命題人：胡陽審題人：鄭進(jìn)
說明：本試卷分第 I 卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分 150 分?？荚囉脮r(shí) 120
分鐘，
注 意 事 項(xiàng)：
考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求。
答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)或 IS 號(hào)用書寫黑色字跡的 0．5 毫米簽字筆填寫在答題卡和答題紙上。
作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的 0．5 毫米簽字筆寫在答題紙上的指定位置，在其它位置作答一律無效。作答選擇題必須用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，請(qǐng)保持卡面清潔和答題紙清潔，不折疊、不破損。
考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題紙交回。
第 I 卷(選擇題)
一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
若集合 M ?{(x, y∣)
y ? 1}，集合 N ?{(x, y∣)
x ? 0}，則 M ? N ? （）
A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1, 0)}D. {(0,1), (1, 0)}
若復(fù)數(shù) z ? 2i?1? 2i? ? i3 ，則 z
A. 6B. 5
? （）
C. 4D. 3
總體由編號(hào)為 01，02，?，49，50 的 50 個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取 6 個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)
數(shù)表第 6 行的第 9 列和第 10 列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第 4 個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()
附：第 6 行至第 9 行的隨機(jī)數(shù)表
如右圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[?3,3]上的大致圖象，則該函數(shù)是 ()
2748
6198
7164
4148
7086
2888
8519
1620
7477
0111
1630
2404
2979
7991
9683
5125
3211
4919
7306
4916
7677
8733
9974
6732
2635
7900
3370
9160
1620
3882
7757
4950
A. 3
B. 19
C. 38
D. 20
y ?
?x3 ? 3x x2 ?1
y ?
x3 ? x x2 ?1
y ? 2 cs x
x2 ?1
y ? 2 sin x
x2 ?1
拋物線C : y2 ? ?12x 的焦點(diǎn)為 F ， P 為拋物線C 上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) A(?5, 2) ，則 PA ? PF 的最小值為
（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 9
6．2022 年 6 月 5 日上午 10 時(shí) 44 分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號(hào) F 運(yùn)載火箭，將神舟十四號(hào)載人飛船
和 3 名中國航天員送入太空這標(biāo)志著中國空間站任務(wù)轉(zhuǎn)入建造階段后的首次載人飛行任務(wù)正式開啟.火箭在發(fā)射時(shí)
會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)d ? x? （單位： dB ）與聲強(qiáng) x （單位： W/m2 ）滿足d ? x? ? 10 lg
x
10?12 .若
人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為50dB ，且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為109 ，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約
為（）
A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB
tan ?? ? π ? ? ? 5
1 ? 2sin 2? ? 3cs2 ?
?
7. 若?4 ?3 ，則2（）
??
A. 3B.
1 ? 2sin 2? ? 3cs
4
3
?
C. 2D. 4
一個(gè)幾何體三視圖如右圖所示，則該幾何體體積為（）
A. 12B. 8C. 6D. 4
已知函數(shù) f ? x? ? ?lg2 x, x ? 1, 在 R 上單調(diào)遞增的概率為 1 ，且隨機(jī)變量
?
?x ? ? , x ? 1,2
? ~ N ?u,1?．則 P ?0 ? ? ? 1? 等于（）
[附：若? ~ N ??,? 2 ?，則 P ?? ?? ? x ? ? ? ? ? ? 0.6827 ，
P?? ? 2? ? x ? ? ? 2? ? ? 0.9545 ．]
A. 0.1359B. 0.1587C. 0.2718D. 0.3413
x2y2Q
已知 是橢圓 E ：?
a2b2
? 1?a ? b ? 0? 的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O 的直線l 與橢圓 E 交于 ，
兩點(diǎn)，若
PF ? 3 QF ，且?PFQ ? 120? ，則橢圓 E 的離心率為（）
A.7
4
B. 1
2
C.3
4
D.3
2
)
如圖，曲線?為函數(shù)? = sin? (0 ≤ ? ≤ 5? 的圖象，甲粒子沿曲線?從?點(diǎn)向目的地?點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，乙粒子沿曲線?從?
2
點(diǎn)向目的地?點(diǎn)運(yùn)動(dòng).兩個(gè)粒子同時(shí)出發(fā)，且乙的水平速率為甲的2倍，當(dāng)其中一個(gè)粒子先到達(dá)目的地時(shí)，另一個(gè)粒子
?
隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)甲粒子的坐標(biāo)為(?, ?)，乙粒子的坐標(biāo)為(?, ?)，若記? ? ? = ?(?)，則下列說法中正確的是 ()
?(?)在區(qū)間(2 , ?)上是增函數(shù)
?(?)恰有2個(gè)零點(diǎn)
?(?)的最小值為?2
?(?)的圖象關(guān)于點(diǎn)(5? , 0)中心對(duì)稱
6
已知函數(shù) f ? x? ， g ? x? ， g?? x? 的定義域均為 R ， g?? x? 為 g ? x? 的導(dǎo)函數(shù). 若 g ? x? 為偶函數(shù)， 且
f ? x? ? g?? x? ? 1， f ? x? ? g??4 ? x? ? 1 .則以下四個(gè)命題：① g??2022? ? 0 ；② g ? x? 關(guān)于直線 x ? 2 對(duì)稱；③
20222023
? f ?k ? ? 2022 ；④ ? f ?k ? ? 2023 中一定成立的是（）
k ?1k ?1
A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①②④
第Ⅱ卷(非選擇題)
二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.
已知直線l1 : y ? 2x ，則過圓 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ?1 ? 0 的圓心且與直線l1 垂直的直線l2 的方程為.
杜甫 “三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世中身世飄蕩的孤獨(dú)，揭示了戰(zhàn)爭(zhēng)給人民帶來的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》，“三別”是指《新婚別》《無家別》《垂老別》．語文老師打算從“三吏”中選二篇，從“三別”中選一篇推薦給同學(xué)們課外閱讀，那么語文老師選的三篇中含《新安吏》和
《無家別》的概率是．
將函數(shù) f ? x? ? 4 cs π x 和直線 g ? x? ? x ?1 的所有交點(diǎn)從左到右依次記為 A ， A ，…， A ，若 P ?0, 3 ? ，
則 PA1 ? PA2 ? ... ? PAn
2
? .
12n
在棱長為4的正方體???? ? ?1?1?1?1中，?，?分別為?1?1，?1?1的中點(diǎn)，?為正方體棱上一動(dòng)點(diǎn)．下列說法中所有正確的序號(hào)是.
①?在??上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得??與?1?所成角為60°；
②?在??上運(yùn)動(dòng)時(shí)，??與??1所成角的最大正弦值為√5；
3
③?在?? 上運(yùn)動(dòng)且?? = 1 ?? 時(shí)，過?，?，?三點(diǎn)的平面截正方體所得多邊形的周長為8√5 + 2√2；
131
④?在??1上運(yùn)動(dòng)時(shí)(?不與?1重合)，若點(diǎn)?，?，?，?1在同一球面上，則該球表面積最大值為24?．
三、解答題：共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 17-21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共 60 分.
已知數(shù)列?a ? 的前?項(xiàng)和為 S ， S ? 3 n2 ? 1 n ．
nnn22
求數(shù)列?an? 的通項(xiàng)公式；
數(shù)列bn ? ?lg an ?， ?x? 表示不超過 x 的最大整數(shù)，求?bn? 的前1000項(xiàng)和?1000．
在多面體 ABCDE 中，平面 ACDE⊥平面 ABC，四邊形 ACDE 為直角梯形， CD // AE ，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F(xiàn) 為 DE 的中點(diǎn)，且點(diǎn)G 滿足 EB ? 4EG ．
證明：GF // 平面 ABC；
當(dāng)多面體 ABCDE 的體積最大時(shí)，求二面角 A-BE-D 的正弦值．
某校團(tuán)委針對(duì)“學(xué)生性別和喜歡課外閱讀”是否有關(guān)做了一次不記名調(diào)查，其中被調(diào)查的全體學(xué)生中，女生人數(shù)
1
占總?cè)藬?shù)的
3
1
.調(diào)查結(jié)果顯示，男生中有
6
2
的人喜歡課外閱讀，女生中有
3
的人喜歡課外閱讀．
(1)以頻率視為概率，若從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜歡課外閱讀的概率; (2)若有95%的把握認(rèn)為喜歡課外閱讀和性別有關(guān)，求被調(diào)查的男生至少有多少人?
附：
?(?2 ? ?0)
0.050
0.010
?0
3.841
6.635
?2 =?(?????)2
，? = ? + ? + ? + ?．
(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)
“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）
步驟 1：設(shè)圓心是 E ，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為 ；步驟 2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn) ；
步驟 3：把紙片展開，并留下一道折痕；
步驟 4：不停重復(fù)步驟 2 和 3，就能得到越來越多的折痕.
已知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為 6 的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn) 到圓心 E 的距離為 4，按上述方法折紙.
以點(diǎn) 、 E 所在的直線為 軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
若過點(diǎn)Q ?1, 0? 且不與 y 軸垂直的直線l 與橢圓 交于 M ， N 兩點(diǎn)，在 軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)
T ?t,0? ，使得直線TM ， TN 斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
已知函數(shù) f ? x? ? ex ?1? m ln x? ，其中m ? 0 ， f ?? x? 為 f ? x? 的導(dǎo)函數(shù).
