專題09  反比例函數(shù) 考點(diǎn)1：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．（2021·湖南）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象或性質(zhì)的共有特征之一是（    ）A．函數(shù)值y隨x的增大而增大 B．圖象在第一、三象限都有分布C．圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn) D．圖象經(jīng)過點(diǎn)【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】A、正比例函數(shù)，函數(shù)值隨的增大而增大；反比例函數(shù)，在每一象限內(nèi)，函數(shù)值隨的增大而減小，則此項(xiàng)不符題意；B、正比例函數(shù)的圖象在第一、三象限都有分布，反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限都有分布，則此項(xiàng)符合題意；C、正比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，則此項(xiàng)不符題意；D、正比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即其圖象經(jīng)過點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)，則此項(xiàng)不符題意；故選：B．2．（2021·黑龍江大慶市）已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，那么一次的數(shù)的圖像經(jīng)過第（     ）A．一，二，三象限 B．一，二，四象限C．一，三，四象限 D．二，三，四象限【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性得到，再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∴，∴的圖像經(jīng)過第一，二，四象限，故選：B．3．若ab＞0，則一次函數(shù)y＝ax﹣b與反比例函數(shù)y在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（　?。?/span>A． B． C． D．【分析】根據(jù)ab＞0，可得a、b同號，結(jié)合一次函數(shù)及反比例函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．【答案】解：A、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a＞0，b＜0，即ab＜0，故不符合題意，B、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a＜0，b＞0，即ab＜0，故不符合題意，C、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a＜0，b＜0，即ab＞0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab＞0，故符合題意，D、根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab＜0，故不符合題意；故選：C．4．（2021·陜西）若，是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則、的大小關(guān)系是______（填“>”、“=”或“<”）【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷，再根據(jù)反比例函數(shù)的增減性判斷即可．【詳解】解：∵∴即∴反比例函數(shù)圖像每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大∵1<3∴<故答案為：<．5．已知點(diǎn)A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函數(shù)y（k＜0）的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（　　）A．x3＜x1＜x2 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x1＜x2＜x3【分析】利用反比例函數(shù)的圖象，標(biāo)出點(diǎn)A，B，C的位置，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函數(shù)y（k＜0）的圖象上，∴x1＜x2＜x3，故選：D．考點(diǎn)2：確定反比例關(guān)系式6．（2021·云南）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該反比例函數(shù)的解析式（解析式也稱表達(dá)式）為_________．【分析】先設(shè)，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出k值，即得到反比例函數(shù)的解析式．【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為（k≠0），∵函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，-2），∴，得k=-2，∴反比例函數(shù)解析式為，故答案為：．7．（2021·山東威海市）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（    ）A． B．或C． D．或【分析】先確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，然后畫出圖象，再根據(jù)圖象確定x的取值范圍即可．【詳解】解：∵兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)∴ ，，解得：，k2=2∴，畫出函數(shù)圖象如下圖：由函數(shù)圖象可得的解集為：0＜x＜2或x＜-1．故填D．8．如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y和y在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，則△POB的面積為（　　）A．1 B．2 C．4 D．無法計(jì)算【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y（k≠0）系數(shù)k的幾何意義得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C2于點(diǎn)B，∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1，∴S△POB＝2﹣1＝1．故選：A． 考點(diǎn)3：反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用9．（2021·湖北宜昌市）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓（單位：）是氣體體積（單位：）的反比例函數(shù)：，能夠反映兩個(gè)變量和函數(shù)關(guān)系的圖象是（    ）A． B．C． D．【分析】根據(jù)實(shí)際意義以及函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的類型，以及自變量的取值范圍即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：當(dāng)m一定時(shí)，與V之間成反比例函數(shù)，則函數(shù)圖象是雙曲線，同時(shí)自變量是正數(shù)．故選：B．10．（2021·浙江溫州市）如圖，點(diǎn)，在反比例函數(shù)（，）的圖象上，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，連結(jié)．若，，，則的值為（    ）A．2 B． C． D．【分析】設(shè)OD=m，則OC=，設(shè)AC=n，根據(jù)求得，在Rt△AEF中，運(yùn)用勾股定理可求出m=，故可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)OD=m，∵∴OC=∵軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，∴四邊形BEOD是矩形∴BD=OE=1∴B(m，1)設(shè)反比例函數(shù)解析式為，∴k=m×1=m設(shè)AC=n∵軸∴A（，n）∴，解得，n=，即AC=∵AC=AE∴AE=在Rt△AEF中，， 由勾股定理得， 解得，（負(fù)值舍去）∴ 故選：B11．（2021·四川樂山市）通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時(shí)間的變化而變化，上課開始時(shí)，學(xué)生興趣激增，中間一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)隨時(shí)間（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)和時(shí)，圖象是線段；當(dāng)時(shí)，圖象是反比例函數(shù)的一部分．