2022-2023學年湖北省部分省級示范高中（武漢十二中等）高二上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出直線的斜率，再求傾斜角【詳解】直線的方程化為，所以，由于，所以，故選：A.2．直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（    ）A． B．C．或 D．與的位置關(guān)系不能判斷【答案】B【分析】觀察到的直線的方向向量與平面的法向量共線，由此得到位置關(guān)系．【詳解】解：直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，顯然它們共線，所以．故選：B．3．奧林匹克會旗中央有5個互相套連的圓環(huán)，顏色自左至右，上方依次為藍、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五大洲．在手工課上，老師將這5個環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學，每人分得1個，則事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是（    ）A．對立事件 B．不可能事件C．互斥但不對立事件 D．既不互斥又不對立事件【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義進行判斷即可.【詳解】由互斥事件和對立事件的定義可知：事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是互斥但不對立事件，故選：C4．圓與圓的公切線的條數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先確定兩圓外切，再計算公切線條數(shù)得到答案.【詳解】圓與圓的圓心距為：.故兩圓外切，故公切線條數(shù)為.故選：.【點睛】本題考查了兩圓的公切線條數(shù)，確定兩圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.5．若橢圓上一點P到焦點的距離為3，則點P到另一焦點的距離為（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】利用橢圓的定義可得.【詳解】根據(jù)橢圓的定義知，，因為，所以．故選：B.【點睛】本題考查橢圓的定義，一般地，與焦點三角形有關(guān)的計算問題，應利用橢圓的幾何性質(zhì)來考慮，本題屬于基礎(chǔ)題.6．數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點，，且，則△的歐拉線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設(shè)，可得，且中點為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D7．已知，則點A到直線的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，得到向量在方向上的投影為，進而求得點A到直線的距離．【詳解】由，可得，則向量在方向上的投影為，所以點A到直線的距離．故選：A.8．已知，分別為橢圓的左、右焦點，A是橢圓C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則橢圓C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，解得點坐標再根據(jù)為等腰三角形，，可得利用兩點之間的距離公式即可得出C的離心率．【詳解】解：由題知，所以直線的方程為，因為，所以直線的傾斜角為，所以直線的方程為．聯(lián)立，解得，．因為為等腰三角形，，所以，即，整理得：．所以橢圓C的離心率為．故選：C 二、多選題9．已知直線和圓，則（    ）A．直線l恒過定點（2，0）B．存在k使得直線l與直線垂直C．直線l與圓O相交D．若，直線l被圓O截得的弦長為【答案】BCD【分析】A選項，化為點斜式可以看出直線恒過的點，B選項兩直線斜率存在且垂直，斜率乘積為-1，從而存在滿足題意，C選項直線過的定點在圓的內(nèi)部，故可以判斷C選項；當時，先求圓心到直線的距離，再根據(jù)垂徑定理求弦長【詳解】直線，即，則直線恒過定點，故A錯誤；當 時，直線與直線垂直，故B正確：∵定點（-2，0）在圓O：x2+y2=9內(nèi)部，∴直線l與圓O相交，故C正確：當時，直線l化為，即x+y+2=0，圓心O到直線的距離，直線l被圓O截得的弦長為，故D正確，故選：BCD.10．已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．如果，那么，B．如果與互斥，那么，C．如果與相互獨立，那么D．如果與相互獨立，那么，【答案】ABD【分析】根據(jù)獨立?互斥事件概率計算方法計算即可.【詳解】解：如果，那么，，A對；如果與互斥，那么，，B對；如果與相互獨立，那么，C錯；如果與相互獨立，那么，，D對.故選：ABD.11．已知正方體的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（    ）A．直線與直線所成的角為B．直線與平面所成角的余弦值為C．平面D．