當(dāng)m ? 1，求 f ? x? 在點(diǎn)?1, f ?1?? 處的切線方程；
5
2
設(shè)函數(shù)h ? x? ? f ?? x? ，且h ? x?
ex
恒成立.
①求m 的取值范圍；
1
②設(shè)函數(shù) f ? x? 的零點(diǎn)為 x0 ， f ?? x? 的極小值點(diǎn)為x ，求證： x0 ? x1 .
（二）選考題：共 10 分.請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分. [選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]）
?
在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線C 的參數(shù)方程為?x ? 2 ? 2 cs? （? 為參數(shù)， 0 ? ? ? π ），
C 的參數(shù)方程為
?
?x ? 1?
?
?
? y ? 5 ?
?
1
2 t
2（t 為參數(shù)）.
2 t
2
? y ? 2sin?2
求C1 的普通方程并指出它的軌跡；
以 O 為極點(diǎn)，x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線OM ：? ? π 與曲線C 的交點(diǎn)為 O，P，與C 的交
點(diǎn)為 Q，求線段 PQ 的長.
[選修 4-5：不等式選講]
412
已知函數(shù) f ? x? ? x ?1 ? 2 x ?1 的最大值為k .
求k 的值；
2a, b, c ?R
a2 ? c2 ? 2 ?
b ?a ? c?.
（ ）若
，bk ，求
2
的最大值
南昌十中 2023 屆高三一模模擬數(shù)學(xué)試題（理科）
一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
【答案】B
【詳解】根據(jù)集合M 表示縱坐標(biāo)為 1 的點(diǎn)集，集合 N 表示橫坐標(biāo)為 0 的點(diǎn)集，所以兩者交集為{(0,1)}，
故選：B.
【答案】B
16 ? 9
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù) z ? 2i ?1? 2i? ? i3 ? ?4 ? 3i ，所以 z ?
【答案】B
? 5 ．故選：B．
【詳解】解：從隨機(jī)數(shù)表第 6 行的第 9 列和第 10 列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，位于 01 至 50 中間，含端點(diǎn)，則這四個(gè)數(shù)為：41、48、28，19，故選：B．
2
【答案】A 解：對(duì)于， = 3?，當(dāng) = 1 時(shí)， = 0，與圖象不符合，故
+1
B 錯(cuò)誤；
對(duì)于， = 2cs = 0 時(shí)， = 2，與圖象不符合，故 C 錯(cuò)誤；
2+1 ，當(dāng)
對(duì)于， = 2sin，當(dāng) = 3 時(shí)， = 2sin3 = 2sin3 > 0，與圖象不符合，故 D
錯(cuò)誤．故選 A．
2+1
32+110
【答案】A
【詳解】如圖，
設(shè)拋物線C 的準(zhǔn)線為l ，過 P 作 PC ? l 于C ，過A 作 AB ? l 于B ，因?yàn)閨 PF |?| PC | ，所以當(dāng)A ， P ， C 三點(diǎn)共線時(shí)，
| PA | ? | PF | 取得最小值，故| PA | ? | PF | 的最小值為| ?5 | ? p ? 8 ．故選:A.
2
【詳解】設(shè)人交談時(shí)的聲強(qiáng)為x ，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為109 x ，
則50 ? 10 lg
x1
10?12
，解得： x1
11
? 10?7 ，
則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為109 ?10?7 ? 102 ，將其代入d ? x ? ? 10 lg
x
10?12
中，得：
d ?102
? ? 10 lg
102
10?12 ? 140 dB ，故火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為140dB .故選：B
【答案】A
tan ??? π ? ? tan π
? 5 ?1
?ππ ?
?4 ?4
【詳解】解：因?yàn)閠an?? tan ????
? ? ?? ? 3 ? 4 ，
?44 ?
1? tan ??? π ? ? tan π1? ?? 5 ?
?4 ?4?3 ?
所以
????
1 ? 2 sin 2?? 3cs2?
1 ? 2 sin 2?? 3cs2?
sin 2?? 4 sin?cs?? 4 cs2?
sin 2?? 4 sin?cs?? 4 cs2?
sin?? 2 cs?
sin?? 2 cs?
tan?? 2
tan?? 2
???? 3 ．
故選：A.
【答案】D
【詳解】由三視圖可知該幾何體為三棱錐，
如圖，故其體積V ? 1 ? 1 ? 2? 3? 4 ? 4 ，
32
故選：D．
【答案】A
【詳解】使 f ? x ? 在 R 上單調(diào)遞增的充要條件是??1 ? lg 1 ? 0 ，即?? ?1 ，故 P(?? ?1) ? 1 .
