，?？紤]利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊平行或過已知直線作一平面，找其交線進(jìn)行證明．　
角度二　線面平行性質(zhì)的應(yīng)用
如圖，在五面體ABCDFE中，底面ABCD為矩形，EF∥AB，過BC的平面交棱FD于點(diǎn)P，交棱FA于點(diǎn)Q.
證明：PQ∥平面ABCD.

【證明】　因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AD∥BC.
因?yàn)锳D∥BC，AD?平面ADF，BC?平面ADF，所以BC∥平面ADF.
因?yàn)锽C∥平面ADF，BC?平面BCPQ，平面BCPQ∩平面ADF＝PQ，所以BC∥PQ.因?yàn)镻Q∥BC，PQ?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.

應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線．該定理的作用是由線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行．　

1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度為________．

解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2.又E為AD中點(diǎn)，EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為DC的中點(diǎn)．
故EF＝AC＝.
答案：
2．如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

(1)求證：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
解：(1)證明：如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.
因?yàn)镺，M分別是AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，
所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.
又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，
又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，
又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.

面面平行的判定與性質(zhì)
如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：

(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【證明】　(1)因?yàn)镚，H分別是
A1B1，A1C1的中點(diǎn)，
所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，
所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．
(2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，
所以EF∥BC，因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.
又因?yàn)镚，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，
所以A1G綊EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，
所以A1E∥GB.
因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
又因?yàn)锳1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.
【引申探究】
1．(變條件、變問法)在本例條件下，若D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA.
證明：如圖所示，連接HD，A1B，

因?yàn)镈為BC1的中點(diǎn)，
H為A1C1的中點(diǎn)，所以HD∥A1B，
又HD?平面A1B1BA，
A1B?平面A1B1BA，
所以HD∥平面A1B1BA.
2．(變條件、變問法)在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.
證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，
因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，
所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，
因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，
所以A1B∥DM.
因?yàn)锳1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，
所以DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，
所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，
所以DC1∥BD1.
又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，
所以DC1∥平面A1BD1，
又因?yàn)镈C1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，
所以平面A1BD1∥平面AC1D.

　

1．如圖，AB∥平面α∥平面β，過點(diǎn)A，B的直線m，n分別交α，β于點(diǎn)C，E和點(diǎn)D，F(xiàn)，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，則BD的長(zhǎng)為(　　)

A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：選C.由AB∥α∥β，易證 ＝.
即＝，所以BD＝＝＝.
2．如圖，四邊形ABCD為矩形，A，E，B，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且△ABE和△ABF均為等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.求證：平面BCE∥平面ADF.

證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，
所以BC∥AD，
又BC?平面ADF，AD?平面ADF，
所以BC∥平面ADF.
因?yàn)椤鰽BE和△ABF均為等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，
所以∠BAF＝∠ABE＝45°，所以AF∥BE，
又BE?平面ADF，AF?平面ADF，
所以BE∥平面ADF，
因?yàn)锽C∥平面ADF，BE∥平面ADF，
BC∩BE＝B，BC，BE?平面BCE，所以平面BCE∥平面ADF.

思想方法系列13　函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用
如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)， 其截面面積最大？
【解】　因?yàn)锳B∥平面EFGH，
平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG，EH.所以AB∥FG，AB∥EH，
所以FG∥EH，同理可證EF∥GH，
所以截面EFGH是平行四邊形．
設(shè)AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即為異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角)．
又設(shè)FG＝x，GH＝y(tǒng)，則由平面幾何知識(shí)可得＝，＝，兩式相加得＋＝1，即y＝(a－x)，所以S?EFGH＝FG·GH·sin α＝x··(a－x)·sin α＝x(a－x)．
因?yàn)閤>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a為定值，
所以當(dāng)且僅當(dāng)x＝a－x時(shí)，x(a－x)＝，
此時(shí)x＝，y＝.
即當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為棱AD，AC，BC，BD的中點(diǎn)時(shí)截面面積最大．

