考點(diǎn)1：反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)1．圖象的特征：反比例函數(shù)的圖象是一條雙曲線，它關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱。2．反比例函數(shù)(k≠0,k為常數(shù))的圖象和性質(zhì):函數(shù)圖象所在象限性質(zhì)(k≠0，k為常數(shù))k>0一、三象限(x，y同號)在每個象限內(nèi)，y隨x增大而減小k<0二、四象限(x，y異號)在每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大  【例1】（2021·山西）已知反比例函數(shù)，則下列描述不正確的是（    ）A．圖象位于第一，第三象限 B．圖象必經(jīng)過點(diǎn)C．圖象不可能與坐標(biāo)軸相交 D．隨的增大而減小【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、反比例函數(shù)，，經(jīng)過一、三象限，此選項(xiàng)正確，不符合題意；B、將點(diǎn)代入中，等式成立，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；C、反比例函數(shù)不可能坐標(biāo)軸相交，此選項(xiàng)正確，不符合題意；D、反比例函數(shù)圖像分為兩部分，不能一起研究增減性，故此選項(xiàng)錯誤，符合題意；故選：D．【例2】如圖，函數(shù)與y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（　　）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)解答本題．【詳解】解：在函數(shù)和y＝﹣kx+2（k≠0）中，當(dāng)k＞0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，函數(shù)y＝﹣kx+2的圖象在第一、二、四象限，故選項(xiàng)A、D錯誤，選項(xiàng)B正確，當(dāng)k＜0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，函數(shù)y＝﹣kx+2的圖象在第一、二、三象限，故選項(xiàng)C錯誤，故選：B．  （1）當(dāng)k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;（2）當(dāng)k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.    1．（2021·江蘇宿遷市）已知雙曲線過點(diǎn)(3，)、(1，)、(-2，)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．【分析】利用分比例函數(shù)的增減性解答即可．【詳解】解：∵∴當(dāng)x＞0時，y隨x的增大，且y＜0；當(dāng)x＜0時，y隨x的增大，且y＞0； ∵0＜1＜3，-2＜0∴y2＜y1＜0，y3＞0∴．故選A．2．（2021·湖南婁底市）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)、聯(lián)系化學(xué)學(xué)科中的溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)的求法以及生活體驗(yàn)等，判定下列有關(guān)函數(shù)（a為常數(shù)且）的性質(zhì)表述中，正確的是（    ）①y隨x的增大而增大；②y隨x的增大而減?。?/span>③；④A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】該函數(shù)可改寫為（a為常數(shù)且），此時可以類比反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，或者利用賦值法也可快速進(jìn)行選擇，選擇正確的選項(xiàng)即可．【詳解】解：，又∵，∴隨著x的增大，也會隨之增大，∴隨著x的增大而減小，此時越來越小，則越來越大，故隨著x的增大y也越來越大．因此①正確，②錯誤；∵，∴，∴，故，因此③正確，④錯誤；綜上所述，A選項(xiàng)符合．故選：A．3．（2021·福建）若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則k的值等于_________．【分析】結(jié)合題意，將點(diǎn)代入到，通過計算即可得到答案．【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)∴，即故答案為：1． 考點(diǎn)2：確定反比例關(guān)系式1．反比例函數(shù)的解析式的確定求反比例函數(shù)的解析式跟求一次函數(shù)一樣，也是待定系數(shù)法。2．反比例函數(shù)（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|。常見模型如圖： 【例3】（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，若A點(diǎn)坐標(biāo)為，則__________．【分析】將A點(diǎn)坐標(biāo)為分別代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式中即可求解．【詳解】和過點(diǎn)A故答案為．【例4】如圖直線y＝mx與雙曲線交于點(diǎn)A、B，過A作AM⊥x軸于M點(diǎn)，連接BM，若S△AMB＝2，則k的值是（　?。?/span>A．1 B．2 C．3 D．4【分析】此題可根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性得到A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，再由S△ABM＝2S△AOM并結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到k的值．【詳解】解：由題意得：S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM|k|＝1，則k＝±2．又由于反比例函數(shù)圖象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故選：B．  求函數(shù)解析式關(guān)鍵在于掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式。即解設(shè)求該函數(shù)解析式為 (k≠0,k為常數(shù))，再將函數(shù)上一個點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解得。  1．（2021·江蘇蘇州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．四邊形為矩形，點(diǎn)、分別在軸和軸的正半軸上，點(diǎn)為的中點(diǎn)已知實(shí)數(shù)，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求的值．【分析】先根據(jù)一次函數(shù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)D坐標(biāo)代入一次函數(shù)即可求得答案．【詳解】解：把代入，得．∴．∵軸，∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．把代入，得．∴．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴．∴．∵點(diǎn)在直線上，∴．∴．2．（2021·河南）如圖，大、小兩個正方形的中心均與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，反比例函數(shù)的圖象與大正方形的一邊交于點(diǎn)A(1，2)，且經(jīng)過小正方形的頂點(diǎn)B．