2
由于隨機(jī)變量?~ N ?u,1?，則u ? ?1 ，即?~ N ??1,12 ? ，即?? ?1 ，?? 1. 故 P ??2 ??? 0? ? P ??????? ???? ? 0.6827 ，
P ??3 ??? 1? ? P ??? 2???? ?? 2?? ? 0.9545 ， 所以
2
P ?0 ??? 1? ? P ??1 ??? 1? ? P ??1 ??? 0? ? 1 ? ??P ??3 ? ?? 1?? P ??2 ? ?? 0 ???
2
? 1 ? ?0.9545 ? 0.6827 ? 2
? 0.1359 ．故選：A．
【答案】A
【詳解】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn) F ? ，連接 PF ? ， QF ? ，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形 PFF ?Q 為平行四邊形，
則 QF
? PF ? ，且由?PFQ ? 120? ，可得?FPF? ? 60?，
所以 PF
? PF ? ? 4 PF ? ? 2a ，則 PF ? ? 1 a ， PF
2
? 3 a
2
由余弦定理可得
?2c?2 ? PF 2 ? PF ? 2 ? 2 PF PF ? cs 60? ? ? PF
即4c2 ? 4a2 ? 9 a2 ? 7 a2 ，
44
? PF ? ?2 ? 3 PF PF ? ，
c2
a2
7
16
7
∴橢圓的離心率e ???，故選：A．
4
【答案】B
【解答】解：由題意得： = sin, = sin = sin
5
2
? 2 = cs2，
所以 = ? = sin ? cs2 = 2sin2 + sin ? 1，
0 ≤ ≤ 55
由52
5得 0 ≤ ≤ 4 ，
0 ≤ 2 ? 2 ≤ 2
令 = sin，則 = 22 + ? 1，因?yàn)?= sin在( , )上遞減， = 22 + ? 1 在 0,1 上遞增，所以()在區(qū)
2
2
間( , )上是減函數(shù)，故 A 錯(cuò)誤；
令 = 2sin2 + sin ? 1 = 0，得sin = 1或sin =? 1，解得 = 或 = 5，故 B 正確；
1
4
266
因?yàn)?= 22 + ? 1 = 2 +
2 ? 9 , ∈ [ ? 2 , 1]，所以()的最小值為? 9，故 C 錯(cuò)誤；
1
4
828
因?yàn)?= 22 + ? 1 = 2 +
2 ? 9 , ∈ [ ? 2 , 1]，關(guān)于 =? 1對(duì)稱，是軸對(duì)稱圖形，
824
6
所以()不可能關(guān)于點(diǎn)( 5 , 0)中心對(duì)稱，故 D 錯(cuò)誤；故選：
【答案】D
【解析】
?? f ? x ? ? g ??x ? ? 1
??
【詳解】對(duì)②：由
，可得 g?? x ? ? ?g??4 ? x ? ，則 g ? x ? ? C
? g ?4 ? x ?? C （ C 與C 為
常數(shù)），
? f ? x ? ? g ??4 ? x ? ? 1
1212
令 x ? 2 ，則 g ?2? ? C1 ? g ?2 ? ? C2 ，所以C1 ? C2 ，則 g ? x ? ? g ?4 ? x ? ，
故 g ? x? 關(guān)于直線 x ? 2 對(duì)稱，②正確；
對(duì)①：∵ g ? x? 為偶函數(shù)，則 g ? x ? ? g ??x ? ，∴ g?? x? ? ?g???x?，則 g?? x? 為奇函數(shù)，
故 g?? x? ? ?g??4 ? x? ? g?? x ? 4?，即 g?? x ? 4? ? g? ?x ? ，則 g?? x? 是以 4 為周期的周期函數(shù)，由 g?? x ? ? ?g??4 ? x ? ，令 x ? 2 ，則 g??2? ? ?g??2? ，可得 g??2? ? 0 ，
故 g??2022? ? g??2? ? 0 ，①正確；
由 g?? x ? ? ?g??4 ? x ? ，令 x ? 1 ，則 g??1? ? ?g??3? ，即 g??1? ? g??3? ? 0 ，令 x ? 0 ，則 g??0? ? ?g??4? ? 0 ，即 g??4? ? 0 ，
故 g??1? ? g??2? ? g??3? ? g??4? ? 0 ，則 g??4k ?1? ? g??4k ? 2? ? g??4k ? 3? ? g??4k ? 4? ? 0?k ? N? ，對(duì)③：由 f ? x? ? g?? x? ? 1，即 f ? x? ? 1? g?? x? ，則
202220222022
? f ?k ? ? ? ??1? g ??k ??? ? 2022 ? ? g ??k ?? 2022 ? ??g ??1 ?? g ? ?2 ??? ?2022 ? g ? ?1 ? ，
k ?1
k ?1
k ?1
由于無法得出 g??1? 的值，③錯(cuò)誤；
202320232023
對(duì)④： ? f ?k ? ? ? ??1? g ??k ??? ? 2023 ? ? g ??k ?? 2023 ? ??g ??1 ?? g ? ?2 ?? g ? ?3 ??? ? 2023 ，④正確；故選：
k ?1
D.
