?注意事項(xiàng)：
1.本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。
2.答卷前先將密封線左側(cè)的項(xiàng)目填寫清楚。
3.答案須用黑色字跡的鋼筆、簽字筆或圓珠筆書寫，密封線內(nèi)不得答題。

2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題4分，本大題共10個(gè)小題，每個(gè)小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請將正確的選項(xiàng)涂填到答題卡上.每小題4分，共40分）
1．（4分）（2023?永州）的絕對值為　　
A． B． C． D．2
2．（4分）（2023?永州）改革開放以來，我國眾多科技實(shí)體在各自行業(yè)取得了舉世矚目的成就，大疆科技、華為集團(tuán)、太極股份和鳳凰光學(xué)等就是其中的杰出代表．上述四個(gè)企業(yè)的標(biāo)志是軸對稱圖形的是　　
A． B． C． D．
3．（4分）（2023?永州）2023年“五一”假期期間，我市共接待國內(nèi)、外游客140.42萬人次，實(shí)現(xiàn)旅游綜合收入8.94億元，則“旅游綜合收入”用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是　　
A． B． C． D．
4．（4分）（2023?永州）某同學(xué)家買了一個(gè)外形非常接近球的西瓜，該同學(xué)將西瓜均勻切成了8塊，并將其中一塊（經(jīng)抽象后）按如圖所示的方式放在自已正前方的水果盤中，則這塊西瓜的三視圖是　　

A． B．
C． D．
5．（4分）（2023?永州）下列運(yùn)算正確的是　　
A． B． C． D．
6．（4分）（2023?永州）現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：1，4，3，2，4，．若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，則的值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（4分）（2023?永州）下列說法正確的是　　
A．有兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等
B．有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形
C．如果一個(gè)角的補(bǔ)角等于它本身，那么這個(gè)角等于
D．點(diǎn)到直線的距離就是該點(diǎn)到該直線的垂線段的長度
8．（4分）（2023?永州）如圖，四邊形的對角線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，，，則四邊形的面積為　　

A．40 B．24 C．20 D．15
9．（4分）（2023?永州）某公司有如圖所示的甲、乙、丙、丁四個(gè)生產(chǎn)基地．現(xiàn)決定在其中一個(gè)基地修建總倉庫，以方便公司對各基地生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行集中存儲．已知甲、乙、丙、丁各基地的產(chǎn)量之比等于，各基地之間的距離之比（因條件限制，只有圖示中的五條運(yùn)輸渠道），當(dāng)產(chǎn)品的運(yùn)輸數(shù)量和運(yùn)輸路程均相等時(shí)，所需的運(yùn)費(fèi)相等．若要使總運(yùn)費(fèi)最低，則修建總倉庫的最佳位置為　　

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．（4分）（2023?永州）若關(guān)于的不等式組有解，則在其解集中，整數(shù)的個(gè)數(shù)不可能是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（本大題共8個(gè)小題，請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi).每小題4分，共32分）
11．（4分）（2023?永州）分解因式：　 　．
12．（4分）（2023?永州）方程的解為　?。?br /> 13．（4分）（2023?永州）使代數(shù)式有意義的取值范圍是　 ?。?br /> 14．（4分）（2023?永州）下表是甲、乙兩名同學(xué)近五次數(shù)學(xué)測試（滿分均為100分）的成績統(tǒng)計(jì)表：
同學(xué)
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
90
88
92
94
91
乙
90
91
93
94
92
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，成績較好且比較穩(wěn)定的同學(xué)是　?。?br /> 15．（4分）（2023?永州）已知，是的平分線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過作直線，垂足為點(diǎn)，且直線交于點(diǎn)，如圖所示．若，則　?。?br />
16．（4分）（2023?永州）如圖，已知點(diǎn)是的重心，連接并延長，交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．設(shè)三角形，四邊形的面積分別為，，則　?。?br />
17．（4分）（2023?永州）如圖，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過作直線軸，垂足為，則以為直徑的圓與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是　?。?br />
18．（4分）（2023?永州）我們知道，很多數(shù)學(xué)知識相互之間都是有聯(lián)系的．如圖，圖一是“楊輝三角”數(shù)陣，其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和；圖二是二項(xiàng)和的乘方的展開式（按的升冪排列）．經(jīng)觀察：圖二中某個(gè)二項(xiàng)和的乘方的展開式中，各項(xiàng)的系數(shù)與圖一中某行的數(shù)一一對應(yīng)，且這種關(guān)系可一直對應(yīng)下去．將的展開式按的升冪排列得：．
依上述規(guī)律，解決下列問題：
（1）若，則　?。?br /> （2）若，則　?。?br />
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，解答題要求寫出證明步驟或解答過程.共78分）
19．（8分）（2023?永州）計(jì)算：．
20．（8分）（2023?永州）先化簡，再求值：，其中．
21．（8分）（2023?永州）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂測得處的俯角為，處的俯角為，乙在山下測得，之間的距離為400米．已知，，在同一水平面的同一直線上，求山高．（可能用到的數(shù)據(jù)：，

