1．（2022春?豐城市校級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．求線段PM的最大值；
【解答】解：（1）將A，B，C代入函數(shù)解析式得，
，
解得，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；
（2）①設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，
將B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，
，
解得，
∴BC的解析式為y＝x﹣3，
設(shè)M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
當(dāng)n＝時(shí)，PM最大＝，
∴線段PM的最大值；
2．（2022?玉州區(qū)一模）如圖，拋物線y＝﹣x2x+4交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在A的右邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．
（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PN上BC，垂足為點(diǎn)N，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）當(dāng)y＝0，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+m+4），則點(diǎn) Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
P～N＝PQ?sin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴PN有最大值，
當(dāng)m＝2時(shí)，PN的最大值為．
3．（2022?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．在線段CB上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PF∥AB交BC于點(diǎn)F．
（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)為最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PEF的周長(zhǎng)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3；
（2）如圖一中，連接PC，OP，PB．設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝時(shí)，△PBC的面積最大，面積的最大值為，此時(shí)PE的值最大，
∵×3×PE＝，
∴PE＝，
∴△PEF的周長(zhǎng)的最大值＝++＝+，此時(shí)P（，）；
4．（2022?黃岡模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交點(diǎn)為A（﹣4，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若P在直線AC上方，PE⊥x軸于E，交AC于F．
①求sin∠PFD的值；
②求線段PD的最大值．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交點(diǎn)為A（﹣4，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，
令x＝0，則c＝2，
∴C（0.2），
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+4）（x﹣1），
將點(diǎn)（0，2）代入得，2＝﹣4a，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x+4）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；
（2）①∵PE⊥x軸，
∴∠AFE＝∠ACO，
又∵∠PFD＝∠AFE，
∴∠PFD＝∠ACO，
∴sin∠PFD＝sin∠ACO＝，
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴AO＝4，OC＝2，
∴AC＝＝2．
∴sin∠PFD＝sin∠ACO＝＝＝；
②設(shè)過(guò)A（﹣4，0）C（0，2）的直線解析式為y＝kx+b，
則，
解得：，
∴直線AC解析式為y＝x+2，
設(shè)P（m，﹣m2﹣m+2），則F（m，m+2），
∴PF＝﹣﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+2）2+2，
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，PF有最大值2，
∵PD＝PF?sin∠PFD，
∴PF取最大值時(shí)，PD取最大值，
∴PD最大值為×2＝；
5．（2022?齊齊哈爾模擬）綜合與探究
如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線BC上方的拋物線上找一點(diǎn)P，作PG⊥BC，求線段PG的最大值；
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如圖1，過(guò)P點(diǎn)作PH∥y軸交BC于點(diǎn)H，
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC 的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
設(shè)P（t，﹣t2+2t+3），則H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+3t，
∵C（0，3），B（3，0），
∴BC＝3，
∴S△PBC＝×BC×PG＝×BO×PH，
∴PG×3＝3（﹣t2+3t），
∴PG＝﹣（t﹣）+，
∵點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上，
∴0＜t＜3，
∴當(dāng)t＝時(shí)，PG有最大值；
6．（2022?習(xí)水縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)B，且C（1，0），OA＝OB＝3．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線位于第二象限上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AB于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．求線段PD的最大值；
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝3，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∵C（1，0），
∴，
∴，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵PQ∥y軸，
∴PH⊥OA，
∴∠QHA＝90°，
∴∠PQD＝∠AQH＝45°，
∴△PQD是等腰直角三角形，
∴PD＝PQ，
∴當(dāng)PQ取得最大值時(shí)，PD的值最大，
設(shè)AB的解析式為y＝kx+n，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵PQ∥y軸，
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∴m＝﹣時(shí)，PQ最長(zhǎng)為，
∴線段PD的最大值為
7．（2022?覃塘區(qū)三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣1）和點(diǎn)B（5，4），P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC∥y軸與AB交于點(diǎn)C，PD⊥AB于點(diǎn)D，連接PA．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）當(dāng)△PCD的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PCD周長(zhǎng)的最大值；
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x﹣1；
（2）設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝kx+a（k≠0），
∵A（0，﹣1），B（5，4），
∴，
解得：，
∴直線AB的表達(dá)式為：y＝x﹣1，
