2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市靖江高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則與之間的關(guān)系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算得到，據(jù)此得到集合的關(guān)系.【詳解】，，故錯(cuò)誤；錯(cuò)誤，錯(cuò)誤；正確.故選：D2．“角為鈍角”是“角”的（    ）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】利用充分、必要條件的概念即得.【詳解】由角為鈍角可推出角，由角可推出角為鈍角，所以“角為鈍角”是“角”的充要條件.故選：C3．以下四組數(shù)中大小關(guān)系正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】對(duì)A，，故，錯(cuò)誤；對(duì)B，在第一象限為增函數(shù)，故，錯(cuò)誤；對(duì)C，為增函數(shù)，故，正確；對(duì)D，，，故，錯(cuò)誤；故選：C4．已知，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，且，則（    ）A． B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即得.【詳解】由三角函數(shù)的定義可知，即.故選：B.5．某同學(xué)參加研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：x1.02.04.08.0y0.010.992.023 現(xiàn)欲從理論上對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并預(yù)測(cè)，則下列模擬函數(shù)合適的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由表中數(shù)據(jù)的增大趨勢(shì)和函數(shù)的單調(diào)性判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：由表中的數(shù)據(jù)看出：y隨x的增大而增大，且增大的幅度越來越小，而函數(shù)，在的增大幅度越來越大，函數(shù)呈線性增大，只有函數(shù)與已知數(shù)據(jù)的增大趨勢(shì)接近，故選：A.6．已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示 那么函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（精確度為）為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由數(shù)表知：，由零點(diǎn)存在性定義知，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值為.故選：B7．函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，，則的最小值為（    ）A． B．10 C． D．8【答案】B【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，因?yàn)?/span>在直線上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最小值為10.故選：B8．設(shè)函數(shù)與有相同的對(duì)稱軸,且在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)與有相同對(duì)稱軸,求出的值,對(duì)的相位進(jìn)行換元,根據(jù),確定定義域大致范圍,畫出新函數(shù)圖象,分在第一個(gè)零點(diǎn)前后兩種情況討論,根據(jù)有3個(gè)零點(diǎn),寫出不等式求出范圍即可.【詳解】解:由題知,因?yàn)?/span>與有相同對(duì)稱軸,所以,即,,令,即在上有3個(gè)零點(diǎn),因?yàn)?/span>,所以畫出圖象如下所示:當(dāng)時(shí),在上有3個(gè)零點(diǎn),只需,解得,故;當(dāng)時(shí),在上有3個(gè)零點(diǎn),只需,解得,綜上: 或.故選:D 二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（    ）A．若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)B．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>C．若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>則的定義域?yàn)?/span>【答案】BD【分析】利用特例可判斷A，求函數(shù)的定義域可判斷B，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可判斷D.【詳解】對(duì)于A，如與定義域與值域相同，但不是同一個(gè)函數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，故B正確；對(duì)于C，要使函數(shù)的值域?yàn)?/span>R，令，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?/span>，則要使有意義，必須，所以定義域?yàn)?/span>，故D正確.故選：BD.10．函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（    ）A．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．若，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>D．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為【答案】BD【分析】代入驗(yàn)證正弦型函數(shù)的對(duì)稱性判斷AB，求正弦型函數(shù)在給定區(qū)間的值域判斷C，求解正弦型函數(shù)的遞減區(qū)間判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；選項(xiàng)C：由，可得，則，即若，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，可得，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確.故選：BD.11．下列函數(shù)中，最小值不為4的函數(shù)為（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用基本不等式逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以A最小值不為4；對(duì)于B，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，但無解，故B最小值不為4；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，所以C最小值為4；對(duì)于D，當(dāng)，，所以D最小值不為4.故選：ABD.12．已知是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，且滿足：，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．為周期函數(shù)B．C．不等式的解集為D．關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的解，則【答案】AC【分析】利用周期性的定義可判斷A選項(xiàng)，計(jì)算出的值，可判斷B選項(xiàng)，求出不等式在上的解，結(jié)合周期可判斷C選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由已知可得，故函數(shù)為周期函數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B，由A知， B錯(cuò)；對(duì)于C，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則.