22．（10分）（2023?永州）在一段長為1000的筆直道路上，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員均從點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行往返跑訓(xùn)練．已知乙比甲先出發(fā)30秒鐘，甲距點(diǎn)的距離（米與其出發(fā)的時(shí)間（分鐘）的函數(shù)圖象如圖所示，乙的速度是150米分鐘，且當(dāng)乙到達(dá)點(diǎn)后立即按原速返回．
（1）當(dāng)為何值時(shí)，兩人第一次相遇？
（2）當(dāng)兩人第二次相遇時(shí)，求甲的總路程．

23．（10分）（2023?永州）如圖，已知是的外接圓，且為的直徑，在劣弧上取一點(diǎn)，使，將沿對折，得到，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若，劣弧的弧長為，求的半徑．

24．（10分）（2023?永州）如圖，已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，，且其對稱軸為直線．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)，點(diǎn)，求的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

25．（12分）（2023?永州）某種機(jī)器使用若干年后即被淘汰，該機(jī)器有一易損零件，為調(diào)查該易損零件的使用情況，隨機(jī)抽取了100臺已被淘汰的這種機(jī)器，經(jīng)統(tǒng)計(jì)：每臺機(jī)器在使用期內(nèi)更換的該易損零件數(shù)均只有8，9，10，11這四種情況，并整理了這100臺機(jī)器在使用期內(nèi)更換的該易損零件數(shù)，繪制成如圖所示不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖．
（1）請補(bǔ)全該條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）某公司計(jì)劃購買一臺這種機(jī)器以及若干個(gè)該易損零件，用上述100臺機(jī)器更換的該易損零件數(shù)的頻率代替一臺機(jī)器更換的該易損零件數(shù)發(fā)生的概率．
①求這臺機(jī)器在使用期內(nèi)共更換了9個(gè)該易損零件的概率；
②若在購買機(jī)器的同時(shí)購買該易損零件，則每個(gè)200元；若在使用過程中，因備用該易損零件不足，再購買，則每個(gè)500元．請你幫該公司用花在該易損零件上的費(fèi)用的加權(quán)平均數(shù)進(jìn)行決策：購買機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買幾個(gè)該易損零件，可使公司的花費(fèi)最少？

26．（12分）（2023?永州）（1）如圖1，在平行四邊形中，，，，將平行四邊形分割成兩部分，然后拼成一個(gè)矩形，請畫出拼成的矩形，并說明矩形的長和寬．（保留分割線的痕跡）
（2）若將一邊長為1的正方形按如圖所示剪開，恰好能拼成如圖所示的矩形，則的值是多少？
（3）四邊形是一個(gè)長為7，寬為5的矩形（面積為，若把它按如圖所示的方式剪開，分成四部分，重新拼成如圖所示的圖形，得到一個(gè)長為9，寬為4的矩形（面積為．問：重新拼成的圖形的面積為什么會(huì)增加？請說明理由．


