?2022-2023學(xué)年廣東省廣州市花都區(qū)八年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷
一．選擇題（共10小題，滿分30分）
1．若分式有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＞2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣2
2．若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm、6cm，則它的第三邊的長(zhǎng)可能是（　?。?br /> A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
3．如圖，已知AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，BE與CD相交于點(diǎn)O，添加以下哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（　?。?br />
A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD
4．下列運(yùn)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)3?a4＝a12 B．a(chǎn)2+a2＝a4 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
5．下列因式分解變形正確的是（　?。?br /> A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a(chǎn)2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a(chǎn)2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
6．將分式中的x、y的值同時(shí)擴(kuò)大2倍，則分式的值（　?。?br /> A．?dāng)U大2倍 B．縮小到原來(lái)的
C．保持不變 D．無(wú)法確定
7．多項(xiàng)式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（　?。?br /> A．10 B．20 C．±10 D．±20
8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，則AD的長(zhǎng)為（　　）

A．1.5 B．2 C．3 D．4
9．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
10．如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（　?。?br />
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
二．填空題（共6小題，滿分18分）
11．計(jì)算a2?（﹣6ab）的結(jié)果是 　 ?。?br /> 12．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 　 　．
13．因式分解：x2y﹣4y＝　 ?。?br /> 14．若2m＝5，4n＝3，則2m+2n＝　 ?。?br /> 15．借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分某些度數(shù)的角，這個(gè)“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng)．若∠BDE＝75°，則∠CDE＝　 　°．

16．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF．當(dāng)△BDF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠DBF的度數(shù)是　 ?。?br />
三．解答題（本題共9題，合計(jì)72分）
17．計(jì)算：a3?a+（﹣a2）3÷a2．
18．已知：如圖，BC＝DC，∠1＝∠2，求證：△ABC≌△ADC．

19．已知2x2﹣7x＝7，求代數(shù)式（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）的值．
20．先化簡(jiǎn)，然后從﹣1≤x≤2的范圍內(nèi)選取一個(gè)你喜歡的整數(shù)作為x的值代入求值，
21．如圖所示，
（1）寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出B1的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)A2（a，b）與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，求a﹣b的值．

22．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AB＝BE，連接AE，BD是∠ABC的角平分線，交AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)D，連接DE．
（1）若∠C＝50°，求∠CAE的度數(shù)；
（2）求證：DE＝AD．

23．如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點(diǎn)，且AM＝MN．
（1）尺規(guī)作圖：在直線BC的下方，過(guò)點(diǎn)B作∠CBE＝∠CBA，作NC的延長(zhǎng)線，與BE相交于點(diǎn) E．
（2）求證：△BEC是等邊△BEC；
（3）求證：∠AMN＝60°．

24．對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．
（1）如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是 　 ??；
（2）如圖2所示的大正方形，是由四個(gè)三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個(gè)正方形拼成，試通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究a、b、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系；
（3）利用（1）（2）的結(jié)論，如果直角三角形兩直角邊滿足a+b＝17，ab＝60，求斜邊c的值．

25．如圖，已知等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以BC為邊在點(diǎn)A的另一側(cè)作等邊△BCD，點(diǎn)F，G分別在線段BC，BD上，∠CDF＝15°，且CF＝BG，CG與DF相交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)DF交AC于E．
（1）求證：△EHC是等邊三角形；
（2）試判斷線段AE和DH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)M是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，AB＝a，AE＝b，BC＝c，求△BMD周長(zhǎng)的最小值（結(jié)果用含a，b，c的整式表示）．



