高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題1.已知集合，，則（   ）A. B.C. D.答案：C解析：【分析】先求出集合A，B的具體區(qū)間，再根據(jù)交集的定義求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以；故選：C.2.設(shè)，則（   ）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得.故選：B.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>   ）A. B.C. D.答案：D解析：【分析】先求得的定義域，進(jìn)而求得的定義域.【詳解】由，解得，所以的定義域?yàn)?/span>.令，則，所以的定義域?yàn)?/span>.故選：D.4.已知向量，，若與反向共線，則（   ）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列方程求，再驗(yàn)證向量是否反向即可.【詳解】因?yàn)?/span>，共線，所以，得，當(dāng)時(shí)，，，向量與方向相同，與條件矛盾，當(dāng)時(shí)，，，向量與方向相反，滿足條件，所以，故選：A.5.《三字經(jīng)》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成為器物”的（   ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案：B解析：【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義求解即可.【詳解】“打磨玉石”不一定“成為器物”，故充分性不成立，但“成為器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，所以“打磨玉石”是“成為器物”的必要不充分條件.故選：B.6.設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（   ）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】作出不等式組的可行域，平移直線，得出最大值時(shí)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求出點(diǎn)，代入即可求出最大值.【詳解】由題畫出可行域如下圖所示，當(dāng)直線平移到過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，由，得，所以，故選：D.7.函數(shù)的圖象大致為（   ）A. B.C. D.答案：B解析：【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，結(jié)合的正負(fù)判斷即可.【詳解】定義域?yàn)?/span>，排除CD，又，排除A.故選：B.8.已知，，，則（   ）A. B.C. D.答案：C解析：【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的正負(fù)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，由，因?yàn)?/span>在第二象限，所以，所以，故選：C.9.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是（   ）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】由題意可推得在上有解，分離參數(shù)，得在上有解，由此構(gòu)造函數(shù)，，判斷其單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由題可知在上有解，即在上有解，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，故，，，所以，解得，所以的取值范圍是，故選：A.10.在各項(xiàng)不全為零的等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，且，，則正整數(shù)的值為（   ）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】由等差求和公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出正整數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以可看成關(guān)于的二次函數(shù)，由可知二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，所以，解得.故選：C.11.若定義域?yàn)?/span>的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且對(duì)任意，，，均有，則關(guān)于的不等式的解集為（   ）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】根據(jù)的單調(diào)性、奇偶性求得不等式的解集.【詳解】為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，依題意可知，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，由于，所以，即，解得，所以不等式的解集為.故選：A.12.將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（   ）A. B.C. D.答案：B解析：【分析】確定，得到，根據(jù)函數(shù)沒有零點(diǎn)結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)得到不等關(guān)系，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意：，，即，在上沒有零點(diǎn)，故，則.，所以，則或，解得或.故選：B.二、填空題13.在等比數(shù)列中，，則        .答案：解析：【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)列方程求，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>，，所以，故，所以，故答案為：.14.函數(shù)，的極值點(diǎn)為，則        .答案：解析：【分析】由極值點(diǎn)的定義可求，再由同角關(guān)系，兩角和正切公式可求.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以因?yàn)楹瘮?shù)，的極值點(diǎn)為，所以，且，所以，所以，，所以.故答案為：.15.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的前紙，它是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.在年虎年新春來(lái)臨之際，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖）.已知正方形的邊長(zhǎng)為，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在的中點(diǎn)，則        .答案：解析：【分析】可分別構(gòu)造與，分別求得，，的長(zhǎng)度以及、，根據(jù)數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律即可求得；也可取中點(diǎn)為，構(gòu)造，求出，以及的值.又，根據(jù)數(shù)量積的定義即可求得.【詳解】方法一：圖3如圖，取中點(diǎn)為，連結(jié)，顯然過(guò)點(diǎn).易知，，，則，，.所以，.圖4如圖，延長(zhǎng)交于，易知是的中點(diǎn)，且.則，，在中，，.所以，.所以，.故答案為：.方法二：圖5取中點(diǎn)為，連結(jié)，顯然過(guò)點(diǎn).易知，，，.如圖，取中點(diǎn)為，顯然，，.在中，，.又為中點(diǎn)，則.所以，.故答案為：.16.已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為        .答案：解析：【分析】利用基本不等式可得時(shí)取最大值，從而得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值.【詳解】由，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，，，所以，故當(dāng)，，時(shí)，取最大值，故答案為：.三、解答題17.已知一次函數(shù)滿足.（1）求的解析式；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.答案：見解析解析：【分析】（1）設(shè)函數(shù)，，代入對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可.（2）把分離參量，然后用基本不等式求最大值.【詳解】（1）設(shè)，，則，所以解得所以的解析式為.（2）由，，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最大值，所以，即的取值范圍為.18.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）證明：；（2）求角的最大值，并說(shuō)明此時(shí)的形狀.答案：見解析解析：【分析】（1）由切化弦結(jié)合正弦定理即可證明；（2）由余弦定理結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，由正弦定理得；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以角取得最大值，此時(shí)為等邊三角形．19.已知，，向量，，函數(shù)，的圖像關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)恒成立時(shí)，（1）求的解析式；（2）若銳角的角，，所對(duì)邊依次為，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值且，求面積得取值范圍.答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到函數(shù)的解析式，結(jié)合恒等變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)周期及對(duì)稱中心即可求得，從而得到解析式；（2）根據(jù)正弦定理及三角形的面積公式即可得到的范圍，從而得到三角形面積范圍.【詳解】（1）由題意，得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，又的圖像關(guān)于對(duì)稱，所以，，即，，因?yàn)?/span>，所以，則.（2）由題意得，解得，則.由正弦定理可知，又為銳角三角形，所以，，故，所以，則，即，所以面積的取值范圍是.20.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：.答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)求解可得，結(jié)合正項(xiàng)數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）可得，再裂項(xiàng)相消求和證明即可.【詳解】（1）令，則，又，得.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，兩式相減得，即.又因?yàn)?/span>，所以，則是公差為的等差數(shù)列，故.（2）由（1）可得，所以.因?yàn)?/span>，所以，因此.21.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若在點(diǎn)處的切線為，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，，求直線的方程.答案：見解析解析：【分析】（1）根據(jù)已知條件及函數(shù)值的定義，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式即可求解.（2）利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最小值及基本不等式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線平行的條件及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】（1），，則，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）設(shè)，，令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得最大值，即.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值.因?yàn)?/span>，所以，得，.即，，所以直線的方程為，即.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：.（2）若的最小值為，求的取值范圍.答案：見解析解析：【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得，令，則，由（1）可知即在上有解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以成立；（2），令，則，即可化為，由（1）可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，則有解，即在上有解，令，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，即，所以的取值范圍為.

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