2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題4分，本大題共10個(gè)小題，每個(gè)小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請將正確的選項(xiàng)涂填到答題卡上.每小題4分，共40分）
1．（4分）（2023?永州）的絕對值為　　
A． B． C． D．2
【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)化簡得出答案．
【解答】解：的絕對值為：2．
故選：．
2．（4分）（2023?永州）改革開放以來，我國眾多科技實(shí)體在各自行業(yè)取得了舉世矚目的成就，大疆科技、華為集團(tuán)、太極股份和鳳凰光學(xué)等就是其中的杰出代表．上述四個(gè)企業(yè)的標(biāo)志是軸對稱圖形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確；
、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
3．（4分）（2023?永州）2023年“五一”假期期間，我市共接待國內(nèi)、外游客140.42萬人次，實(shí)現(xiàn)旅游綜合收入8.94億元，則“旅游綜合收入”用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，是負(fù)數(shù)．
【解答】解：將8.94億用科學(xué)記數(shù)法表示為，
故選：．
4．（4分）（2023?永州）某同學(xué)家買了一個(gè)外形非常接近球的西瓜，該同學(xué)將西瓜均勻切成了8塊，并將其中一塊（經(jīng)抽象后）按如圖所示的方式放在自已正前方的水果盤中，則這塊西瓜的三視圖是　　

A． B．
C． D．
【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形；認(rèn)真觀察實(shí)物圖，按照三視圖的要求畫圖即可，注意看得到的棱長用實(shí)線表示，看不到的棱長用虛線的表示．
【解答】解：觀察圖形可知，這塊西瓜的三視圖是．
故選：．
5．（4分）（2023?永州）下列運(yùn)算正確的是　　
A． B． C． D．
【分析】各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：、原式不能合并，不符合題意；
、原式，不符合題意；
、原式，符合題意；
、原式不能合并，不符合題意，
故選：．
6．（4分）（2023?永州）現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：1，4，3，2，4，．若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，則的值為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義，數(shù)據(jù)：1，4，3，2，4，共有6個(gè)數(shù)，最中間的數(shù)只能為和4，然后根據(jù)它們的中位數(shù)為3，即可求出的值．
【解答】解：數(shù)據(jù)1，4，3，2，4，中共有6個(gè)數(shù)，
該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，

解得．
故選：．
7．（4分）（2023?永州）下列說法正確的是　　
A．有兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等
B．有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形
C．如果一個(gè)角的補(bǔ)角等于它本身，那么這個(gè)角等于
D．點(diǎn)到直線的距離就是該點(diǎn)到該直線的垂線段的長度
【分析】根據(jù)去全等三角形的判定方法得出不正確；由矩形的判定方法得出不正確；由補(bǔ)角的定義得出不正確；由點(diǎn)到直線的距離的定義得出正確；即可得出結(jié)論．
【解答】解：．有兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等；不正確；
．有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形；不正確；
．如果一個(gè)角的補(bǔ)角等于它本身，那么這個(gè)角等于；不正確；
．點(diǎn)到直線的距離就是該點(diǎn)到該直線的垂線段的長度；正確；
故選：．
8．（4分）（2023?永州）如圖，四邊形的對角線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，，，則四邊形的面積為　　

A．40 B．24 C．20 D．15
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，得到，推出四邊形是菱形，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論．
【解答】解：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
，
，
四邊形是菱形，
，，
，
，
四邊形的面積，
故選：．
9．（4分）（2023?永州）某公司有如圖所示的甲、乙、丙、丁四個(gè)生產(chǎn)基地．現(xiàn)決定在其中一個(gè)基地修建總倉庫，以方便公司對各基地生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行集中存儲．已知甲、乙、丙、丁各基地的產(chǎn)量之比等于，各基地之間的距離之比（因條件限制，只有圖示中的五條運(yùn)輸渠道），當(dāng)產(chǎn)品的運(yùn)輸數(shù)量和運(yùn)輸路程均相等時(shí)，所需的運(yùn)費(fèi)相等．若要使總運(yùn)費(fèi)最低，則修建總倉庫的最佳位置為　　