設(shè)直線AB交x軸于點(diǎn)M，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，
∵OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∵CP∥y軸，
∴∠DCP＝∠OAB＝45°，
∵PD⊥AB，
∴△PCD是等腰直角三角形，即CD＝PD，
∴PC＝＝CD，即CD＝PD＝PC，
∴△PCD的周長(zhǎng)為：PC+PD+CD＝（+1）PC，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣4x﹣1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，x﹣1），
∴（+1）PC＝（+1）[（x﹣1）﹣（x2﹣4x﹣1）]＝﹣（+1）[（x﹣）2﹣]，
∵﹣（+1）＜0，
∴當(dāng)x＝時(shí)，△PCD周長(zhǎng)取得最大值，最大值為（+1），
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）；
8．（2022?大同三模）綜合與實(shí)踐
如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求直線BC的函數(shù)解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作DM∥y軸交BC于點(diǎn)M，作DN⊥BC于點(diǎn)N，當(dāng)△DMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及△DMN周長(zhǎng)的最大值；
【解答】解：（1）由拋物線y＝x2﹣x﹣3，x＝0時(shí)，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
y＝0時(shí)，x2﹣x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），
將B（4，0），C（0，﹣3）代入，
，解得，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3；
（2）∵DM∥y軸，
∴∠OCB＝∠CMD，
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴BC＝，
∵sin∠OCB＝，cs∠OCB＝，DN⊥BC，
∴sin∠DMN＝，cs∠DMN＝，
∴DN＝，MN＝，
設(shè)△DMN的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，
∴L＝DM+DN+MN＝，
設(shè)D（x，x2﹣x﹣3），則M（x，），
∴DM＝＝，
∴L＝，
即L＝﹣，
∵開(kāi)口向下，
∴頂點(diǎn)（2，）最高，
∴x＝2時(shí)，，
∴，
∴D（2，﹣），
∴△DMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)（2，﹣），△DMN的周長(zhǎng)最大值為；
9．（2022春?浦江縣期末）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，9），與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過(guò)M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長(zhǎng)的最大值；
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+9，
將點(diǎn)B（﹣2，0）代入，
∴9a+9＝0，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；
（2）設(shè)M（m，﹣m2+2m+8），則N（2﹣m，﹣m2+2m+8），
∴MN＝2m﹣2，MG＝﹣m2+2m+8，
∴矩形MNHG的周長(zhǎng)＝2（MN+MG）＝2（﹣m2+4m+6）＝﹣2（m﹣2）2+20，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，矩形MNHG的周長(zhǎng)有最大值20；
10.（婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)D（2，﹣3）．點(diǎn)P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求△POD面積的最大值．
【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3 （2）① ﹣m2+m+3 ②
【解答】解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：a＝1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），
①當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，
設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），
將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝sx+t并解得：
直線PD的表達(dá)式為：y＝mx﹣3﹣2m，則OG＝3+2m，
S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，
②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，
設(shè)PD交y軸于點(diǎn)M，
同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，
綜上，S△POD＝﹣m2+m+3，
∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，當(dāng)m＝時(shí)，其最大值為；
11．（2022春?青秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E、B．且點(diǎn)A（0，5），B（5，0），拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PM，求△PMB面積的最大值；
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（0，5），B（5，0）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5；
（2）如圖，
∵A（0，5），B（5，0），
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5，
∵點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱軸與直線AB的交點(diǎn)，
∴M（2，3），
由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5，
過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交AB于H，
設(shè)P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），
∴H（m，﹣m+5），
∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，
∴S△PMB＝PH（xB﹣xM）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，
∴當(dāng)x＝時(shí)，S△PMB最大＝，
即△PMB面積的最大值為；
12．直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）交于點(diǎn)B，如圖所示．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，四邊形OAMB的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；
【解答】解：（1）∵直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（1，0）、B（0，3）；
∵拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖所示：
設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2+2m+3），
則S＝S梯形BOHM﹣S△AMH
＝（3﹣m2+2m+3）×m﹣（m﹣1）×（﹣m2+2m+3）
＝﹣m2+m+，
∵﹣＜0，
∴S有最大值，當(dāng)m＝時(shí)，S的最大值是．
∴S與m的函數(shù)表達(dá)式為S＝﹣m2+m+，S的最大值是；

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