k ?1
k ?1
二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.
?
【答案】 x ? 2 y ? 3 ? 0
【詳解】圓 x2 ? y2 ? 2x ? 4y ? 1 ? 0 ,化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得? x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 4
則圓心坐標(biāo)為(-1, 2)
因?yàn)閘1 : y ? 2x ,直線l1 與直線l2 垂直
由兩條直線垂直的斜率關(guān)系可得直線l 的斜率為k ? ? 1
22
由點(diǎn)斜式方程可得 y ? ? 1 ? x ?1? ? 2 ,化簡(jiǎn)即 x ? 2 y ? 3 ? 0
2
故答案為: 14.
【答案】 2
9
x ? 2 y ? 3 ? 0
【詳解】將《新安吏》《石壕吏》《潼關(guān)吏》分別記為 a、b、c，《新婚別》《無家別》《垂老別》分別記為 d、e、 f，
從“三吏”中選兩篇，從“三別”中選一篇的樣本空間為? ? {abd , abe, abf , acd , ace, acf , bcd , bce, bcf }，共
9 個(gè)樣本點(diǎn)，記事件 A 為“語文老師選的三篇中含《新安吏》和《無家別》”，
則 A ? {abe, ace}，共 2 個(gè)樣本點(diǎn)，故 P( A) ? 2 ，故答案為： 2
99
15.【答案】10
【詳解】如圖可知：函數(shù) f ? x ? ? 4 cs π x 和直線 g ? x? ? x ?1 共有 5 個(gè)交點(diǎn)，依次為 A , A , A , A , A ，其中
2
A3 ?1, 0? ，
12345
∵函數(shù) f ? x ? ? 4 cs π x 和直線 g ? x? ? x ?1 均關(guān)于點(diǎn) A ?1, 0? 對(duì)稱，則
23
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 關(guān)于點(diǎn) A3 ?1, 0? 對(duì)稱，
∴ PAi ? PA6?i ? 2PA3 , i ? 1, 2, 3 ，且 PA3 ? ?1, ?
5
2
12 ? ??
3 ?2
uuur uuuruuuruuuruuur
3 ? ，
故 PA1 ? PA2 ? ...? PA5
故答案為：10.
16.
【答案】②④
?
? 2PA3
? 5 PA3
? 5
? 10
解：對(duì)于①，連接1，1，
∵ ⊥平面11，1 ?平面11，∴ ⊥ 1；
∵四邊形11為正方形，∴ 1 ⊥ 1；
又1 ∩ = ，1， ?平面11，∴ 1 ⊥平面11，
又? ?平面11，∴ 1 ⊥ ?，即?與1所成角恒為 90°，①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，取中點(diǎn)，連接，?，
∵ ，分別為11，中點(diǎn)，∴ //1，又1 ⊥平面，∴ ⊥平面
?
∴ ?與1所成角即為∠?，sin∠? = ?，
當(dāng)sin∠?最大時(shí)，cs∠?最小，
又cs∠? = = 4 ，∴當(dāng)?最大時(shí)，cs∠?最小，
??
42 + 22 + 42
∵當(dāng)?與或重合時(shí)，?取得最大值
∴ sin∠?的最大值為 42+22 = 5，②正確；
= 6，
63
對(duì)于③，延長，11交于點(diǎn)，連接?交1于；延長，11交于點(diǎn)，連接?交1于；
則過?，，三點(diǎn)的平面截正方體所得多邊形即為五邊形?；
11
取11中點(diǎn)，連接，
∵ 1//，∴ 1 = 1 = 1，∴ 1 = 1，即= ，
1 = 1
2
13
1?3
42 + 22
同理可得：1?