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】設(shè)甲基地的產(chǎn)量為噸，則乙、丙、丁基地的產(chǎn)量分別為噸、噸、噸，設(shè)千米，則、、、分別為千米、千米、千米、千米，設(shè)運(yùn)輸?shù)倪\(yùn)費(fèi)每噸為元千米，
①設(shè)在甲處建總倉庫，則運(yùn)費(fèi)最少為：；
②設(shè)在乙處建總倉庫，則運(yùn)費(fèi)最少為：；
③設(shè)在丙處建總倉庫，則運(yùn)費(fèi)最少為：；
④設(shè)在丁處建總倉庫，則運(yùn)費(fèi)最少為：；
進(jìn)行比較運(yùn)費(fèi)最少的即可．
【解答】解：甲、乙、丙、丁各基地的產(chǎn)量之比等于，
設(shè)甲基地的產(chǎn)量為噸，則乙、丙、丁基地的產(chǎn)量分別為噸、噸、噸，
各基地之間的距離之比，
設(shè)千米，則、、、分別為千米、千米、千米、千米，
設(shè)運(yùn)輸?shù)倪\(yùn)費(fèi)每噸為元千米，
①設(shè)在甲處建總倉庫，
則運(yùn)費(fèi)最少為：；
②設(shè)在乙處建總倉庫，
，，
，
則運(yùn)費(fèi)最少為：；
③設(shè)在丙處建總倉庫，
則運(yùn)費(fèi)最少為：；
④設(shè)在丁處建總倉庫，
則運(yùn)費(fèi)最少為：；
由以上可得建在甲處最合適，
故選：．
10．（4分）（2023?永州）若關(guān)于的不等式組有解，則在其解集中，整數(shù)的個(gè)數(shù)不可能是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先分別求出每一個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式組有解，求出，然后分別取，0，，得出整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即可求解．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式組有解，
，
解得，
如果，則不等式組的解集為，整數(shù)解為，有1個(gè)；
如果，則不等式組的解集為，整數(shù)解為，2，有2個(gè)；
如果，則不等式組的解集為，整數(shù)解為，1，2，3，有4個(gè)；
故選：．
二、填空題（本大題共8個(gè)小題，請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi).每小題4分，共32分）
11．（4分）（2023?永州）分解因式：　　．
【分析】本題中沒有公因式，總共三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)能化為兩個(gè)數(shù)的平方和，第三項(xiàng)正好為這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，直接運(yùn)用完全平方和公式進(jìn)行因式分解．
【解答】解：．
故答案為：．
12．（4分）（2023?永州）方程的解為　?。?br /> 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到方程的解．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，
故答案為：
13．（4分）（2023?永州）使代數(shù)式有意義的取值范圍是　?。?br /> 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)求解即可．
【解答】解：代數(shù)式有意義，
，
解得：．
故答案為：．
14．（4分）（2023?永州）下表是甲、乙兩名同學(xué)近五次數(shù)學(xué)測試（滿分均為100分）的成績統(tǒng)計(jì)表：
同學(xué)
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
90
88
92
94
91
乙
90
91
93
94
92
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，成績較好且比較穩(wěn)定的同學(xué)是　乙?。?br /> 【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式先求出甲和乙同學(xué)的平均數(shù)，再代入方差公式求出甲和乙同學(xué)的方差，然后根據(jù)方差的意義即可得出答案．
【解答】解：甲同學(xué)的平均數(shù)是：（分，
甲同學(xué)的方差是：，
乙同學(xué)的平均數(shù)是：（分，
乙同學(xué)的方差是：，
，方差小的為乙，
成績較好且比較穩(wěn)定的同學(xué)是乙．
故答案為：乙．
15．（4分）（2023?永州）已知，是的平分線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過作直線，垂足為點(diǎn)，且直線交于點(diǎn)，如圖所示．若，則　4　．

【分析】過點(diǎn)作，垂足為，則，在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出，在中，由角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出的長，此題得解．
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，如圖所示．
是的平分線，
．
在中，，，
，即．
在中，，，
．
故答案為：4．

16．（4分）（2023?永州）如圖，已知點(diǎn)是的重心，連接并延長，交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．設(shè)三角形，四邊形的面積分別為，，則　?。?br />
【分析】由三角形的重心定理得出，得出，由平行線得出，得出，即可得出結(jié)果．
【解答】解：點(diǎn)是的重心，
，
，
，
，
，，
；
故答案為：．
17．（4分）（2023?永州）如圖，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過作直線軸，垂足為，則以為直徑的圓與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是　和?。?br />
【分析】求得交點(diǎn)、的坐標(biāo)，即可求得直徑的長度和點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得的長度，利用勾股定理求得，結(jié)合的坐標(biāo)即可求得以為直徑的圓與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：由求得或，
，，
，
設(shè)的中點(diǎn)為，以為直徑的與直線的交點(diǎn)為、，
過點(diǎn)作軸于，交于，連接，
是的中點(diǎn)，
，，
，
軸，垂足為，
軸，
，
，
在中，，
，．
以為直徑的圓與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是和，
故答案為和．