點到平面的距離為【答案】ABC【分析】如圖建立空間直角坐標系，求出和的坐標，由可判斷A；證明，可得，，由線面垂直的判定定理可判斷C；計算的值可得線面角的正弦值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出夾角的余弦值可判斷B；利用向量求出點到平面的距離可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】如圖以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，則， ，，，對于A：，，因為，所以，即，直線與直線所成的角為，故選項A正確；對于C：因為 ，，，所以，，所以，，因為，所以平面，故選項C正確；對于B：由選項C知：平面，所以平面的一個法向量，因為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的余弦值為，故選項B正確；對于D：因為，平面的一個法向量，，，故，令，則，故，所以點到平面的距離，故選項D不正確故選：ABC.12．已知橢圓內(nèi)一點，直線與橢圓交于兩點，且為線段的中點，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．橢圓的焦點坐標為、B．橢圓的長軸長為C．直線的方程為D．【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓方程可直接判斷A、B的正誤，設(shè)直線為，，，且，聯(lián)立橢圓方程應用韋達定理即可求k值，寫出直線方程，進而應用弦長公式可求，即可判斷C、D的正誤.【詳解】A：由橢圓方程知，焦點在軸上，，故焦點坐標為，錯誤；B：，即橢圓C的長軸長為，正確；C：由橢圓的對稱性，直線的斜率不為0，故可設(shè)直線為，，，則，聯(lián)立橢圓方程并整理得：，M為橢圓內(nèi)一點則，∴，可得，即直線為，正確；D：由C知：，，則，正確.故選：BCD. 三、填空題13．直線，若，則a的值為___【答案】3【分析】根據(jù)兩條直線平行的條件列式即可解得結(jié)果.【詳解】因為直線，且，所以，且，解得.故答案為：3.【點睛】本題考查了兩條直線平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.14．某班級從，，，，這5位學生中任選2人參加學校組織的“請黨放心，強國有我！”的演講活動，則學生被選中，學生沒被選中的概率為________．【答案】##0.3【分析】根據(jù)題意，列出所有可能結(jié)果，結(jié)合古典概型即可求解.【詳解】從5位學生中任選2人，全部事件有，，，，，，，，，，共10種，其中符合條件的事件有，，，共3種，故所求概率為．故答案為：.15．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的中心為原點，焦點均在x軸上，C的面積為，且離心率為，則C的標準方程為___________．【答案】【分析】設(shè)C的標準方程為，由已知建立方程組，求解可得答案.【詳解】解：設(shè)C的標準方程為，則解得所以C的標準方程為．故答案為：.16．在正方體中，點為側(cè)棱上一點，且，平面將該正方體分成兩部分，其體積分別為，則__________.【答案】【分析】平面延展開后即為平面，將該正方體分成的兩部分一部分是三棱臺，另一部分是剩余的部分，結(jié)合三棱臺的體積公式求解即可.【詳解】由題意，延長線段與的延長線交于點，連接交于，連接，故平面延展開后即為平面，將該正方體分成的兩部分一部分是三棱臺，另一部分是剩余的部分.由于，故，不妨設(shè)正方體棱長為3，，，即.故答案為：. 四、解答題17．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)，，，E，F分別是AD1，BD的中點．（1）用向量表示，；（2）若，求實數(shù)的值．【答案】（1），；（2）【分析】（1）作出圖形，根據(jù)平面向量的基本定理求解即可；（2）由平面向量的基本定理表示即可求解【詳解】（1）如圖，連接AC，EF，D1F，BD1，（2）18．某商場舉行購物抽獎促銷活動，規(guī)定每位顧客從裝有編號為0，1，2，3四個相同小球的抽獎箱中，每次取出一球，記下編號后放回，連續(xù)取兩次，若取出的兩個小球號碼之和等于6，則中一等獎，等于5中二等獎，等于4或3中三等獎.（1）求中三等獎的概率；（2）求中獎的概率.【答案】（1） （2）【分析】（1）這是一個古典概型，先得到從裝有編號為0，1，2，3四個相同小球的抽獎箱中，每次取出一球，記下編號后放回，連續(xù)取兩次的基本事件總數(shù)，再列舉出的兩個小球號碼之和等于4或3基本事件的種數(shù)，代入公式求解.（2）按照（1）的方法，再求得中一等獎和中二等獎的概率，然后利用互斥事件的概率，將一，二，三等獎的概率求和即可.【詳解】（1）從裝有編號為0，1，2，3四個相同小球的抽獎箱中，每次取出一球，記下編號后放回，連續(xù)取兩次的基本事件總數(shù)為種，取出的兩個小球號碼之和等于4或3基本事件有：，共7種.所以中三等獎的概率；（2）取出的兩個小球號碼之和6基本事件有：，共1種.所以中一等獎的概率；取出的兩個小球號碼之和5基本事件有：，共2種.所以中二等獎的概率；所以中獎的概率【點睛】本題主要考查古典概型的概率以及互斥事件的概率，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.19．