?曲靖市2022-2023學(xué)年高三年級第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
數(shù)學(xué)試題卷
（本卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．每小題選出答案后，將對應(yīng)的字母填在答題卡相應(yīng)位置上，在試題幕上作答無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. （－2，2） B. [0，3）
C. （－2，3） D. （－2，3]
【答案】C
【解析】
【分析】求一元二次不等式與分式不等式的解集再求兩者的并集即可.
【詳解】∵，，
∴.
故選：C
2. 如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)新定義求得a的值，代入求得復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，可得復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】∵，
又∵“等部復(fù)數(shù)”的實(shí)部和虛部相等，復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，
∴，解得，
∴，
∴，即：，
∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限.
故選：A.
3. 在扇形COD中，．設(shè)向量，，則（）
A. －4 B. 4 C. －6 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求解即可.
【詳解】∵，，
∴，，
，
∴.
故選：D.
4. 如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐的高是0.4m，底面直徑和球的直徑都是0.6m，現(xiàn)對這個(gè)臺燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠（）克（精確到個(gè)位數(shù)）

A. 176 B. 207 C. 239 D. 270
【答案】B
【解析】
【分析】求出圓錐的母線長，再由臺燈是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成可求得臺燈表面積的值，進(jìn)而求得涂膠的克數(shù).
【詳解】由已知得圓錐的母線長，
所以臺燈表面積為，
需要涂膠的重量為（克），
故選：B.
5. 已知奇函數(shù)圖像的相鄰兩個(gè)對稱中心間的距離為2π，將的圖像向右平移個(gè)單位得函數(shù)的圖像，則的圖像（）
A. 關(guān)于點(diǎn)對稱 B. 關(guān)于點(diǎn)對稱
C. 關(guān)于直線對稱 D. 關(guān)于直線對稱
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)條件求出，，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的對稱中心及對稱軸辨析即可.
【詳解】相鄰兩對稱中心的距離為，則，．
已知為奇函數(shù)，根據(jù)可知，
則，．
令，，故A錯(cuò)誤，B正確；
令，，故C、D錯(cuò)誤．
故選：B．
6. 若,則在“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡臈l件下,“函數(shù)為奇函數(shù)”的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先列出所有的結(jié)果數(shù),由于函數(shù)的定義域?yàn)?則,恒成立,可得,在所有結(jié)果數(shù)中選出滿足的情況,求出概率,根據(jù)為奇函數(shù)可得或,在所有結(jié)果數(shù)中選出同時(shí)滿足兩個(gè)事件情況,求出其概率,再根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】解:用所有的有序數(shù)對表示滿足的結(jié)果，
則所有的情況為:,共9種,
記“函數(shù)的定義域?yàn)椤睘槭录嗀,
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?
所以,恒成立,
即,即,
其中滿足的基本事件有:
共6種,故．
記“函數(shù)為奇函數(shù)”為事件B．
已知是奇函數(shù),且定義域?yàn)?則,
即,即,
解得或．
滿足或的情況有共3種,
所以,即同時(shí)滿足事件A和事件B的情況有共3種,
故,所以.
故選:C
7. 已知展開式中x的系數(shù)為q，空間有q個(gè)點(diǎn)，其中任何四點(diǎn)不共面，這q個(gè)點(diǎn)可以確定的直線條數(shù)為m，以這q個(gè)點(diǎn)中的某些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定的三角形個(gè)數(shù)為n，以這q個(gè)點(diǎn)中的某些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定的四面體個(gè)數(shù)為p，則（）
A. 2022 B. 2023 C. 40 D. 50
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件可得展開式中含x的項(xiàng)為6x，則．進(jìn)而可求得答案.
【詳解】的展開式中含x的項(xiàng)為：
，
的展開式中含x的項(xiàng)為：
，
所以，的展開式中含x的項(xiàng)為6x，其系數(shù)．
依題意得，
故選：D．
8. 已知，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別得出，，從而得出答案．
【詳解】令，
則，，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，即，
令，則，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，即，
所以，即．
綜上，．
故選：D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知雙曲線C過點(diǎn)且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）
A. C的方程為
B. C的離心率為
C. 曲線經(jīng)過C的一個(gè)焦點(diǎn)
D. C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線方程，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.
【詳解】因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，則設(shè)雙曲線C：，
又點(diǎn)在雙曲線C上，有，即雙曲線C的方程為，A錯(cuò)誤；
雙曲線C的實(shí)半軸長，虛半軸長，半焦距，雙曲線C的離心率，B錯(cuò)誤；
雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其中滿足，C正確；
雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離，D正確．
故選：CD
10. 已知，且則下列結(jié)論一定正確的有（）
A. B.
C. ab有最大值4 D. 有最小值9
【答案】AC
【解析】
【分析】A、C選項(xiàng)，分別根據(jù)基本不等式計(jì)算即可得到；B選項(xiàng)找出反例即可；D選項(xiàng)由基本不等式“1”的代換計(jì)算，漏除了4.
【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；
B選項(xiàng)，找反例，當(dāng)時(shí)，，，，B不正確；
C選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，C正確；
D選項(xiàng)，，D不正確.
故選：AC.
11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）
A.
B. 函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱
C. 函數(shù)的值域?yàn)?br /> D. 若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可得判斷A，根據(jù)函數(shù)的定義域可判斷B，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域判斷C，利用數(shù)形結(jié)合可判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，故A正確；
由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于對稱，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；
由可得，則函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)，
作出函數(shù)與的大致圖象，