18．（4分）（2023?永州）我們知道，很多數(shù)學(xué)知識相互之間都是有聯(lián)系的．如圖，圖一是“楊輝三角”數(shù)陣，其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和；圖二是二項(xiàng)和的乘方的展開式（按的升冪排列）．經(jīng)觀察：圖二中某個(gè)二項(xiàng)和的乘方的展開式中，各項(xiàng)的系數(shù)與圖一中某行的數(shù)一一對應(yīng)，且這種關(guān)系可一直對應(yīng)下去．將的展開式按的升冪排列得：．
依上述規(guī)律，解決下列問題：
（1）若，則　105　；
（2）若，則　?。?br />
【分析】（1）根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為前14個(gè)數(shù)的和；
（2）根據(jù)的特殊值代入要解答，即把代入時(shí)，得到結(jié)論．
【解答】解：（1）由圖2知：的第三項(xiàng)系數(shù)為0，
的第三項(xiàng)的系數(shù)為：1，
的第三項(xiàng)的系數(shù)為：，
的第三項(xiàng)的系數(shù)為：，

發(fā)現(xiàn)的第三項(xiàng)系數(shù)為：；
的第三項(xiàng)系數(shù)為；
的第三項(xiàng)系數(shù)為；
不難發(fā)現(xiàn)的第三項(xiàng)系數(shù)為，
，則．
故答案為：105；
（2）．
當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，解答題要求寫出證明步驟或解答過程.共78分）
19．（8分）（2023?永州）計(jì)算：．
【分析】首先計(jì)算乘方、開方，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：



20．（8分）（2023?永州）先化簡，再求值：，其中．
【分析】根據(jù)分式的乘法和減法可以化簡題目中的式子，然后將的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【解答】解：



，
當(dāng)時(shí)，原式．
21．（8分）（2023?永州）為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂測得處的俯角為，處的俯角為，乙在山下測得，之間的距離為400米．已知，，在同一水平面的同一直線上，求山高．（可能用到的數(shù)據(jù)：，

【分析】設(shè)，然后根據(jù)等腰直角三角形以及特殊角銳角三角函數(shù)的值即可求出答案．
【解答】解：設(shè)，
由題意可知：，，
，
，
在中，
，
，
解得：，
山高為546.4米
22．（10分）（2023?永州）在一段長為1000的筆直道路上，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員均從點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行往返跑訓(xùn)練．已知乙比甲先出發(fā)30秒鐘，甲距點(diǎn)的距離（米與其出發(fā)的時(shí)間（分鐘）的函數(shù)圖象如圖所示，乙的速度是150米分鐘，且當(dāng)乙到達(dá)點(diǎn)后立即按原速返回．
（1）當(dāng)為何值時(shí)，兩人第一次相遇？
（2）當(dāng)兩人第二次相遇時(shí)，求甲的總路程．

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出當(dāng)為何值時(shí)，兩人第一次相遇；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出當(dāng)兩人第二次相遇時(shí)，甲行駛的總路程．
【解答】解：（1）甲的速度為：米分鐘，
令，
解得，，
答：當(dāng)為0.75分鐘時(shí)，兩人第一次相遇；
（2）當(dāng)時(shí)，
乙行駛的路程為：，
甲乙第二次相遇的時(shí)間為：（分鐘），
則當(dāng)兩人第二次相遇時(shí)，甲行駛的總路程為：（米，
答：當(dāng)兩人第二次相遇時(shí)，甲行駛的總路程是1109.375米．
23．（10分）（2023?永州）如圖，已知是的外接圓，且為的直徑，在劣弧上取一點(diǎn)，使，將沿對折，得到，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若，劣弧的弧長為，求的半徑．

【分析】（1）在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，則，即可求解；
（2）證明四邊形為矩形，，而，則，即，即可求解．
【解答】解：（1），，
設(shè)：，，

則中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，
，
，
是的切線；
（2）過點(diǎn)作，延長交于點(diǎn)，
則，四邊形為矩形，
設(shè)：，則，
則，而，
則，，
為等邊三角形，即，
，
解得：，
故圓的半徑為3．
24．（10分）（2023?永州）如圖，已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，，且其對稱軸為直線．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)是拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)，點(diǎn)，求的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

