江蘇省蘇州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由交集、并集、補(bǔ)集的定義即可判斷.【詳解】解：因?yàn)榧?/span>，，，所以，，，，故選：C.2. 已知a，，那么“”是“”的（）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分必要條件的定義，可得結(jié)論．【詳解】，，由可推得，但，不可推得，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．3. 毛主席的詩句“坐地日行八萬里”描寫的是赤道上的人即使坐在地上不動(dòng)，也會(huì)因?yàn)榈厍蜃赞D(zhuǎn)而每天行八萬里路程．已知我國四個(gè)南極科考站之一的昆侖站距離地球南極點(diǎn)約，把南極附近的地球表面看作平面，則地球每自轉(zhuǎn)，昆侖站運(yùn)動(dòng)的路程約為（）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用弧長公式求解.【詳解】因昆侖站距離地球南極點(diǎn)約，地球每自轉(zhuǎn)，所以由弧長公式得：，故選：C4. 用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn),要求精確度為時(shí),所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由二分法中區(qū)間長度的變化，分析可得經(jīng)過次操作后，區(qū)間的長度為，據(jù)此可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：開區(qū)間的長度等于1 ,每經(jīng)過一次操作,區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/span>經(jīng)過此操作后,區(qū)間長度變?yōu)?/span>，用二分法求函數(shù)在區(qū)間上近似解,要求精確度為，，解得，故選：C.5. 若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為A.  B. 2 C.  D. 4【答案】C【解析】【詳解】，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為，故選C.考點(diǎn)：基本不等式【名師點(diǎn)睛】基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍．如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進(jìn)行求解． 6. 設(shè)函數(shù).若對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，則的最小值為A.  B.  C.  D. 1【答案】C【解析】【分析】利用已知條件推出函數(shù)的最大值，然后列出關(guān)系式求解即可．【詳解】解：函數(shù)f（x）=cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，可得： ，解得 ，則ω的最小值為：．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的最值的求法與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．7. 已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的a的取值范圍為（）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由條件知，，可得m＝1．再利用函數(shù)的單調(diào)性，分類討論可解不等式.【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，解得．又，故m＝1或2．當(dāng)m＝1時(shí)，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，滿足題意；當(dāng)m＝2時(shí)，的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，舍去，故m＝1．不等式化為，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故或或，解得或．故應(yīng)選：D．8. 定義:正割，余割.已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為（　?。?/span>A. 1 B. 4 C. 8 D. 9【答案】D【解析】【分析】利用已知條件先化簡，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化恒成立求最值問題【詳解】由已知可得，即.因?yàn)?/span>，所以，則
 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】求出的值，進(jìn)而利用二倍角的正弦求值判斷A；利用兩角和的余弦求值判斷B；利用二倍角的余弦求值判斷C；利用兩角和的正切求值判斷D.【詳解】.對(duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，可得.∴與的值相等的是ABD.故選：ABD.10. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間上的增函數(shù)有（）A.  B. C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，逐一進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】A．，定義域?yàn)?/span>，又．故函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)時(shí)，單遞增，故選項(xiàng)A正確；B．要使函數(shù)有意義，則有，定義域不關(guān)于對(duì)稱．故不為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．，對(duì)稱軸，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；D．，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故不為偶函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.11. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的有（）A. 的最小正周期為B. 是的最小值C. 在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>D. 把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】利用圖像過點(diǎn)，求得函數(shù)解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期判斷A；利用可判斷B；利用正弦型函數(shù)的值域可判斷C；利用圖像的平移可判斷D.【詳解】函數(shù)的圖像過點(diǎn)，可得，即，則，即，所以函數(shù)解析式為對(duì)于A，函數(shù)的周期，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)知，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖象，故D正確；故選：ABD12. 若，，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】先求得，然后結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算以及基本不等式判斷出正確答案.詳解】依題意，，所以，.，A正確.，B正確.，C錯(cuò)誤.，，,所以，D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若對(duì)任意a＞0且a≠1，函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在角θ的終邊上，則tanθ＝__.【答案】-2【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】令x＋1＝0，求得x＝－1，y＝2，可得函數(shù)（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P(－1,2)，所以點(diǎn)P在角θ的終邊上，則tanθ＝＝－2.故答案為：－2.14. 已知，則的值為______．【答案】【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式可得，，且，代入可得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、湊角的應(yīng)用，涉及到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是利用，轉(zhuǎn)化求值，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.15. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合奇、偶函數(shù)的性質(zhì)，列方程組求出和，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由為奇函數(shù)，得關(guān)于對(duì)稱，故，即，∵，∴，又∵，∴，即，由，解得，，∵，∴.故答案為：.16. 設(shè)函數(shù)，則_______；若方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_______．【答案】    ①.     ②. 或【解析】【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入x的值，可求得函數(shù)值；（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍.【詳解】（1），；（2）方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，即與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，畫出函數(shù)的圖象，由圖可知當(dāng)與只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或故答案為：；或.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的函數(shù)值，以及分段函數(shù)的圖象，由分段函數(shù)的圖象和方程的根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知集合，.（1）若，求；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使___________成立.從①，②，③中選擇一個(gè)填入橫線處求解.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）選，或