由圖象可知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
12. 在棱長為1的正方體中，為底面的中心，是棱上一點(diǎn)，且，，為線段的中點(diǎn)，給出下列命題，其中正確的是（）

A. 與共面；
B. 三棱錐的體積跟的取值無關(guān)；
C. 當(dāng)時(shí)，；
D. 當(dāng)時(shí)，過，，三點(diǎn)平面截正方體所得截面的周長為．
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于選項(xiàng)A：可得，可判斷；
對于選項(xiàng)B：點(diǎn)到平面的距離為定值，且的面積為定值可判斷；
對于選項(xiàng)C：分別求出的長，驗(yàn)證是否滿足勾股定理，從而判斷;
對于選項(xiàng)D：先將過，，的截面分析做出，再求周長可判斷.
【詳解】對選項(xiàng)A：在中，因?yàn)?，為，的中點(diǎn)，

所以，所以與共面，所以A正確；
對選項(xiàng)B：由，
因?yàn)榈狡矫婢嚯x為定值，且的面積為定值，
所以三棱錐的體積跟的取值無關(guān)，所以B正確；

對選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，,可得，，
取的中點(diǎn)分別為，連接,則
在直角三角形中,
則，所以不成立，所以C不正確．
對選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，取,連接,則,又所以

所以共面,即過，，三點(diǎn)的正方體的截面為，
由,則是等腰梯形,且
所以平面截正方體所得截面的周長為，所以D正確；
故選：ABD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為α，則________．
【答案】
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案.
【詳解】，，即，，，
利用三角函數(shù)定義，．
故答案為：.
14. 已知隨機(jī)變量，若，則p＝_____．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】由可得，進(jìn)而可求解答案.
【詳解】已知X～B（2，p），
則，
∴，解得或（因?yàn)?＜p＜1，故舍去）．
故答案為：．
15. 已知直線與圓C：相交于點(diǎn)A，B，若是正三角形，則實(shí)數(shù)________
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由是正三角形得到圓心點(diǎn)到直線的距離為，從而用點(diǎn)到直線距離公式即可求解.
【詳解】設(shè)圓的半徑為，
由可得，
因?yàn)槭钦切?，所以點(diǎn)到直線的距離為,
即，
兩邊平方得，解得.
故答案為: .
16. 已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，，關(guān)于軸對稱且位于軸右側(cè)，，則橢圓的離心率的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】聯(lián)立拋物線與橢圓方程，消元、解得或，再分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)求出、的坐標(biāo)，由，即可得到關(guān)于的不等式，解得即可.
【詳解】解：聯(lián)立拋物線與橢圓的方程消去整理得到，解得或．
①時(shí)，代入解得，已知點(diǎn)位于軸右側(cè)，取交點(diǎn)，則，
此時(shí)，與矛盾，不合題意．
②時(shí)，代入解得．已知點(diǎn)，關(guān)于軸對稱且位于軸右側(cè)，取交點(diǎn)、，
已知，則軸，．
此時(shí)，即，兩端同除以可得：，解得．
因?yàn)?，所以，所以?br /> 故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 在①，②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，然后求解．
設(shè)等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，．（說明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，如果兩個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評分）
（1）請寫出你的選擇，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：．
【答案】（1）選①，；選②，.
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量代入方程組求解即可.
（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和即可.
【小問1詳解】
由題意知，，，，
選①，由題意知，，
，
所以，，即：，.
選②，由題意知，，
,
所以，，即：，.
【小問2詳解】
證明：由（1）得，
∴①，
②，
①②得：，
∴．
又∵對，恒成立，
∴．
18. 在△ABC中，角A，B，C的對邊長依次是a，b，c，，．
（1）求角B的大??；
（2）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，求∠BAC的平分線AD的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理角化邊，再應(yīng)用余弦定理可解得角B.
（2）由余弦定理與重要不等式可得△ABC面積最大時(shí)a、c的值，在△ABD中應(yīng)用正弦定理可解得AD的值.
【小問1詳解】
∵，
∴由正弦定理可得，
∴由余弦定理得，
又∵，∴．
【小問2詳解】
在△ABC中，由余弦定理得，
即．
∵，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)，，
又∵△ABC面積為，
∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)△ABC面積最大．
當(dāng)a＝c＝2時(shí)，．
又∵為的角平分線，∴
∴在△ABD中，，
∴在△ABD中，由正弦定理得．
19. 某地A，B，C，D四個(gè)商場均銷售同一型號的冰箱，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2022年10月份這四個(gè)商場購進(jìn)和銷售該型號冰箱的臺數(shù)如下表（單位：十臺）：