【分析】（1）因?yàn)閷ΨQ軸是直線，所以得到點(diǎn)的對稱點(diǎn)是，因此利用交點(diǎn)式，求出解析式．
（2）根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得最大值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．
【解答】解：（1）拋物線對稱軸是直線且經(jīng)過點(diǎn)
由拋物線的對稱性可知：拋物線還經(jīng)過點(diǎn)
設(shè)拋物線的解析式為
即：
把代入得：

拋物線的解析式為：．
（2）設(shè)直線的解析式為，
，，
，
直線為，
作軸于，交直線于，
設(shè)，則，
，
．
當(dāng)時(shí)，，，
的面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
25．（12分）（2023?永州）某種機(jī)器使用若干年后即被淘汰，該機(jī)器有一易損零件，為調(diào)查該易損零件的使用情況，隨機(jī)抽取了100臺已被淘汰的這種機(jī)器，經(jīng)統(tǒng)計(jì)：每臺機(jī)器在使用期內(nèi)更換的該易損零件數(shù)均只有8，9，10，11這四種情況，并整理了這100臺機(jī)器在使用期內(nèi)更換的該易損零件數(shù)，繪制成如圖所示不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖．
（1）請補(bǔ)全該條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）某公司計(jì)劃購買一臺這種機(jī)器以及若干個(gè)該易損零件，用上述100臺機(jī)器更換的該易損零件數(shù)的頻率代替一臺機(jī)器更換的該易損零件數(shù)發(fā)生的概率．
①求這臺機(jī)器在使用期內(nèi)共更換了9個(gè)該易損零件的概率；
②若在購買機(jī)器的同時(shí)購買該易損零件，則每個(gè)200元；若在使用過程中，因備用該易損零件不足，再購買，則每個(gè)500元．請你幫該公司用花在該易損零件上的費(fèi)用的加權(quán)平均數(shù)進(jìn)行決策：購買機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買幾個(gè)該易損零件，可使公司的花費(fèi)最少？

【分析】（1）共抽查100臺機(jī)器，更換8個(gè)零件的有20臺，更換9個(gè)零件的有50臺，更換11個(gè)零件的有20臺，可以計(jì)算出更換10個(gè)零件的有臺，進(jìn)而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
（2）①用樣本的頻數(shù)估計(jì)總體的概率，即求出抽查的100臺機(jī)器中更換9個(gè)零件的頻率即可；
②利用加權(quán)平均數(shù)計(jì)算各種情況下的花費(fèi)，比較得出答案．
【解答】解：（1），補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：
（2）①這臺機(jī)器在使用期內(nèi)共更換了9個(gè)該易損零件的概率為：；
②購買機(jī)器的同時(shí)購買8個(gè)該易損零件元，
購買機(jī)器的同時(shí)購買9個(gè)該易損零件元，
購買機(jī)器的同時(shí)購買10個(gè)該易損零件元，
購買機(jī)器的同時(shí)購買11個(gè)該易損零件元，
因此，購買機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買9個(gè)該易損零件，可使公司的花費(fèi)最少．

26．（12分）（2023?永州）（1）如圖1，在平行四邊形中，，，，將平行四邊形分割成兩部分，然后拼成一個(gè)矩形，請畫出拼成的矩形，并說明矩形的長和寬．（保留分割線的痕跡）
（2）若將一邊長為1的正方形按如圖所示剪開，恰好能拼成如圖所示的矩形，則的值是多少？
（3）四邊形是一個(gè)長為7，寬為5的矩形（面積為，若把它按如圖所示的方式剪開，分成四部分，重新拼成如圖所示的圖形，得到一個(gè)長為9，寬為4的矩形（面積為．問：重新拼成的圖形的面積為什么會(huì)增加？請說明理由．

【分析】（1）過作于，將進(jìn)行平移即可求解；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）如圖所示：

（2）依題意有
，
解得，（負(fù)值舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
故的值是；
（3），
直角三角形的斜邊與直角梯形的斜腰不在一條直線上，
故重新拼成的圖形的面積會(huì)增加．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2023/8/28 16:55:10；用戶：數(shù)學(xué)；郵箱：85886818-2@xyh.com；學(xué)號：27755521


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