【基礎(chǔ)】3.2 向量的數(shù)乘與向量共線的關(guān)系-1課時(shí)練習(xí)一．填空題1．已知梯形中，，且，若，，則________.2．已知是的垂心（三角形三條高所在直線的交點(diǎn)），，則的值為_______.3．O為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)不共線，且，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)t＝______．4．在四面體中，．分別是．的中點(diǎn)，若記，，，則______.5．若為正方形，為的中點(diǎn)，且，，則可以用和表示為____________.6．在△ABC中，已知為△ABC的重心，用表示向量=_____7．中，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則向量用向量，表示為____________．8．已知，設(shè)，則實(shí)數(shù)____________.9．已知G是的重心，是的中點(diǎn) 則____________10．如圖，，為內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，則與的面積之比為_______.11．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為________.12．在中，，則______．13．如圖，在平行四邊形中，，，點(diǎn)為對(duì)角線與的交點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，則________.（用，表示）14．如圖，等腰三角形，，．，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，，其中，，，，分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為_____.15．已知直線與平行四邊形的兩邊，分別交于點(diǎn)，，且交其對(duì)角線于點(diǎn)，若，，，則______.
參考答案與試題解析1．【答案】【解析】由題意結(jié)合平面向量共線的性質(zhì)．線性運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可得解.詳解：由題意畫出圖形，如圖：，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算．?dāng)?shù)乘的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．【答案】【解析】根據(jù)垂心得到，得到，即，，計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>是的垂心，所以，因?yàn)?/span>，且，所以，所以，同理，即，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的垂心，向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.3．【答案】【解析】根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件即可求出t的值.【詳解】P，A，B，C四點(diǎn)共面，且，，解得.故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查四點(diǎn)共面，掌握向量共面的充要條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．【答案】【解析】利用三角形加法運(yùn)算法則得出，再根據(jù)平行四邊形運(yùn)算法則和向量減法運(yùn)算，即可化簡(jiǎn)求出結(jié)果.詳解：解：在四面體中，．分別是．的中點(diǎn)，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的加減法運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．5．【答案】【解析】利用平面向量基本定理，取和為基底，將用基向量表示出即可．【詳解】如圖，．故答案為：.【點(diǎn)睛】考查向量的加法．減法．?dāng)?shù)乘運(yùn)算的綜合運(yùn)用，屬于容易題．6．【答案】【解析】利用三角形的重心的性質(zhì)，即可用向量表示向量，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)邊的中點(diǎn)為，因?yàn)?/span>為△ABC的重心，且，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算法則，以及三角形的重心的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形重心的性質(zhì)，熟練應(yīng)用向量的運(yùn)算法則求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．【答案】【解析】利用向量加法和減法的運(yùn)算，將用，表示出來(lái).【詳解】依題意.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量加法和減法的運(yùn)算，考查平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.8．【答案】2【解析】利用向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算，得到，從而得到的值．【詳解】根據(jù)條件，，∴．故答案為：2.【點(diǎn)睛】考查向量減法及數(shù)乘運(yùn)算，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9．【答案】4【解析】由是的中點(diǎn)，G是的重心，則，，再聯(lián)立求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，G是的重心，則，即又，所以,所以,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了三角形的重心的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.10．【答案】【解析】設(shè)，，則，根據(jù)考查向量加法的平行四邊法則，可知，再利用等面積法分別確定，，求解即可.【詳解】如圖，設(shè)，，則，連接，，過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，由向量加法的平行四邊形法則可知又同理可得∴.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量加法的平行四邊法則，等面積轉(zhuǎn)化法，是解決本題的關(guān)鍵，屬于較難的題.11．【答案】【解析】分析：解法1：先根據(jù)得到，從而可得，再根據(jù)三點(diǎn)共線定理，即可得到的值.解法2：根據(jù)圖形和向量的轉(zhuǎn)化用同一組基底去表示，根據(jù)圖形可得：，設(shè)，通過(guò)向量線性運(yùn)算可得：，從而根據(jù)平面向量基本定理列方程組，解方程組得的值.詳解：解法1：因?yàn)?/span>，所以，又，所以因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，解得：.解法2：因?yàn)?/span>，設(shè)，所以，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以，又，所以 解得： ，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算．三點(diǎn)共線定理，平面向量基本定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.12．【答案】【解析】利用向量減法得到B，D，C三點(diǎn)共線的向量關(guān)系，即得到.詳解：因?yàn)?/span>，所以所以，所以即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的共線關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.13．【答案】【解析】結(jié)合平面向量共線定理及線性運(yùn)算即可求解．【詳解】解：由題意可得，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14．【答案】【解析】根據(jù)條件便可得到，然后兩邊平方即可得出，而由條件，代入上式即可得出，從而配方即可求出的最小值，進(jìn)而得出的最小值．詳解：解：；，，代入上式得：；；時(shí)，取最小值；的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，配方求二次函數(shù)最值的方法．15．【答案】【解析】可畫出圖形，根據(jù)條件可得出，然后根據(jù)，，三點(diǎn)共線即可得出，解出即可．詳解：解：如圖，；；．．三點(diǎn)共線；；．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運(yùn)算，由．．三點(diǎn)共線及可得出． 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

3.2 向量的數(shù)乘與向量共線的關(guān)系

版本： 北師大版 (2019)

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