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為；（2）陰影部分的面積為8．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)B是小正方形在第一象限的一個點(diǎn)，知其橫縱坐標(biāo)相等，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，繼而求得小正方形的面積，再求得大正方形的面積，從而求得陰影部分的面積．【詳解】解：（1）由題意，點(diǎn)A(1，2)在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）點(diǎn)B是小正方形在第一象限的一個點(diǎn)，由題意知其橫縱坐標(biāo)相等，設(shè)B(a，a)，則有，∴，即B(，)，∴小正方形的邊長為，∴小正方形的面積為，大正方形經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，則大正方形的邊長為，∴大正方形的面積為，∴圖中陰影部分的面積為16-8=8．3．已知y＝y1﹣y2，y1與x成反比例，y2與x﹣2成正比例，并且當(dāng)x＝3時，y＝5；當(dāng)x＝1時，y＝﹣1．（1）y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)x＝﹣1時，求y的值．【分析】（1）設(shè)出解析式，利用待定系數(shù)法求得比例系數(shù)即可求得其解析式；（2）代入x的值即可求得函數(shù)值．【答案】解：（1）設(shè)y1，y2＝b（x﹣2），則yb（x﹣2），根據(jù)題意得，解得，所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y4（x﹣2）；（2）把x＝﹣1代入y4（x﹣2）；得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15． 考點(diǎn)3：反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用反比例函數(shù)的實(shí)際問題是中考命題的熱點(diǎn)，與生活聯(lián)系，與物理學(xué)相聯(lián)系的問題在中考中所占的比重較大。 【例5】（2021·四川自貢市）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流O（單位：A）與電阻R（單位：）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)解析式為 B．蓄電池的電壓是18VC．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【分析】將將代入求出U的值，即可判斷A，B，D，利用反比例函數(shù)的增減性可判斷C．【詳解】解：設(shè)，將代入可得，故A錯誤；∴蓄電池的電壓是36V，故B錯誤；當(dāng)時，，該項(xiàng)正確；當(dāng)當(dāng)時，，故D錯誤，故選：C．【例6】（2021·湖南常德市）如圖，在中，．軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象的一支過A點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象的一支過B點(diǎn)，過A作軸于H，若的面積為．（1）求n的值；（2）求反比例函數(shù)的解析式．【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）證明，求出BE的長即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵A，且軸∴AH=，OH=n又的面積為．∴ ,即 解得，；（2）由(1)得，AH=，OH=1∴AO=2如圖，∵，軸，∴，四邊形AHOE是矩形，∴AE=OH=1又 ∴∴，即： 解得，BE=3∴B(-3,1)∵B在反比例函數(shù)的圖象上，∴ ∴．  利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題，要做到①能把實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型；②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實(shí)際意義；③問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然后在作答中說明.【失分警示】1．利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，誤認(rèn)為所給出的點(diǎn)在同一曲線上；2．利用出數(shù)圖象解決實(shí)際問題時，容易忽視自變量在實(shí)際問題的意義。   1．（2021·浙江麗水市）一杠桿裝置如圖，桿的一端吊起一桶水，水桶對桿的拉力的作用點(diǎn)到支點(diǎn)的桿長固定不變．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別在桿的另一端豎直向下施加壓力，將相同重量的水桶吊起同樣的高度，若，則這四位同學(xué)對桿的壓力的作用點(diǎn)到支點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)的是（    ）A．甲同學(xué) B．乙同學(xué) C．丙同學(xué) D．丁同學(xué)【分析】根據(jù)物理知識中的杠桿原理：動力×動力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．【詳解】解：由物理知識得，力臂越大，用力越小，根據(jù)題意，∵，且將相同重量的水桶吊起同樣的高度，∴乙同學(xué)對桿的壓力的作用點(diǎn)到支點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，故選：B．2．（2021·江蘇揚(yáng)州市）如圖，點(diǎn)P是函數(shù)的圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)A、B，交函數(shù)的圖像于點(diǎn)C、D，連接、、、，其中，下列結(jié)論：①；②；③，其中正確的是（    ）A．①② B．①③ C．②③ D．①【分析】設(shè)P（m，），分別求出A，B，C，D的坐標(biāo)，得到PD，PC，PB，PA的長，判斷和的關(guān)系，可判斷①；利用三角形面積公式計算，可得△PDC的面積，可判斷③；再利用計算△OCD的面積，可判斷②．【詳解】解：∵PB⊥y軸，PA⊥x軸，點(diǎn)P在上，點(diǎn)C，D在上，設(shè)P（m，），則C（m，），A（m，0），B（0，），令，則，即D（，），∴PC==，PD==，∵，，即，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正確；△PDC的面積===，故③正確；=====，故②錯誤；故選B．3．（2021·浙江寧波市）在平面直角坐標(biāo)系中，對于不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，我們把點(diǎn)稱為點(diǎn)A的“倒數(shù)點(diǎn)”．如圖，矩形的頂點(diǎn)C為，頂點(diǎn)E在y軸上，函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)A．若點(diǎn)B是點(diǎn)A的“倒數(shù)點(diǎn)”，且點(diǎn)B在矩形的一邊上，則的面積為_________．