∴ ? = ? =
3，∴ 1 = 1 = 1；
= 2 5， = =
12 + 22
=5， =
22 + 22
= 2 2，
5
∴五邊形?的周長為 6+ 2 2，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若點(diǎn)?，，，1在同一球面上，則該球即為三棱錐? ? 1的外接球，
2
∵△ 1的外接圓半徑 = 1 =2，
2
∴三棱錐? ? 1外接球半徑 =2 + ( 1 1?)2，又1?的最大值為1 = 4，∴ ? =2 + 4 =6，
∴該球表面積最大值為 4 × 6 = 24，④正確．故答案為：②④．
三、解答題：共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步
驟.第 17-21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共 60 分.
17.
【答案】解：(1)當(dāng) = 1 時(shí)，?1 = 1 = 1，……2 分
當(dāng) ≥ 2 時(shí)，? = ? ?1 = 3 2 ? 1 ? 3 ? 1 2 ? 1
? 1
= 3 ? 2，
2222
將 = 1 代入上式得?1 = 1，滿足?，所以? = 3 ? 2；……6 分
(2)因?yàn)?4 = 10，?34 = 100，?334 = 1000，?3334 = 10000， 0,1 ≤ ≤ 3
所以 =
1,4 ≤ ≤ 33
2,34 ≤ ≤ 333
3,334 ≤ ≤ 1000
,……10 分
所以1000 = 0 × 3 + 1 × 30 + 2 × 300 + 3 × 667 = 2631．……12 分
18.
【答案】（1）證明見解析（2） 42
7
【小問 1 詳解】
2
取 AB，EB 中點(diǎn) M，N，連接 CM，MN，ND，在梯形 ACDE 中， CD / / AE 且 DC= 1 EA，
2
而 M，N 分別為 BA，BE 中點(diǎn)，∴MN//EA，MN= 1 EA，
∴MN//CD，MN=CD，即四邊形 CDNM 是平行四邊形，∴CM//DN
–––→
又 EG ?
–––→
EB ，N 為 EB 中點(diǎn)，∴G 為 EN 中點(diǎn)，又 F 為 ED 中點(diǎn)
4
∴GF//DN，故 GF//CM，
又 CM ? 平面 ABC，GF ? 平面 ABC，∴ GF / / 平面 ABC.……5 分
【小問 2 詳解】
在平面 ABC 內(nèi)，過 B 作 BH⊥AC 交 AC 于 H．
∴平面 ACDE⊥平面 ABC，平面 ACDE ∩平面 ABC=AC，BH ? 平面 ABC，BH⊥AC，
∴BH⊥平面 ACDE，則 BH 為四棱錐 B-ACDE 的高，
2
又底面 ACDE 面積確定，要使多面體 ABCDE 體積最大，即 BH 最大，
此時(shí) AB=BC=
， BH ? 1， H 為 AC 的中點(diǎn)，
連結(jié) HF ，易得 HF / / AE ，易知 HB，HC，HF 兩兩垂直，以 H 為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 H-xyz，
∴ A?0, ?1, 0?, B ?1, 0, 0?, E ?0, ?1, 2?, D ?0,1,1? ，
則 AB ? ?1,1, 0?, BE ? ??1, ?1, 2 ?, DE ? ?0,? 2,1? ，
?
–→ –––→
設(shè)n ? ? x , y , z ? 為平面 ABE 的一個(gè)法向量，則?n1 ? AB ? 0 ，即
111 1
?–––→
?x1 ? y1 ? 0
，取n ? ?1, ?1, 0? ，……7 分
??n1 ? BE ? 0
??x ? y ? 2z ? 01
?111
–→ –––→
?
?n2 ? DE ? 0
??2 y2 ? z2 ? 0
設(shè)n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? 為平面 DBE 的一個(gè)法向量，則? –→ –––→，即??x ? y
? 2z
? 0 ，取n2 ? ?3,1, 2? ，……
9 分
∴ cs
ur ur
n1 , n2
ur ur
ur ur
n1 ? n2
? n1 ? n2 ?
7
7 ，……11 分
??n2 ? BE ? 0
?222
1? cs2 n , n
–→ –→
12
∴二面角 A ? BE ? D 的正弦值為
19.
【答案】
?
?42 .……12 分
1? 1
7
7
解：(1)從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取 2 名男生和 2 名女生，記其中恰有 2 人喜歡課外閱讀為事件，
則() = ( 1 )2 × ( 1 )2 + ( 5 )2 × ( 2 )2 + 11 ? 1 × 5 × 1 × 2 = 47 ．……6 分
6363
2 2 6
6 33
108
(2)設(shè)被調(diào)查的男生人數(shù)為，則被調(diào)查的女生人數(shù)為2，則 2 × 2 列聯(lián)表為
( ? ? ? )
若有 95%的把握認(rèn)為喜歡課外閱讀和性別有關(guān)，則2 ≥ 3.841，
喜歡課外讀物
不喜歡課外讀物
合計(jì)
男生
6
5
6
女生
3
6
2
合計(jì)
2
3
2
即2 =
3 5 2
6 6 6 3
=
???