故當(dāng)時(shí)，不等式的解為，又因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，故不等式的解集是，C對(duì)；對(duì)于D，作出函數(shù)與函數(shù)的部分圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象也有三個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò).故選：AC 三、填空題13．已知全集為,則__________.【答案】或【分析】先化簡(jiǎn)集合,再根據(jù)補(bǔ)集的定義寫出結(jié)果即可.【詳解】解:由題知,解得:,故或.故答案為:或14．的值為__________．【答案】1【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，平方關(guān)系即可解出．【詳解】原式＝．故答案為：1．15．已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，記：，，則的大小關(guān)系按從大到小排列為__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，所以.故答案為：.16．已知，關(guān)于的方程有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】令，結(jié)合的圖象將問題轉(zhuǎn)化為“方程在上有兩不等實(shí)根”，利用韋達(dá)定理結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解出的取值范圍.【詳解】作的圖象如下圖所示，令，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象可知，關(guān)于的方程有兩不等實(shí)根，記為，且，因?yàn)?/span>，，所以，又因?yàn)?/span>，，即，所以的取值范圍是，所以的取值范圍是，故答案為：. 四、解答題17．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，(1)求值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求出正余弦三角函數(shù)值結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）直接代入正余弦值即可．【詳解】（1）由題意，，則原式；（2）原式．18．已知，當(dāng)時(shí)的值域?yàn)榧?/span>，關(guān)于的不等式：的解集為，集合，集合(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得集合，由題可得，由此列出不等式求解，即得；（2）先解分式不等式，根據(jù)，分別討論，兩種情況，即得.【詳解】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，所以其值域，又由，可得，所以，即，所以，又，所以，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）由，可得，所以，即，對(duì)于集合有：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以，所以；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．19．解決下列問題：(1)若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；(2)函數(shù)，若存在使得成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)(2) 【分析】對(duì)于（1），，分兩種情況討論可得答案；對(duì)于（2），存在使得等價(jià)于，其中.【詳解】（1）.①當(dāng)時(shí)，有，則符合題意；②當(dāng)時(shí)，有.綜上，實(shí)數(shù)的范圍是.（2）存在使得等價(jià)于，其中.又.①當(dāng)，在上單調(diào)遞增，則，得此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，在在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則或，結(jié)合，可知此時(shí)不存在；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，結(jié)合，得此時(shí)不存在.綜上：實(shí)數(shù)的范圍是20．已知，且．(1)若，求的值；(2)求的最小值．【答案】(1)或2(2) 【分析】（1）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算得，解方程可得答案； （2）由得，解不等式得，根據(jù)可得答案.【詳解】（1）由題意，，即，解得或2．（2）因?yàn)?/span>，所以，所以，因此，即，解得或，因?yàn)?/span>，所以，故，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．21．已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示：(1)求函數(shù)的解析式，并寫出它是由的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)若存在使得關(guān)于的不等式成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1),向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度；(2). 【分析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式，再由函數(shù)圖象的平移求解即可；（2）假設(shè)存在，使得不等式成立，分離參數(shù)可轉(zhuǎn)化為存在使成立，求出的最小值即可得解.【詳解】（1）由所給函數(shù)圖象可知，，，即,所以，又圖象過點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，故.由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)，即的圖象.（2）存在，使得關(guān)于x的不等式成立，即存在，使得關(guān)于x的不等式成立，即存在，使得成立.當(dāng)時(shí)，，令時(shí)，為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值為，即的最小值為，故實(shí)數(shù)，所以的最小值為.22．已知函數(shù)(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若存在實(shí)數(shù)且，使得在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在區(qū)間上是減函數(shù)，詳見解析；(2)． 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義按步驟證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可將問題變轉(zhuǎn)化為在上有兩解的問題，采用換元法，利用一元二次方程在給定區(qū)間有解的條件解答即可.【詳解】（1）由題可得，在區(qū)間上是減函數(shù)，任取，且，則，則，由題設(shè)知，故，所以，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；（2）由（1）知在區(qū)間上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，所以，所以在上有兩解，所以在上有兩解，令，則，則關(guān)于的方程在上有兩解，即在上有2解，所以，解得，所以的取值范圍為． 

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