海安市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)一、 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. 已知全集U＝{x|－2＜x＜3}，集合A＝{x|－1＜x≤1}，則?UA等于(　　)A. (－1，1]　　    B. (－2，－1]∪(1，3)　　    C. [－1，1)　　    D. (－2，－1)∪[1，3) 2. 若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y＝1上，且z＝iz，則z等于(　　)A. 1－i　　　　  B. 1＋i　　　　 C. －1＋i　　　   D. －1－i 3. 的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(　　)A. －20　　　　　B. －15　　　　　C. 15　　　　　D. 20 4. 經(jīng)驗(yàn)表明，樹高y與胸徑x具有線性關(guān)系，為了解回歸方程的擬合效果，利用下列數(shù)據(jù)計(jì)算殘差，用來(lái)繪制殘差圖，則殘差的最大值和最小值分別是(　　)胸徑x/cm18.219.122.324.526.2樹高的觀測(cè)值y/m18.919.420.822.824.8樹高的預(yù)測(cè)值 /m18.619.321.523.024.4A. 0.4，－1.8    B. 1.8，－0.4    C. 0.4，－0.7    D. 0.7，－0.4 5. 為測(cè)量河對(duì)岸的直塔AB的高度，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C，D，測(cè)得∠BCD的大小為60°，點(diǎn)C，D的距離為200 m，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則直塔AB的高為(　　)A. 100 m　　　B. 100 m　   C. (200－200)m　　 D. 200 m 6. 已知圓心均在x軸上的兩圓外切，半徑分別為r1，r2(r1＜r2)，若兩圓的一條公切線的方程為y＝(x＋3)，則  的值為(　　)A. 　　　 　B. 2　　　 　 C. 　　　  　D. 3 7. 設(shè)G為△ABC的重心，則＋2＋3等于(　　)A. 0　　　　　B. 　　　　C. 　　　  D.  8. 設(shè)a＝e，b＝，c＝2ln ，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A. a＜b＜c　　　　 B. a＜c＜b　　　　 C. c＜b＜a　　　　 D. b＜a＜c二、 選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。 9. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，＝，＝，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A. EF⊥BD　　　　　　　　　　　　　    B. EC1∥平面ABF　 C. EF⊥平面B1CD1　　　　　　　　　     D. 直線EF與直線BD1異面10. 已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N均在拋物線C上，若△FMN是以F為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，則MN等于(　　)A. 　　　　　     B. －1　　　　　    C. 　　　　　　    D. ＋111. 已知等差數(shù)列{an}中，當(dāng)且僅當(dāng)n＝7時(shí)，Sn僅得最大值．記數(shù)列的前k項(xiàng)和為Tk，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A．若S6＝S8，則當(dāng)且僅當(dāng)k＝13時(shí)，Tk取得最大值B．若S6＜S8，則當(dāng)且僅當(dāng)k＝14時(shí)，Tk取得最大值C．若S6＞S8，則當(dāng)且僅當(dāng)k＝15時(shí)，Tk取得最大值D．若?m∈N*，Sm＝0，則當(dāng)k＝13或k＝14時(shí)，Tk取得最大值12. 將樣本空間Ω視為一個(gè)單位正方形，任一事件均可用其中的區(qū)域表示，事件發(fā)生的概率為對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積．如圖所示的單位正方形中，區(qū)域Ⅰ表示事件AB，區(qū)域Ⅱ表示事件A，區(qū)域Ⅰ和Ⅲ表示事件B，則區(qū)域Ⅳ的面積為(　　)ⅠⅡⅢⅣA. P()　　　　               B. P()　　　　    C. P(|)P()　　　　　    D. P()P()三、 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. 已知sin (π－x)＝，x∈，則tan x＝__________．14. 已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，點(diǎn)P在橢圓C上，若△PF1F2是以F1為頂點(diǎn)的等腰三角形，且cos ∠F1PF2＝，則橢圓C的離心率e＝________．