【例1】(2022?濟(jì)南)拋物線y＝ax2+x﹣6與x軸交于A(t，0)，B(8，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx﹣6經(jīng)過點(diǎn)B．點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；(2)如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，求CQ+PQ的最大值．【例2】(2022?宜賓)如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A(3，0)、B(﹣1，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)AC．(1)求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在拋物線的對稱軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，將點(diǎn)D向下平移5個(gè)單位得到點(diǎn)M，點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PF+PM的最小值．【例3】(2022?東西湖區(qū)模擬)如圖1，拋物線y＝x2+(m﹣2)x﹣2m(m＞0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B左邊)，與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．且△ABC的面積為8．(1)求m的值；(2)在(1)的條件下，在第一象限內(nèi)拋物線上有一點(diǎn)T，T的橫坐標(biāo)為t，使∠ATC＝60°．求(t﹣1)2的值．(3)如圖2，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，求CP+AP的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【例4】(2022?成都模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的圖象與y軸，x軸分別相交于A(0，2)，B(2，0)，C(4，0)三點(diǎn)，點(diǎn)D是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為拋物線上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連接AC，若S△ACP＝S△ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)M是第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠AMB＝45°，連接MD，MC，求2MD+MC的最小值．1．(2022?河北區(qū)二模)已知拋物線y＝﹣x2+bx+c(b，c為常數(shù))的圖象與x軸交于A(1，0)，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))．與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．(Ⅰ)當(dāng)b＝2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(Ⅱ)若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，連接BP，當(dāng)PB＝PC，OP＝2時(shí)，求b的值；(Ⅲ)若拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是線段DE上一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AB上一點(diǎn)，且AN＝2BN，連接NQ，求DQ+NQ的最小值．2．(2021?南海區(qū)二模)如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別位于原點(diǎn)左、右兩側(cè)，且AO＝2BO＝4，過A點(diǎn)的直線y＝kx+c交y軸于點(diǎn)C．(1)求k、b、c的值；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點(diǎn)M為線段AC上一點(diǎn)，連接OM，求AM+OM的最小值．3．(2021?寶安區(qū)模擬)(1)已知二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A(﹣3，0)、B(1，0)、C(0，3)，請求該拋物線解析式；(2)點(diǎn)M為拋物線上第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BM交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)BM將四邊形ABCM的面積分為1：2兩部分時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P為對稱軸上D點(diǎn)下方一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線y＝x第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，且DP＝OQ，求BP+BQ的最小值并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．(2021?南沙區(qū)一模)已知，拋物線y＝mx2+x﹣4m與x軸交于點(diǎn)A(﹣4，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D(n，0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且有﹣4＜n＜0，過點(diǎn)D作直線l⊥x軸，且與直線AC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NP⊥AC于點(diǎn)P．點(diǎn)E在第三象限內(nèi)，且有OE＝OD．(1)求m的值和直線AC的解析式．(2)若點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，AD+CD取得最小值時(shí)，求此時(shí)n的值．(3)若△ADM的周長與△MNP的周長的比為5：6時(shí)，求AE+CE的最小值．5．(2021?射陽縣三模)如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，對稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P，與直線BC相交于點(diǎn)M，連接AC，PB．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)N，在對稱軸上是否存在點(diǎn)G，使以O、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？如果存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(4)點(diǎn)E是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接ME，求ME+CE的最小值．6．(2021?深圳模擬)如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)D為拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)E在x軸上，且∠ECA＝∠CAD，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)P為線段AC上方的拋物線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，與AC交于點(diǎn)M．①求△APC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②在①的條件下，若點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，求HN+CN的最小值．7．(2021?深圳模擬)已知：如圖，點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，D(2，﹣1)，C是y軸上的點(diǎn)，且OC＝3．(1)過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，連接AD、BD，求證：四邊形ADBM為正方形；(2)若過A、B、C三點(diǎn)的拋物線對稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)PC﹣PB的值最大時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．8．(2021?資陽)拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且B(﹣1，0)，C(0，3)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的一點(diǎn)，BP與AC相交于點(diǎn)E，當(dāng)PE：BE＝1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿CD方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，且DD'＝2CD，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于D'左側(cè)的一點(diǎn)，MN∥y軸交直線OD'于點(diǎn)N，連結(jié)CN．