(1)立體幾何中的最值或范圍問題，常用函數(shù)思想來解決．
(2)常見問題是求幾何體截面面積或周長(zhǎng)的最值或范圍，動(dòng)點(diǎn)的軌跡等，解題關(guān)鍵是通過對(duì)幾何體中條件的分析和轉(zhuǎn)化，設(shè)出未知量，建立函數(shù)關(guān)系式或軌跡方程．　
如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N
分別在AD1，BC上移動(dòng)，始終保持MN∥平面DCC1D1，設(shè)BN＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是(　　)


解析：選C.過M作MQ∥DD1交AD于點(diǎn)Q，連接QN.
因?yàn)镸Q?平面DCC1D1，DD1?平面DCC1D1，
所以MQ∥平面DCC1D1.
因?yàn)镸N∥平面DCC1D1，
MN∩MQ＝M，所以平面MNQ∥平面DCC1D1.
又平面ABCD與平面MNQ和平面DCC1D1分別交于QN和DC，
所以NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，
因?yàn)椋剑?，所以MQ＝2x.
在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，
所以y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，
所以函數(shù)y＝f(x)的圖象為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線上支的一部分．

[A級(jí)　基礎(chǔ)練]
1．(2020·寧波市北侖中學(xué)高三二模)下列命題中正確的是(　　)
A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面
B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行
C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行
D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α
解析：選D.A中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．
2．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則(　　)

A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形
解析：選B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，又EF?平面BCD，BD?平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HG綊BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．
3．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E∈PC，F(xiàn)∈PB，＝3，＝λ，如圖．若AF∥平面BDE，則λ的值為(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．4
解析：選C.連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE.因?yàn)锳F∥平面 BDE，所以過點(diǎn)A作AH∥平面BDE，交PC于點(diǎn)H，連接FH，則得到平面AFH∥平面BDE，所以FH∥BE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以在△ACH與△OCE中，＝＝1，

即EC＝EH.又因?yàn)椋?，所以PH＝2HE.因?yàn)椋剑?，所以λ＝2.故選C.
4(多選)已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A．若m⊥α，m⊥n，則n∥α
B．若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n
C．若m?α，n?α且m∥β，n∥β，則α∥β
D．若直線m，n與平面α所成的角相等，則m∥n
解析：選ACD.對(duì)于A，滿足m⊥α，m⊥n的n，α的位置關(guān)系可能是n∥α或n?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，結(jié)合n∥β，知m⊥n，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)面面平行的判定定理知需當(dāng)m，n為相交直線時(shí)，才有α∥β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若m，n為圓錐的兩條母線，平面α為圓錐的底面所在平面，此時(shí)直線m，n與平面α所成的角相等，但此時(shí)m，n為相交直線，故D錯(cuò)誤．
5．(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，下列四個(gè)推斷中正確的是(　　)

A．FG∥平面AA1D1D
B．EF∥平面BC1D1
C．FG∥平面BC1D1
D．平面EFG∥平面BC1D1
解析：選AC.因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)，G分別是B1C1，BB1的中點(diǎn)，
所以FG∥BC1，因?yàn)锽C1∥AD1，
所以FG∥AD1，
因?yàn)镕G?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，
所以FG∥平面AA1D1D，故A正確；
因?yàn)镋F∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，
所以EF與平面BC1D1相交，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)镕，G分別是B1C1，BB1的中點(diǎn)，
所以FG∥BC1，因?yàn)镕G?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，
所以FG∥平面BC1D1，故C正確；
因?yàn)镋F與平面BC1D1相交，
所以平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯(cuò)誤．
故選AC.
6．在下面給出的條件中，若條件足夠推出a∥α，則在橫線上填“OK”；若條件不能保證推出a∥α，則請(qǐng)?jiān)跈M線上補(bǔ)足條件：
(1)條件：a∥b，b∥c，c?α，______，結(jié)論：a∥α；
(2)條件：α∩β＝b，a∥b，a?β，______，結(jié)論：a∥α.
解析：因?yàn)閍∥b，b∥c，c?α，所以由直線與平面平行的判定定理得，當(dāng)a?α?xí)r，a∥α.因?yàn)棣痢搔拢絙，a∥b，a?β，則由直線與平面平行的判定定理得a∥α.
答案：(1)a?α　(2)OK
7．在四面體A-BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．
解析：如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，
則EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
因?yàn)锳B?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
答案：平面ABD與平面ABC
8．在三棱錐P-ABC中，D，E分別是PB，BC的中點(diǎn)，若F在線段AC上，且滿足AD∥平面PEF，則的值為________．
解析：連接DC，交PE于點(diǎn)G，連接FG，DE，因?yàn)锳D∥平面PEF，AD?平面ADC，平面ADC∩平面PEF＝FG，所以AD∥FG.因?yàn)镈，E分別是PB，BC的中點(diǎn)，所以DE為△BPC的中位線，所以△DEG∽△CPG，可得＝＝，所以＝＝.