15. 設(shè)過直線x＝2上一點(diǎn)A作曲線y＝x3－3x的切線有且只有兩條，則滿足題設(shè)的一個(gè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為________．16. 已知球O的表面積為100π cm2，P是球O內(nèi)的定點(diǎn)，OP＝ cm，過點(diǎn)P的動(dòng)直線交球面于A，B兩點(diǎn)，AB＝4 cm，則球心O到AB的距離為__________cm；若點(diǎn)A，B的軌跡分別為圓臺(tái)O1O2的上、下底面的圓周，則圓臺(tái)O1O2的體積為__________cm3.四、 解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17. (10分)已知數(shù)列{an}中，a1，a2，a3，…，a6成等差數(shù)列，a5，a6，a7，…成等比數(shù)列，a2＝－10，a6＝2.(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2) 記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＞0，求n的最小值．    
18. (12分)已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝120°，AC平分∠BAD.(1) 求圓O的半徑；(2) 求AC的長(zhǎng)．       
19. (12分)如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，E為AC的中點(diǎn)，將△ACD沿AC翻折使點(diǎn)D至點(diǎn)D′.(1) 求證：平面BD′E⊥平面ABC；(2) 若三棱錐D′-ABC的體積為，求二面角D′-AB-C的余弦值．    
20. (12分)甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球單打比賽，約定：隨機(jī)選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人進(jìn)行下一局的比賽，先獲勝兩局者為優(yōu)勝者，比賽結(jié)束．已知每局比賽均無(wú)平局，且甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，乙贏丙的概率為.(1) 若甲、乙兩人打第一局，求丙成為優(yōu)勝者的概率；(2) 求恰好打完2局結(jié)束比賽的概率．      
21. (12分)已知雙曲線C過點(diǎn)(3，)，且雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.(1) 求雙曲線C的方程；(2) 設(shè)A為雙曲線C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)P(－2，0)的直線與圓O：x2＋y2＝3交于點(diǎn)M，N，直線AM，AN與雙曲線C的另一交點(diǎn)分別為D，E，求證：直線DE過定點(diǎn)．              22. (12分)已知0＜a＜1，函數(shù)f(x)＝x＋ax－1，g(x)＝x＋1＋logax.(1) 若g(e)＝e，求函數(shù)f(x)的極小值；(2) 若函數(shù)y＝f(x)－g(x)存在唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．                    數(shù)學(xué)參考答案1. B　2. D　3. C　4. C　5. A　6. B　7. B　8. D9. AB　10. BD　11. BD　12. BC13. 　14. 　15. 2或－6　16. 　π17. (1) 當(dāng)1≤n≤6時(shí)，設(shè){an}的公差為d，則d＝＝3，所以an＝－10＋ 3(n－2)＝3n－16，所以a5＝－1，a6＝2.(2分)當(dāng)n≥5時(shí)，設(shè){an}的公比為q，則q＝－2，所以an＝－1·(－2)n－5＝－(－2)n－5，所以an＝(4分)(2) 顯然n>7，所以Sn＝＋＝－33－＋·(－2)n－6>0，(6分)則n為偶數(shù)，(－2)n－6>，所以n－6≥6，則n≥12，所以n的最小值為12.(10分)18. (1) 在△ABD中，結(jié)合題意及余弦定理，得BD＝＝7.(2分)設(shè)圓O半徑為R，所以R＝＝.(5分)(2) 由(1)，得cos ∠ADB＝＝，sin ∠ADB＝.(7分)因?yàn)?/span>∠BAC＝∠BDC＝60°，所以sin ∠ADC＝sin (∠ADB＋60°)＝×＋×＝，(10分)所以＝2R＝，解得AC＝×＝8.(12分)19.  (1) 在菱形ABCD中，因?yàn)?/span>∠ABC＝60°，所以△ABC和△ACD均為等邊三角形．(2分)又E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，D′E⊥AC.因?yàn)?/span>BE∩D′E＝E，BE，D′E在平面BD′E內(nèi)，所以AC⊥平面BD′E.(4分)又AC?平面ABC，所以平面BD′E⊥平面ABC.