已知圓C經(jīng)過和兩點，圓心在直線上．(1)求圓C的方程．(2)過原點的直線l與圓C交于M，N兩點，若，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求出AB中垂線方程，將直線方程與直線聯(lián)立，求出交點得出圓心，再由兩點間的距離公式求出半徑，從而得出圓的方程.（2）討論直線率不存在或直線l斜率存在，利用點到直線的距離求出參數(shù)即可求解.【詳解】（1）因為，AB中點為，所以AB中垂線方程為，即，解方程組 得所以圓心C為．根據(jù)兩點間的距離公式，得半徑，因此，所求的圓C的方程為．（2）①當直線率不存在時，方程，代入圓C方程得，解得或，此時，符合．②當直線l斜率存在時，設(shè)方程為，則圓心到直線l的距離，又因為，所以，即，解得，直線方程為，綜上，直線l方程為或．20．如圖，直三棱柱中，，為的中點，為棱上一點，.(1)求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）由直棱柱特征和線面垂直的判定和性質(zhì)可證得、，由線面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，設(shè)，利用二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，進而利用線面角的向量求法求得結(jié)果.【詳解】（1）在直三棱柱中，底面，底面，；又，，平面，平面，平面，又平面，.由直三棱柱知：底面，底面，，又，平面，平面，平面.（2）由（1）知：，又為中點，.以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，，設(shè)，則.由（1）知：平面的法向量可取；設(shè)平面的法向量，，，，令，解得：，，；，解得：，此時，設(shè)與平面所成角為，，，即直線與平面所成角的正弦值為.21．在奧運知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)奧運知識的問題，已知甲答對這道題的概率是，甲、乙兩人都回答錯誤的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.設(shè)每人回答問題正確與否相互獨立的.(Ⅰ）求乙答對這道題的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】分析：（Ⅰ）設(shè)乙答對這道題的概率為，由對立事件概率關(guān)系和相互獨立事件概率乘法公式，求出乙答對這道題的概率；（Ⅱ）設(shè)丙答對這道題的概率，由相互獨立事件概率乘法公式，求出丙答對這道題的概率和甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率，再由對立事件的概率公式，求得答案.詳解：解：（Ⅰ）記甲、乙、丙3人獨自答對這道題分別為事件,設(shè)乙答對這道題的概率，由于每人回答問題正確與否是相互獨立的，因此是相互獨立事件.由題意，并根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，得解得，所以，乙對這道題的概率為(Ⅱ）設(shè)“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答對這道題”為事件,丙答對這道題的概率.由（Ⅰ），并根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，得,解得甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為 因為事件“甲、乙、丙三人都回答錯誤”與事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題”是對立事件，所以，所求事件概率為點睛：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，對立事件的概率關(guān)系，解題時要認真審題，注意相互獨立事件和對立事件的辨析.22．已知橢圓的一個長軸頂點到另一個短軸頂點的距離為，且橢圓的短軸長與焦距長之和為4．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點（異于橢圓長軸頂點），求（O為坐標原點）面積的最大值，并求此時直線l的方程．【答案】(1)(2)面積的最大值為，直線l的方程為 【分析】（1）由題意有，進而解方程即可得答案；（2）設(shè)M，N兩點的坐標分別為，直線l的方程為，進而與橢圓聯(lián)立方程，結(jié)合判別式得或，由韋達定理得，再根據(jù)，并結(jié)合基本不等式求解即可得答案.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓的焦距為，由題意有解得，      故橢圓的標準方程為；（2）解：設(shè)兩點的坐標分別為，直線l的方程為，聯(lián)立方程消去x后整理為，      有， 由，可得或．      由，      由，當且僅當時等號成立，      可得，            故面積的最大值為，此時直線l的方程為. 

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