當(dāng)D'N+CN的值最小時(shí)，求MN的長．9．(2022?杜爾伯特縣一模)如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A(﹣1，0)，B(m，0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，﹣3)，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)E在x軸上，且∠ECB＝∠CBD，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．(3)若P是直線BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M．①求線段PM長度的最大值．②在①的條件下，若F為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PH+HF+CF的最小值．10．(2020?自貢)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A(﹣3，0)、B(1，0)，交y軸于點(diǎn)N，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接AM，點(diǎn)E是線段AM上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AM于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，交AM于點(diǎn)D．點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EF取最大值時(shí)：①求PD+PC的最小值；②如圖2，Q點(diǎn)為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，請直接寫出DQ+OQ的最小值．11．(2022?中山市三模)如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸為直線x＝1，點(diǎn)A(﹣1，0)，過B的直線交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于E，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線第四象限的圖象上找一點(diǎn)P，使得△BDP的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M是線段BE上的一點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．12．(2021?南山區(qū)校級三模)如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)與y軸相交于點(diǎn)C(0，﹣2)，與x軸分別交于點(diǎn)B(3，0)和點(diǎn)A，且tan∠CAO＝1．(1)求拋物線解析式．(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，請求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使PC+PD值最小，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．13．(2021?津南區(qū)一模)已知拋物線y＝x2﹣2x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，其對稱軸交x軸于點(diǎn)C．(Ⅰ)求該拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(Ⅱ)設(shè)P是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C，D重合)．①過點(diǎn)P作y軸的垂線l交拋物線(對稱軸右側(cè))于點(diǎn)Q，連接QB，QD，求△QBD面積的最大值；②連接PB，求PD+PB的最小值．14．(2021?防城區(qū)模擬)如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8a(a＞0)與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝﹣x+與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P(x，y)在該二次函數(shù)的圖象上，且S△BCD＝S△ABP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)F為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)B和D)，連接AF．是否存在點(diǎn)F，使得2AF+DF的值最??？若存在，分別求出2AF+DF的最小值和點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．15．(2021秋?沈北新區(qū)校級月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)B(﹣3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P在第二象限的拋物線上，連接PC、PO，線段PO交線段BC于點(diǎn)E．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)若△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，當(dāng)＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)N，連接BN，點(diǎn)H在x軸上，當(dāng)∠HCB＝∠NBC時(shí)，①求滿足條件的所有點(diǎn)H的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)H在線段AB上時(shí)，平面內(nèi)點(diǎn)M，且HM＝1，直接寫出AM+CM的最小值．16．(2021?香洲區(qū)校級三模)如圖，拋物線y＝﹣x2﹣6x+7交x軸于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，直線y＝x+7經(jīng)過點(diǎn)A、C，點(diǎn)M是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P，C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時(shí)，求PM+AM的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)連接BC，當(dāng)△AOM與△ABC相似時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．17．(2021?涪城區(qū)校級模擬)已知：如圖所示，拋物線y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且滿足tan∠CAB?tan∠CBA＝1．(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是拋物線y＝﹣x2﹣x+c上一點(diǎn)，且△PAC的內(nèi)切圓的圓心正好落在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若M為線段AO上任意一點(diǎn)，求MC+AM的最小值．18．(2021?青山區(qū)模擬)已知拋物線y＝ax2﹣4ax﹣12a與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且OC＝OA．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，對稱軸交x軸于點(diǎn)N．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)E(m，n)為拋物線上的一點(diǎn)，且0＜m＜6，連接AE，交對稱軸于點(diǎn)P．點(diǎn)F為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，當(dāng)PA＝2PE時(shí)，求EF+BF的最小值．(3)如圖2，過點(diǎn)M作MQ⊥CM，交x軸于點(diǎn)Q，將線段CQ向上平移t個(gè)單位長度，使得線段CQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍．19．(2021?羅湖區(qū)校級模擬)已知拋物線y＝ax2+bx(a，b為常數(shù)，a≠0)與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4)．(Ⅰ)求拋物線的解析式；(Ⅱ)點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAC面積的最大值；(Ⅲ)點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接QA，求QC+QA的最小值．20．(2020?東勝區(qū)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣2，0)，B(0，)，C(1，0)，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在第二象限內(nèi)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)若M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ME，求MB+ME的最小值．
    
 

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