(6分)(2) 過點(diǎn)D′作D′M⊥BE于點(diǎn)M，則D′M⊥平面ABC，所以VD′-ABC＝××4·D′M＝，解得D′M＝.(8分)過點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，連接D′N，所以∠D′NM即為二面角D′-AB-C的平面角，EM＝＝，所以BM＝，MN＝，所以D′N＝＝，所以cos ∠D′NM＝＝.故二面角D′-AB-C的余弦值為.(12分)20. (1) 記“甲”表示甲贏，“乙”表示乙贏，“丙”表示丙贏，則丙成為優(yōu)勝者的情形為：甲丙丙，乙丙丙．(2分)甲贏乙，丙贏甲，丙贏乙的概率P1＝××＝，乙贏甲 ，丙贏乙， 丙贏甲的概率P2＝××＝，所以丙成為優(yōu)勝者的概率P＝＋＝.(4分)(2) 若甲乙先比賽，2局結(jié)束比賽的情形分為①甲贏乙，甲贏丙；②乙贏甲，乙贏丙，則P1＝×＋×＝.若甲丙先比賽，2局結(jié)束比賽情形分為①甲贏丙，甲贏乙；②丙贏甲，丙贏乙，則P2＝×＋×＝.若乙丙先比賽，2局結(jié)束比賽的情形分為①乙贏丙，乙贏甲；②丙贏乙，丙贏甲，則P3＝×＋×＝.(10分)故恰好打完2局結(jié)束比賽的概率P＝×(＋＋)＝.(12分)21. (1) 因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為y＝±x，所以設(shè)雙曲線C的方程為－y2＝λ(λ≠0).因?yàn)殡p曲線C過點(diǎn)(3，)，所以3－2＝λ，則λ＝1，所以雙曲線C的方程為－y2＝1.(4分)(2) 設(shè)直線MN方程為x＝t′y－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(，0)，聯(lián)立得(t′2＋1)y2－4t′y＋9＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝，所以kAM·kAN＝·＝＝＝＝.(6分)設(shè)直線DE的方程為x＝my＋t，D(x3，y3)，E(x4，y4)，A(，0)，聯(lián)立得(m2－3)y2＋2mty＋t2－3＝0，由kAD·kAE＝·＝，得3y3y4＝(my3＋t－)(my4＋t－)，即(m2－3)y3y4＋m(t－)(y3＋y4)＋(t－)2＝0，所以(m2－3)·＋m(t－)·＋(t－)2＝0.(10分)因?yàn)橹本€DE不過點(diǎn)A(，0)，所以t≠，所以(m2－3)(t＋)－2m2t＋(m2－3)(t－)＝0，即m2t＋m2－3t－3－2m2t＋m2t－m2－3t＋3＝0，所以t＝0，所以直線DE為x＝my，恒過定點(diǎn)(0，0).(12分)22. (1) 由g(e)＝e，得e＋1＋logae＝e，則a＝，所以f(x)＝x＋e1－x，f′(x)＝1－e1－x，令f′(x)＝0，得x＝1，當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)極小值＝f(1)＝2.(4分)(2) f(x)－g(x)＝ax－1－logax－1，令F(x)＝ax－1－logax－1，則F(x)存在唯一的零點(diǎn)，F′(x)＝ax－1ln a－＝，令φ(x)＝xax－1ln a－，則φ′(x)＝ax－1(1＋x ln a)ln a，令φ′(x)＝0，解得x＝－，當(dāng)0<x<－時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>－時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增，所以φ(x)min＝φ＝－a－－1－.(8分)①若－a－－1－≥0，即ln  a≤ln ，令－＝t，所以(t－1)≤ln t，即ln t－＋1≥0，所以t≥1，所以－≥1，即≤a<1時(shí)，φ(x)min≥0，則F′(x)≥0，所以F(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又F(1)＝0，所以F(x)存在唯一的零點(diǎn)，符合題意．②當(dāng)0<a<時(shí)，φ(x)min<0，注意到x→0時(shí)，φ(x)>0，若x→＋∞時(shí)，φ(x)→－>0，所以φ(x)即F′(x)在和(－，＋∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)x1，x2，注意到F(x)在(0，x1)上單調(diào)遞增，(x1，x2)上單調(diào)遞減，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，而F′(1)＝ln a－<0，所以x1<1<x2，且當(dāng)x→0時(shí)，F(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)F(x)→＋∞且F(x1)>F(1)＝0，F(x2)<F(1)＝0，所以F(x)在(0，x1)，(x1，x2)和(x2，＋∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有3個(gè)零點(diǎn)，舍去．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(12分)

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