參考答案
一．選擇題（共10小題，滿分30分）
1．若分式有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＞2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣2
【分析】分式有意義時(shí)，分母x﹣2≠0，由此求得x的取值范圍．
解：依題意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式有意義的條件．分式有意義的條件是分母不等于零．
2．若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm、6cm，則它的第三邊的長(zhǎng)可能是（　?。?br /> A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【分析】首先設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．
解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
3．如圖，已知AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，BE與CD相交于點(diǎn)O，添加以下哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BD＝CE D．BE＝CD
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理判斷．
解：A、當(dāng)∠B＝∠C時(shí)，利用ASA定理可以判定△ABE≌△ACD；
B、當(dāng)AE＝AD時(shí)，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
C、當(dāng)BD＝CE時(shí)，得到AD＝AE，
利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
D、當(dāng)BE＝CD時(shí)，不能判定△ABE≌△ACD；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
4．下列運(yùn)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)3?a4＝a12 B．a(chǎn)2+a2＝a4 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
【分析】利用合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方與積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
解：A、a3?a4＝a7，故A不符合題意；
B、a2+a2＝2a2，故B不符合題意；
C、（a3）4＝a12，故C符合題意；
D、（ab）2＝a2b2，故D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
5．下列因式分解變形正確的是（　?。?br /> A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a(chǎn)2﹣2a+1＝（a﹣1）2
C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a(chǎn)2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）
【分析】A提取公因式，B、C利用公式，D利用十字相乘法，先分解因式，再判斷對(duì)錯(cuò)．
解：∵選項(xiàng)A提取公因式不徹底，2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故A錯(cuò)誤；
a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故選項(xiàng)B正確；
﹣a2+4＝﹣（a2﹣4）＝﹣（a+2）（a﹣2）≠（a+2）（a﹣2），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）≠（a﹣2）（a﹣3），故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法、十字相乘法是解決本題的關(guān)鍵．
6．將分式中的x、y的值同時(shí)擴(kuò)大2倍，則分式的值（　?。?br /> A．?dāng)U大2倍 B．縮小到原來(lái)的
C．保持不變 D．無(wú)法確定
【分析】應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
解：根據(jù)題意，x、y的值同時(shí)擴(kuò)大2倍，
＝＝．
所以分式的值不變．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
7．多項(xiàng)式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（　　）
A．10 B．20 C．±10 D．±20
【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案．
解：由于（x±5）2＝x2±10x+25
∴m＝±10
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，則AD的長(zhǎng)為（　　）

A．1.5 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BDC＝30°，然后根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD＝15°，從而得到∠ABD＝∠A，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AD＝BD，從而得解．
解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2BC＝2×1＝2，
∵∠C＝90°，∠A＝15°，
∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD＝2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟記性質(zhì)熟記解題的關(guān)鍵．
9．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
【分析】證明△ADE≌△ADB即可判斷A，B正確，再根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，證明∠EDC＝∠BAC即可．
解：由作圖可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴DB＝DE，AB＝AE，
∵∠AED+∠B＝180°
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAC，
故A，B，C正確，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
10．如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（　?。?br />
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【分析】過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB，垂足為點(diǎn)K．證明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
解：過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AB，垂足為點(diǎn)K．

∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，
∴PK＝PD，
在Rt△BPK和Rt△BPD中，
，
∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），
∴BK＝BD，
∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，
∴∠KPD＝∠APC，
∴∠APK＝∠CPD，故①正確，
在△PAK和△PCD中，
，
∴△PAK≌△PCD（ASA），
∴AK＝CD，PA＝PC，故②正確，
∴BK﹣AB＝BC﹣BD，
∴BD﹣AB＝BC﹣BD，
∴AB+BC＝2BD，故③正確，
∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），
∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，
∴S四邊形ABCP＝S四邊形KBDP＝2S△PBD．故④正確．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
二．填空題（共6小題，滿分18分）
11．計(jì)算a2?（﹣6ab）的結(jié)果是 　﹣2a3b?。?br /> 【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．
解：a2?（﹣6ab）
＝×（﹣6）a2+1b
＝﹣2a3b．
故答案為：﹣2a3b．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則的掌握．
12．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 　6?。?br /> 【分析】利用多邊形的外角和以及多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．
解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，
則內(nèi)角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
13．因式分解：x2y﹣4y＝　y（x﹣2）（x+2）?。?br /> 【分析】首先提取公因式y(tǒng)，再利用平方差公式分解因式即可．
解：x2y﹣4y＝y(tǒng)（x2﹣4）＝y(tǒng)（x﹣2）（x+2）．
故答案為：y（x﹣2）（x+2）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式分解因式是解題關(guān)鍵．
14．若2m＝5，4n＝3，則2m+2n＝　15?。?br /> 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則求解．
解：4n＝22n＝3，
2m+2n＝2m?22n＝5×3＝15．
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解答本題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則．
15．借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分某些度數(shù)的角，這個(gè)“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D，E可在槽中滑動(dòng)．若∠BDE＝75°，則∠CDE＝　80　°．

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性質(zhì)可得∠O＝25°，即可求解．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝75°，
∴∠O＝25°，
∴∠DCE＝∠DEC＝50°，
∴∠CDE＝80°，
故答案為：80．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題關(guān)鍵．
16．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF．當(dāng)△BDF的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠DBF的度數(shù)是　30°　．