3 ≥ 3.841，則 ≥
3.841×8
3
≈ 10.243，
8
2 2
又2，3，6均為整數(shù)，所以被調(diào)查的男生至少有 12 人． ……12 分
20.
2
2
1
【答案】（1） x ? y ?
95
存在點(diǎn)T ?3,0? ，使得直線TM 與TN 斜率之積為定值? 10 .
9
【解析】
【小問 1 詳解】
如圖，以 FE 所在的直線為 x 軸， FE 的中點(diǎn)O 為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系
設(shè) M ? x, y ? 為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知， MF ? ME ? AE ? 6 ? EF ? 4 ，
所以M 點(diǎn)軌跡是以 F ， E 為焦點(diǎn)，長軸長2a ? 6
因?yàn)?c ? 4 ， 2a ? 6 ，所以c ? 2 ， a ? 3 ，
的橢圓，
2
2
則b2 = a2 - c2 = 5 ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x ? y ? 1；……5 分
95
【小問 2 詳解】
由已知：直線l 過Q ?1, 0? ，設(shè)l 的方程為 x ? my ? 1 ，由題意 m 必定是存在的，
?
1
? x2 ? y2 ?
聯(lián)立兩個(gè)方程得? 95
??x ? my ? 1
，消去 x 得?5m2 ? 9? y2 ?10my ? 40 ? 0 ，
Δ ? 100m2 ?160 ?5m2 ? 9? ? 0 得m ? R ，
設(shè) M ? x , y ? ， N ? x , y
? ，則 y ? y ?
?10m
， y y ?
?40
（*），
1122
125m2 ? 9
1 25m2 ? 9
k? k
?y1 ?y2?
y1 y2
TMTN
x ? t x ? t?my ?1? t ??my
?1? t ?
1212
?
m2 y y
y1 y2
? m ?1? t ?? y ? y
?? ?1? t ?2 ，
1 212
將（*）代入上式，可得上式?
?40
5?t2 ? 9?m2 ? 9?1? t ?2 ，
要使kTM ? kTN 為定值，則有9 ? t 2 ? 0 ， t 2 ? 9 ，
又∵ t ? 0 ，∴ t ? 3 ，此時(shí)k? k? ? 10 ，
TMTN9
∴存在點(diǎn)T ?3,0? ，使得直線TM 與TN 斜率之積為定值? 10 ；
9
綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 ? y2 ? ，存在點(diǎn)T ?3,0? ，使得直線TM 與TN 斜率之積為定值? 10 .……12 分
1
959
21.
【答案】（1） y ? 2ex ? e
（2）① ? 3 , ?? ? ;②詳見解析
?
?? 2?
【解析】
【小問 1 詳解】
m ? 1時(shí)， f ? x ? ? ex ?1? ln x ? , f ?? x ? ? ex ?1? ln x ? 1 ? , f ??1? ? 2e , f ?1? ? e ，所以函數(shù)在 x ? 1 處的切線方程
?x ?
??
y ? e ? 2e? x ?1? ，即 y ? 2ex ? e .……3 分
【小問 2 詳解】
①由題設(shè)知， f ? (x) ? ex ?1? m ? m ln x ?(x ? 0) ，
?x?
h(x) ?
??
f ?(x) ? 1 ? m ? m ln x ， h? ( x) ? m( x ? 1) ( x ? 0) ，
exxx2
由h?(x) ? 0 ，得 x ?1，所以函數(shù)h ? x ? 在區(qū)間(1, ??) 上是增函數(shù)；由h?(x) ? 0 ，得0 ? x ? 1 ，所以函數(shù)h ? x ? 在區(qū)間?0,1? 上是減函數(shù).故h ? x ? 在 x ? 1 處取得最小值，且h ?1? ? 1 ? m .
由于h( x) ? 5 恒成立，所以1 ? m ? 5 ，得m ? 3 ，所以 m 的取值范圍為? 3 , ?? ? ；……7 分
?
222
?? 2?
②設(shè) g(x) ? f ?(x) ? e x ?1? m ? m ln x ? ，則 g?(x) ? ex ?1? 2m ? m ? m ln x ? .
?x??xx2?
????
設(shè) H ( x) ? 1 ? 2m ? m ? m ln x( x ? 0) ，
xx2
2m2mm
m ?x2 ? 2x ? 2?