選，或；
選，.【解析】【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合A，根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合B，結(jié)合并集的概念和運(yùn)算即可得出結(jié)果；(1)根據(jù)(1)和補(bǔ)集的概念和運(yùn)算求出和，利用集合間的包含關(guān)系和交并補(bǔ)的運(yùn)算即可求出對(duì)應(yīng)條件的參數(shù).【小問1詳解】，，當(dāng)時(shí)，，所以；【小問2詳解】由(1)知，，，所以或，或，若選①，，則或，解得或，所以的取值范圍為或；若選②，，則或，解得或，所以的取值范圍為或；若選③，，則，解得，所以的取值范圍為.18. 已知二次函數(shù)（，，均為常數(shù)，），若和3是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且最大值為4.（1）求函數(shù)的解析式；（2）試確定一個(gè)區(qū)間，使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且不等式在區(qū)間上恒成立.【答案】（1）（2）可取（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，把不等式轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，求得不等式的解集為，結(jié)合題意，得到答案.小問1詳解】解：由函數(shù)，且和3是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，最大值為4，可得，解得，所以函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】解：由函數(shù)表示開口向下，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又由不等式在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又由不等式因?yàn)?/span>，結(jié)合不等式的解法，可得，即不等式的解集為，要使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且不等式在區(qū)間上恒成立，則滿足，可取區(qū)間.19. 已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由于，所以代值求解即可；（2）由求出的值，從而可求出的值，而，進(jìn)而可求得結(jié)果【詳解】（1）（2）因?yàn)?/span>為銳角，所以，，又，所以，，又，所以因?yàn)?/span>，所以.20. 設(shè)，為實(shí)數(shù)，已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的解析式；（2）用定義證明為上的增函數(shù)，并求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)為奇函數(shù)，可得，可得，又過點(diǎn)，代入，可求得a，b的值，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即可得答案.（2）利用定義法取值、作差、變形、定號(hào)，得結(jié)論，即可證明的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，代入數(shù)據(jù)，即可得值域.【小問1詳解】因?yàn)?/span>為上的奇函數(shù)，所以，即．又因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即．解得，故，當(dāng)時(shí)，，即為奇函數(shù)，故符合條件．【小問2詳解】任取，且，則．因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以．即，故為上的增函數(shù)．因?yàn)?/span>在上也遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上的值域?yàn)?/span>21. 為了研究某種微生物的生長規(guī)律，研究小組在實(shí)驗(yàn)室對(duì)該種微生物進(jìn)行培育實(shí)驗(yàn).前一天觀測得到該微生物的群落單位數(shù)量分別為8，14，26.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用y表示第天的群落單位數(shù)量，某研究員提出了兩種函數(shù)模型：①；②，其中且.（1）根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別求出這兩種函數(shù)模型的解析式；（2）若第4天和第5天觀測得到的群落單位數(shù)量分別為50和98，請(qǐng)從兩個(gè)函數(shù)模型中選出更合適的一個(gè)，并預(yù)計(jì)從第幾天開始該微生物的群落單位數(shù)量超過500.【答案】（1）函數(shù)模型①，函數(shù)模型②（2）函數(shù)模型②更合適，從第8天開始該微生物的群落單位數(shù)量超過500【解析】【分析】（1）可通過已知條件給到的數(shù)據(jù)，分別帶入函數(shù)模型①和函數(shù)模型②，列出方程組求解出參數(shù)即可完成求解；（2）將第4天和第5天得到的數(shù)據(jù)與第（1）問計(jì)算出的函數(shù)模型①和函數(shù)模型②的表達(dá)式計(jì)算出的第4天和第5天的模擬數(shù)據(jù)對(duì)比，即可做出判斷并計(jì)算.【小問1詳解】對(duì)于函數(shù)模型①：把及相應(yīng)y值代入得解得，所以.對(duì)于函數(shù)模型②：把及相應(yīng)y值代入得解得，所以.【小問2詳解】對(duì)于模型①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故模型①不符合觀測數(shù)據(jù)；對(duì)于模型②，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合觀測數(shù)據(jù)，所以函數(shù)模型②更合適.要使，則，即從第8天開始該微生物的群落單位數(shù)量超過500.22. 若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，，則稱函數(shù)為定義域上的“階局部奇函數(shù)”．（1）若函數(shù)，判斷是否為上“二階局部奇函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)是上的“一階局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒為上的“階局部奇函數(shù)”，求的取值集合．【答案】（1）是上的“二階局部奇函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，解方程，即可得出結(jié)論；（2）由可得出在上有解，再結(jié)合對(duì)數(shù)的真數(shù)恒為正數(shù)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由可得出在上有解，然后分和兩種情況討論，在時(shí)驗(yàn)證即可，在時(shí)可得出，綜合可解得實(shí)數(shù)的取值范圍，再由可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，，即，由，可得且，得，，．所以，是上的“二階局部奇函數(shù)”；（2）由題意得，，所以，，可得在時(shí)有解，當(dāng)時(shí)，，即；，，可得；，，可得.所以，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）由題意得，在上有解，可知有解，即有解，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，，，由，故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的新定義“階局部奇函數(shù)”，解本題的關(guān)鍵就是利用新定義將問題轉(zhuǎn)化為方程在對(duì)應(yīng)區(qū)間上有解的問題來處理，解決本題的第（2）問時(shí)要注意對(duì)數(shù)的真數(shù)在所給區(qū)間上恒成立，第（3）問在求解時(shí)要注意對(duì)變系數(shù)的二次方程的首項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合進(jìn)行求解.    
 

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