【分析】連接CF，由條件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明△BAE≌△BCF，從而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，則FD＝FG，依據(jù)當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時(shí)，DF+BF的最小值等于線段BG長(zhǎng)，可得△BDF的周長(zhǎng)最小，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到∠DBF的度數(shù)．
解：如圖，連接CF，
∵△ABC、△BEF都是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如圖，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，則FD＝FG，
∴當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時(shí)，DF+BF的最小值等于線段BG長(zhǎng)，且BG⊥CG時(shí)，△BDF的周長(zhǎng)最小，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，
∴△DCG是等邊三角形，
∴DG＝DC＝DB，
∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，
故答案為：30°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．
三．解答題（本題共9題，合計(jì)72分）
17．計(jì)算：a3?a+（﹣a2）3÷a2．
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法的運(yùn)算法則，冪的乘方的運(yùn)算法則解答即可．
解：原式＝a4+（﹣a6）÷a2
＝a4﹣a6÷a2
＝a4﹣a4
＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法和除法的運(yùn)算法則，冪的乘方的運(yùn)算法則，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
18．已知：如圖，BC＝DC，∠1＝∠2，求證：△ABC≌△ADC．

【分析】根據(jù)∠1＝∠2，求得∠ACB＝∠ACD，再利用SAS即可求證結(jié)論
【解答】證明：∵∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
19．已知2x2﹣7x＝7，求代數(shù)式（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）的值．
【分析】根據(jù)完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把2x2﹣7x＝7代入計(jì)算，得到答案．
解：（2x﹣3）2﹣（x﹣3）（2x+1）
＝4x2﹣12x+9﹣2x2﹣x+6x+3
＝2x2﹣7x+12，
當(dāng)2x2﹣7x＝7時(shí)，原式＝7+12＝19．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的化簡(jiǎn)求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20．先化簡(jiǎn)，然后從﹣1≤x≤2的范圍內(nèi)選取一個(gè)你喜歡的整數(shù)作為x的值代入求值，
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再選取使分式有意義的x的值代入計(jì)算可得．
解：原式＝?
＝，
∵x≠±1，x≠2，
∴可取x＝0，
則原式＝﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
21．如圖所示，
（1）寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）作△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出B1的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)A2（a，b）與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，求a﹣b的值．

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的定義寫出坐標(biāo)即可；
（2）作出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1即可；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出a、b的值即可；
解：（1）C（﹣2，﹣1）．
（2）△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1如圖所示；

如圖，B1（﹣3，1）．

（3）∵A（1，2）與A2（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱，
可得：a＝1，b＝﹣2，
∴a﹣b＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
22．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AB＝BE，連接AE，BD是∠ABC的角平分線，交AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)D，連接DE．
（1）若∠C＝50°，求∠CAE的度數(shù)；
（2）求證：DE＝AD．

【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；
（2）證明△ABD≌△EBD（SAS），即可解決問(wèn)題．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵AB＝BE，BD是∠ABC的角平分線，
∴BD⊥AE，∠ABD＝∠CBD＝ABE＝20°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣20°＝70°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°；
（2）證明：在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝ED．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形．
23．如圖①，在等邊△ABC中，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分線上一點(diǎn)，且AM＝MN．
（1）尺規(guī)作圖：在直線BC的下方，過(guò)點(diǎn)B作∠CBE＝∠CBA，作NC的延長(zhǎng)線，與BE相交于點(diǎn) E．
（2）求證：△BEC是等邊△BEC；
（3）求證：∠AMN＝60°．

【分析】（1）以B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB、BC兩邊為D和F，以F為圓心，以DF為半徑畫弧，交前弧于G，作射線BG，交NC的延長(zhǎng)線于E，則∠CBE＝∠CBA；
（2）證明△BCE三個(gè)角都是60°，可得結(jié)論；
（3）作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△ABM≌△EBM（SAS），得AM＝EM，∠BAM＝∠BEM，證明∠CMN＝∠BEM＝∠BAM，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．
解：（1）如圖所示：

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝120°，
∵CN平分∠ACH，
∴∠HCN＝∠BCE＝60°，
∵∠CBE＝∠CBA＝60°，
∴∠EBC＝∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴△BEC是等邊△BEC；
（3）證明：連接ME，
∵△ABC和△BCE是等邊三角形，
∴AB＝BC＝BE，
在△ABM和△EBM中，
∵，
∴△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，∠BAM＝∠BEM，
∵AM＝MN，
∴MN＝EM，
∴∠N＝∠CEM，
∵∠HCN＝∠N+∠CMN＝60°，
∠BEC＝∠BEM+∠CEM＝60°，
∴∠CMN＝∠BEM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠ABC+∠BAM＝∠AMN+∠CMN，
∴∠AMN＝60°．
【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線構(gòu)造三角形全等是解本題的關(guān)鍵．
24．對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．
（1）如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是 　a2+b2＝（a+b）2﹣2ab?。?br /> （2）如圖2所示的大正方形，是由四個(gè)三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個(gè)正方形拼成，試通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究a、b、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系；
（3）利用（1）（2）的結(jié)論，如果直角三角形兩直角邊滿足a+b＝17，ab＝60，求斜邊c的值．