答案：
9．在如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.

(1)要經(jīng)過平面A′B′C′D′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？
(2)所畫的線與平面ABCD是什么位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
解：(1)過點(diǎn)P作B′C′的平行線，
交A′B′，C′D′于點(diǎn)E，F(xiàn)，
連接BE，CF.
作圖如右．
(2)EF∥平面ABCD.理由如下：
因?yàn)锽C∥平面A′B′C′D′，
又因?yàn)槠矫鍮′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，
所以BC∥B′C′，因?yàn)镋F∥B′C′，所以EF∥BC，
又因?yàn)镋F?平面ABCD，BC?平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.
10．如圖，四邊形ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．
(1)求證：BE∥平面DMF；
(2)求證：平面BDE∥平面MNG.

證明：(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.
(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M為AB的中點(diǎn)，
所以MN為△ABD的中位線，
所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.
[B級(jí)　綜合練]
11．(多選)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1各條棱的長(zhǎng)度均相等，D為AA1的中點(diǎn)，M，N分別是線段BB1和線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，且滿足BM＝C1N，當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的是(　　)

A．在△DMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段
B．平面DMN⊥平面BCC1B1
C．三棱錐A1-DMN的體積為定值
D．△DMN可能為直角三角形
解析：選ABC.用平行于平面ABC的平面截平面DMN，則交線平行于平面ABC，故A正確；當(dāng)M，N分別在BB1，CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若滿足BM＝C1N，則線段MN必過正方形BCC1B1的中點(diǎn)O，由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥BCC1B1故B正確；當(dāng)M，N分別在BB1，CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△A1DM的面積不變，點(diǎn)N到平面A1DM的距離不變，所以三棱錐N-A1DM的體積不變，即三棱錐A1-DMN的體積為定值，故C正確；若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，易證DM＝DN，所以△DMN為等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2OD，設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則DO＝，MN＝2，因?yàn)镸N的最大值為BC1＝2，所以MN不可能為2，所以△DMN不可能為直角三角形，故D錯(cuò)誤．故選ABC.
12．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點(diǎn)．則下列敘述中正確的是(　　)

A．直線BQ∥平面EFG
B．直線A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
解析：選B.過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面如圖所示(H，I分別為AA1，BC的中點(diǎn))，則BQ和平面EFG相交于點(diǎn)Q，故A錯(cuò)誤；因?yàn)锳1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，所以A1B∥平面EFG，故B正確；AP?平面ADD1A1，HG?平面ADD1A1，延長(zhǎng)HG和AP必相交，故平面APC和平面EFG相交，故C錯(cuò)誤；平面A1BQ與平面EFG有公共點(diǎn)Q，故平面A1BQ與平面EFG相交，故D錯(cuò)誤．故選B.
13．如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．

(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍．
解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，
所以EF∥HG.
因?yàn)镠G?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD.
又因?yàn)镋F?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
所以EF∥AB，又因?yàn)锳B?平面EFGH，EF?平面EFGH，
所以AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.
(2)設(shè)EF＝x(0

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