【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)B不可能在坐標(biāo)軸上，可對點(diǎn)B進(jìn)行討論分析：①當(dāng)點(diǎn)B在邊DE上時；②當(dāng)點(diǎn)B在邊CD上時；分別求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出的面積即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵點(diǎn)稱為點(diǎn)的“倒數(shù)點(diǎn)”，∴，，∴點(diǎn)B不可能在坐標(biāo)軸上；∵點(diǎn)A在函數(shù)的圖像上，設(shè)點(diǎn)A為，則點(diǎn)B為，∵點(diǎn)C為，∴，①當(dāng)點(diǎn)B在邊DE上時；點(diǎn)A與點(diǎn)B都在邊DE上，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解；∴點(diǎn)B為，∴的面積為：；②當(dāng)點(diǎn)B在邊CD上時；點(diǎn)B與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解；∴點(diǎn)B為，∴的面積為：；故答案為：或． 考點(diǎn)4：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用 【例7】（2021·山東威海市）已知點(diǎn)A為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，交雙曲線于點(diǎn)B．若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____________．【分析】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入，解出x的值即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵點(diǎn)A為直線上一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)B在雙曲線上，將代入中得：，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為或，故答案為：或．【例8】（2021·四川涼山彝族自治州）如圖，中，，邊OB在x軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊OA的中點(diǎn)M，與AB相交于點(diǎn)N，．（1）求k的值；（2）求直線MN的解析式．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)題意表示出點(diǎn)B，N，M的坐標(biāo)，根據(jù)△AOB的面積得到，再根據(jù)M，N在反比例函數(shù)圖像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)表達(dá)式，即可求得k值；（2）由（1）得到M，N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出MN的解析式．【詳解】解：（1）設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，n），∵∠ABO=90°，∴B（m，0），又AN=，∴N（m，），∵△AOB的面積為12，∴，即，∵M為OA中點(diǎn)，∴M（，），∵M和N在反比例函數(shù)圖像上，∴，化簡可得：，又，∴，解得：，∴，∴M（2，3），代入，得；（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），設(shè)直線MN的表達(dá)式為y=ax+b，則，解得：，∴直線MN的表達(dá)式為．   1．解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目需要注意以下要點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，可以利用待定系數(shù)法. 2．反比函數(shù)圖像常見的輔助線作法：過反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線段構(gòu)成三角形或四邊形，求面積。  1．（2021·貴州安順市）已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（    ）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像的中心對稱性，可得關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，∴關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．故選C．2．（2021·山東菏澤市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊、分別在坐標(biāo)軸上，且，，連接．反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過線段的中點(diǎn)，并與、分別交于點(diǎn)、．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．（1）分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，當(dāng)的值最小時，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【分析】（1）先求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)過點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可，由矩形的性質(zhì)可得、坐標(biāo)，代入即可求出解析式；（2）“將軍飲馬問題”，作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接,直線與軸交點(diǎn)即為所求．【詳解】（1） 四邊形是矩形，， 為線段的中點(diǎn) 將代入，得 將，代入，得： ，解得 （2）如圖：作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)P當(dāng)三點(diǎn)共線時，有最小值，設(shè)直線的解析式為將，代入，得，解得令，得 3．（2021·山東東營市）如圖所示，直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為，直線AB與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)，，．（1）求直線AB的解析式；（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，的面積是的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）直接寫出不等式的解集．【分析】（1）過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，得點(diǎn)A，將點(diǎn)A代入，得；通過列二元一次方程組并求解，即可得到答案；（2）連接OB、、，結(jié)合（1）的結(jié)論，得點(diǎn)B；結(jié)合題意得；把代入，得點(diǎn)C；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，通過計算即可得到答案；（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論，結(jié)合反比例和一次函數(shù)的圖像，即可得到答案．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，∵，，∴，，∴點(diǎn)A，∴雙曲線的解析式為，把，分別代入，得：，解得：，∴直線AB的解析式為；（2）如圖，連接OB、、把代入，得，∴點(diǎn)B，∴，∴，把代入，得，∴點(diǎn)C設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵∴，∵，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論，結(jié)合點(diǎn)A、點(diǎn)B∴或．
 

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