（1）求點(diǎn)對應(yīng)的指標(biāo)值；（2）張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，使學(xué)生在聽這道綜合題的講解時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36？請說明理由．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，再將x=45代入，即可得出A對應(yīng)的指標(biāo)值（2）先用待定系數(shù)法寫出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)注意力指標(biāo)都不低于36得出，得出自變量的取值范圍，即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）令反比例函數(shù)為，由圖可知點(diǎn)在的圖象上，∴， ∴．將x=45代入將x=45代入得：點(diǎn)對應(yīng)的指標(biāo)值為．（2）設(shè)直線的解析式為，將、代入中，得，解得．∴直線的解析式為．由題得，解得．∵，∴張老師經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，能使學(xué)生在聽綜合題的講解時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36.考點(diǎn)4：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用12．（2021·江蘇無錫市）一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，且的面積為1，則m的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先求出B的坐標(biāo)，結(jié)合的面積為1和，列出方程，再根據(jù)在一次函數(shù)圖像上，得到另一個(gè)方程，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B，∴B(-n，0)，∵的面積為1，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，∴，∴或，解得：n=-2或n=1或無解，∴m=2或-1（舍去），故選B．13．（2021·湖北十堰市）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，過A作軸于點(diǎn)B，連，直線，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在該反比例函數(shù)圖像上，則D點(diǎn)縱坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，易得求出a的值，再根據(jù)勾股定理得到兩點(diǎn)間的距離，即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴直線OA的解析式為，∵，∴設(shè)直線CD的解析式為，則，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則①，且，即，解得，代入①可得，故選：A．14．（2021·四川樂山市）如圖，直線分別交軸，軸于、兩點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于、兩點(diǎn)．若，且的面積為4（1）求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，求的面積．【分析】（1）過作垂直于軸，垂足為，證明．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，由此可得，．再由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義即可求得k值．（2）先求得，，再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為．與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組，解方程組求得．再根據(jù)即可求解．【詳解】（1）過作垂直于軸，垂足為，∴，∴．∵，，∴，，∴，．∴，，即．（2）由（1）知，∴．∵，∴，∴，．設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)、代入，得．解得．∴直線的解析式為．聯(lián)立方程組，解得，，∴．∴．15．（2021·四川廣安市）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)在軸上，且滿足的面積等于4，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)求出m，得到反比例函數(shù)解析式，據(jù)此求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再將A，B代入一次函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），求出直線AB與x軸交點(diǎn)，再結(jié)合△ABP的面積為4得到關(guān)于a的方程，解之即可．【詳解】解：（1）由題意可得：點(diǎn)B（3，-2）在反比例函數(shù)圖像上，∴，則m=-6，∴反比例函數(shù)的解析式為，將A（-1，n）代入，得：，即A（-1，6），將A，B代入一次函數(shù)解析式中，得，解得：，∴一次函數(shù)解析式為；（2）∵點(diǎn)P在x軸上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0），∵一次函數(shù)解析式為，令y=0，則x=2，∴直線AB與x軸交于點(diǎn)（2，0），由△ABP的面積為4，可得：，即，解得：a=1或a=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0）．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y2（m≠0）的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的A（3，5），B（a，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在y軸上找一點(diǎn)P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）直接寫出不等式kx+b的解集．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）求得直線y1與y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)，PB﹣PC＝BC最大，利用勾股定理即可求得最大值；（3）根據(jù)圖象即可求得．【詳解】解：（1）把A（3，5）代入y2（m≠0），可得m＝3×5＝15，∴反比例函數(shù)的解析式為y2，把點(diǎn)B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，∴B（﹣5，﹣3）．把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y1＝x+2；（2）一次函數(shù)的解析式為y1＝x+2，令x＝0，則y＝2，∴一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為P（0，2），此時(shí)，PB﹣PC＝BC最大，P即為所求，令y＝0，則x＝﹣2，∴C（﹣2，0），過B點(diǎn)向x軸作垂線，由勾股定理可得：BC3；（3）當(dāng)y1＞y2時(shí)，﹣5＜x＜0或x＞3．16．（2021·湖北襄陽市）小欣在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)的圖象與性質(zhì)．其研究過程如下：（1）繪制函數(shù)圖象①列表：下表是與的幾組對應(yīng)值，其中______；…012……32…②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)，請補(bǔ)充描出點(diǎn)；③連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，請把圖象補(bǔ)充完整．（2）探究函數(shù)性質(zhì)判斷下列說法是否正確（正確的填“√”，錯(cuò)誤的填“×”）．①函數(shù)值隨的增大而減?。?/span>______②函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱：______③函數(shù)圖象與直線沒有交點(diǎn)．______【分析】（1）①將x=0代入解析式中求解即可求出m的值；②在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出點(diǎn)即可；③連線形成圖象即可；（2）觀察函數(shù)圖象即可求解．【詳解】（1）①將x=0代入解析式中解得m=1；②（點(diǎn)如圖所示）；③（圖象如圖所示）．（2）①x的取值范圍是x≠-1，當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x＜-1時(shí)，y隨著x的增大而減小，故填×；②圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對稱，故填×；③x的取值范圍為x≠-1，所以函數(shù)圖象與直線x=-1沒有交點(diǎn)，故填√． 
 

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