則 H ?(x) ? ????? 0 ，
x2x3
xx3
故函數(shù) H (x) 在區(qū)間(0, ??) 上單調(diào)遞增，由（1）知， m ? 3 ，
2
2
所以 H (1) ? m ? 1 ? 0 ， H ? 1 ? ? 1? m ln 2 ? 1? ln 2
? 0 ，故存在 x ?? 1 ,1? ，使得 H ? x
? ? 0 ，
??
2? 2 ?2
? 2 ???
所以，當(dāng)0 ? x ? x2 時(shí)， H ? x ? ? 0 ， g?? x? ? 0 ，函數(shù) g ? x? 單調(diào)遞減；當(dāng) x ? x2 時(shí)， H ? x? ? 0 ， g?? x? ? 0 ，函數(shù) g ? x? 單調(diào)遞增.
所以x 是函數(shù) g ? x? 的極小值點(diǎn).因此 x ? x ，即 x
?? 1 ,1? .
221
1? 2?
??
3531m
由①可知，當(dāng)m ? 2 時(shí)， h( x) ? 2 ，即1? 2 ? 3 ln x ? 5 ，整理得ln x ? x ? 1 ，所以m ln x ?
? m .
x
x22
因此 g(x) ? g ?x ? ? e x ? ? m ? m ln x ? ? e x (1? m) ? 0 ，即 f ?(x) ? 0 .
?
1
11 ?11
?x1?
所以函數(shù) f ? x ? 在區(qū)間(0, ??) 上單調(diào)遞增.
由于 H ? x ? ? 0 ，即1? 2m ? m ? mln x
? 0 ，即1? m ln x
? m ? 2m ，
1xx211x2x
11
11
所以 f ? x ? ? ex1 ?1? m ln x ? ? mex1
1? 2x1 ? 0 ? f
x
2
1
11
?x0 ? .
又函數(shù) f ? x ? 在區(qū)間(0, ??) 上單調(diào)遞增，所以 x0 ? x1 .……12 分
（二）選考題：共 10 分.請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]）
22.
【答案】（1）答案見詳解；
2
（2）.
【小問 1 詳解】
?x ? 2 ? 2 cs?
?x ? 2 ? 2 cs?
2222
?
?
由已知? y ? 2 sin?
可得， ? y ? 2 sin?
，則? x ? 2? ? y
? ?2 cs??
? ?2 sin??
? 4 ，
又0 ? ?? π ，所以0 ? sin?? 1 ，則0 ? y ? 2
1
所以C 的普通方程為? x ? 2?2 ? y 2 ? 4 (0 ＃y
軸的兩個(gè)交點(diǎn)?0, 0? ， ?4, 0? .……5 分
【小問 2 詳解】
2)，軌跡為以?2, 0? 為圓心，2 為半徑的圓的上半圓以及其與 x
由曲線C : ? x ? 2?2 ? y2 ? 4 (0 ＃y
2)化為極坐標(biāo)方程： ? ? 4 cs?，?? ?0, π ? .
1
2
把?? π 代入可得? ? 4 cs π ? 2
1
2
，所以 OP ? 2.
??2 ??
414
?2
?x ? 1? 2 t
C2 的參數(shù)方程為?
?
? y ? 5 ?
?
（t 為參數(shù)），消去參數(shù)t 可得 x ? y ? 6 ，
2 t
2
可得極坐標(biāo)方程為? cs?? ? sin?? 6 ，把?? π 代入方程可得? cs π ? ? sin π ?2? ? 6 ，所以
22424242
2
2
2
?2 ? 3
，所以 OQ
? 3.
2
又O, P, Q 三點(diǎn)共線，且有 PQ ?
[選修 4-5：不等式選講]
23.
【小問 1 詳解】
OQ ? OP
? 3 2 ? 2
?.……10 分
??x ? 3, x ? 1
?
由于 f (x) ? ??3x ?1, ?1 ? x ? 1，
?
?x ? 3, x ? ?1
當(dāng) x ?1時(shí)， f (x)max ? f (1) ? ?1 ? 3 ? ?4 ，當(dāng)?1 ? x ? 1 時(shí)， f (x) ? f (?1) ? 3 ?1 ? 2 ，當(dāng) x ? ?1時(shí)， f (x)max ? f (?1) ? ?1 ? 3 ? 2,所以k ? f (x)max ? f (?1) ? 2, ……5 分
【小問 2 詳解】
a2 ? c2 ? b2 ? 2 ，即?a2 ? b2 ? ? ?c2 ? b2 ? ? 4 ? 2ab ? 2bc ，
2
a ? b ? c ? ?1時(shí)等號(hào)成立，故b ?a ? c? ? 2 ， b ?a ? c? 有最大值為2 .……10 分

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