【分析】（1）陰影部分是兩個(gè)正方形的面積和，陰影部分也可以看出大正方形的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積即可得出答案；
（2）中間的是邊長(zhǎng)為c的正方形，因此面積為c2，也可以從邊長(zhǎng)為（a+b）正方形面積減去四個(gè)直角三角形的面積即可；
（3）利用（2）中的結(jié)論，代入計(jì)算即可．
【解答】解（1）方法一：陰影部分是兩個(gè)正方形的面積和，即a2+b2；
方法二：陰影部分也可以看作邊長(zhǎng)為（a+b）的面積，減去兩個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形面積，即（a+b）2﹣2ab，
由兩種方法看出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案為：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（2）中間正方形的邊長(zhǎng)為c，因此面積為c2，
也可以看作從邊長(zhǎng)為（a+b）的面積減去四個(gè)兩條直角邊分別a、b的面積，即c2＝（a+b）2﹣2ab，
也就是c2＝a2+b2，
所以c2＝a2+b2；
（3）∵a+b＝17，ab＝60，
∴c2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝172﹣2×60
＝169，
∴c＝13，
答：斜邊的長(zhǎng)為13．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，將公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙鉀Q問(wèn)題的關(guān)鍵．
25．如圖，已知等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以BC為邊在點(diǎn)A的另一側(cè)作等邊△BCD，點(diǎn)F，G分別在線段BC，BD上，∠CDF＝15°，且CF＝BG，CG與DF相交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)DF交AC于E．
（1）求證：△EHC是等邊三角形；
（2）試判斷線段AE和DH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)M是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，AB＝a，AE＝b，BC＝c，求△BMD周長(zhǎng)的最小值（結(jié)果用含a，b，c的整式表示）．

【分析】（1）由△CBG≌△DCF，推出∠BCG＝∠CDF＝15°，∠DCH＝45°，推出∠EHC＝∠CDF+∠DCH＝60°，只要證明∠EHC＝∠ECH＝∠CEH＝60°，即可解決問(wèn)題；
（2）如圖2中，如圖2中，連接BE．由△CBE≌△CDH，可得DH＝BE，∠CHD＝∠BEC＝120°，推出∠AEB＝60°，在Rt△ABE中，由∠ABE＝30°，即可推出BE＝2AE，由此即可解決問(wèn)題；
（3）如圖3中，延長(zhǎng)DE交BA的延長(zhǎng)線于B′，連接MB′．由△EAB≌△EAB′，推出MB＝MB′，推出MB+MD＝MB′+MD≥B′D，推出BM+MD的最小值為DB′，推出△MBD的周長(zhǎng)最小值＝BD+DB′＝BD+DH+EH+EB＝BD+2DH+EC＝BD+4AE+EH，由此即可解決問(wèn)題；
【解答】（1）證明：如圖1中，

∵△BCD是等邊三角形，
∴∠CBD＝∠BCD＝60°，BC＝CD，
∵CF＝BG，
∴△CBG≌△DCF，
∴∠BCG＝∠CDF＝15°，∠DCH＝45°，
∴∠EHC＝∠CDF+∠DCH＝60°，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ECH＝∠ACB+∠BCG＝60°，
∴∠EHC＝∠ECH＝∠CEH＝60°，
∴△ECH是等邊三角形．

（2）解：如圖2中，如圖2中，連接BE．

∵△ECH是等邊三角形，
∴CE＝CH，∠ECH＝∠BCD＝60°，
∴∠ECB＝∠HCD，
∵CB＝CD，
∴△CBE≌△CDH，
∴DH＝BE，∠CHD＝∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝60°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，
∴DH＝2AE．

（3）解：如圖3中，延長(zhǎng)DE交BA的延長(zhǎng)線于B′，連接MB′．

∵∠AEB＝∠AEB′＝∠HEC＝60°，EA＝EA，∠EAB＝∠EAB′，
∴△EAB≌△EAB′，
∴MB＝MB′，
∴MB+MD＝MB′+MD≥B′D，
∴BM+MD的最小值為DB′，
∴△MBD的周長(zhǎng)最小值＝BD+DB′＝BD+DH+EH+EB＝BD+2DH+EC＝BD+4AE+EH＝c+4b+a﹣b＝a+3b+c．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．


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