A商場
B商場
C商場
D商場
購講該型冰箱數(shù)x
3
4
5
6
銷售該型冰箱數(shù)y
2.5
3
4
4.5

（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）假設(shè)每臺冰箱的售價(jià)均定為4000元．若進(jìn)入A商場的甲、乙兩位顧客購買這種冰箱的概率分別為p，，且甲乙是否購買冰箱互不影響，若兩人購買冰箱總金額的期望不超過6000元，求p的取值范圍．
參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)最小二乘法求線性回歸方程即可；
（2）設(shè)甲、乙兩人中選擇購買這種冰箱的人數(shù)為X，求出分布列得到期望，由期望的性質(zhì)求出，列出不等式求解即可.
【小問1詳解】
，，，．
所以，則．
故y關(guān)于x的線性回歸方程為．
【小問2詳解】
設(shè)甲、乙兩人中選擇購買這種冰箱的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2．
，
，
．
所以，X的分布列為
X
0
1
2
P



所以，
．
令，即，解得，又，
所以．所以p的取值范圍為．
20. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)．

（1）求證：MN平面PAD；
（2）在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）取PB中點(diǎn)E，連接ME，NE．由線面平行的判定定理可證得ME平面PAD，NE平面PAD，再由面面平行的判定定理即可證明；
（2）以AB、AD、AP為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量公式可求出Q點(diǎn)的位置，即可得出的值.
【小問1詳解】
如圖，取PB中點(diǎn)E，連接ME，NE．

∵M(jìn)，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)，∴MEPA．又∵平面PAD，平面PAD，
∴ME平面PAD，同理得NE平面PAD．
又∵，∴平面PAD平面MNE．
∵平面MNE，∴MN平面PAD．
【小問2詳解】
∵ABCD為矩形，∴AB⊥AD．QPA⊥平面ABCD，∴AP、AB、AD兩兩垂直．
依次以AB、AD、AP為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，PC中點(diǎn)，∴，．
設(shè)平面DMN的法向量，則，即，
取x＝1，得y＝1，z＝－1，．
若滿足條件的CD上的點(diǎn)Q存在，設(shè)，，又，則．
設(shè)直線NQ與平面DMN所成的角為，則，
解得t＝1或t＝－3．
已知0≤t≤4，則t＝1，∴．
DQ＝1，CD＝4，CQ＝CD－DQ＝4－1＝3，．
故CD上存在點(diǎn)Q，使直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為，且．
21. 如圖，已知，直線l：，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)M，設(shè)，，證明定值，并求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）證明見解析，
【解析】
【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)果.
（2）設(shè)直線AB的方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB與軌跡C的方程后由韋達(dá)定理得、，由已知向量關(guān)系式可得，，進(jìn)而求得的值與的范圍.
【小問1詳解】
設(shè)點(diǎn)，則，且．
由得，
即，化簡得．
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：．
【小問2詳解】
設(shè)直線AB的方程為：，則．
聯(lián)立直線AB與軌跡C的方程得，消去x得，
則．
設(shè)，，由韋達(dá)定理知，．
由，得：，，
整理得，．
所以．
故為定值0．
∵，
∴，
∴的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
22. 已知函數(shù)的圖像與直線l：相切于點(diǎn)．
（1）求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在x軸上的截距；
（2）求c與a的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)a為函數(shù)g（a）的零點(diǎn)時(shí)，若對任意，不等式恒成立．求實(shí)數(shù)k的最值．
【答案】（1）
（2）
（3）最大值為3，最小值為．
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，進(jìn)而求出截距；
（2）先求出函數(shù)在x＝1處的切線方程，對照系數(shù)消去b即可得到；
（3）把題意轉(zhuǎn)化為對，不等式恒成立．對x分類討論：①x＝0直接判斷；②時(shí)，利用分離參數(shù)法得到恒成立．設(shè)，求得．利用導(dǎo)數(shù)求出；③當(dāng)時(shí)，與②同，求出的范圍．
【小問1詳解】
，，，．
函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線方程是：.
令y＝0得，所以該切線在x軸上的截距等于．
【小問2詳解】
，，函數(shù)的圖像在x＝1處的切線方程是：，即，
兩端乘以b變作：①．
又已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是：②．
直線①與直線②重合，則③，④，聯(lián)立③④消去b得，所以c與a的函數(shù)關(guān)系為：．
【小問3詳解】
函數(shù)零點(diǎn)為a＝1，a＝1時(shí)．
對，恒成立，轉(zhuǎn)化為對，不等式恒成立．
①當(dāng)x＝0時(shí)，對恒成立，此時(shí)．
②當(dāng)0＜x≤2時(shí)，恒成立．
設(shè)，求得．
0＜x≤2時(shí)，由得，由得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，，此時(shí)．
③當(dāng)時(shí)，恒成立．
與②同，設(shè)，．
令，則，在上單調(diào)遞增．
所以，時(shí)，得，在上單調(diào)遞減．
所以，時(shí)，取得最大值，此時(shí)．
整合①②③三種情形，得，且等號都取得到．
所以，實(shí)數(shù)k的最大值為3，最小值為．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：
（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
（4）利用導(dǎo)數(shù)研究恒（能）成立問題．


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