2021-2022學(xué)年上海市浦東中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（    ）A．必要非充分條件 B．充分非必要條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】B【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念分析可知.【詳解】由純虛數(shù)的概念可知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則且，故“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：B2．若則所在象限為A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)已知不等式可得，；根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)可確定角所處的象限.【詳解】由知：，    在第三象限故選：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.3．在中，已知為上的一點(diǎn)，且滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理即可求解；【詳解】因?yàn)?/span>，所以,所以.故選：C.4．如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為（    ）．A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】可根據(jù)圖象得出，然后將轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)棱長(zhǎng)為及即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可知，，則，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為，，所以，，即的不同值的個(gè)數(shù)為，故選：A 二、填空題5．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_______．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：6．已知扇形的圓心角大小為，半徑為2，則扇形的弧長(zhǎng)為___________.【答案】【分析】直接根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】 故答案為：7．已知向量，，且，則_____．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直與坐標(biāo)間關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得故答案為：8．已知復(fù)數(shù)滿足，則_____．【答案】3【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方以及復(fù)數(shù)相等的概念，可得方程組，求得，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，由可得 ，故 ，即得 或，故或，故或，即，故答案為：39．命題：若，則，則命題為_______（填寫：真命題或假命題）【答案】假命題【分析】根據(jù)向量和，兩種情況進(jìn)行判定，即可求解.【詳解】當(dāng)向量時(shí)，若，可得；當(dāng)向量時(shí)，若，則與不一定共線，所以命題為假命題.故答案為：假命題10．已知向量的夾角為，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義以及向量模的定義即可求出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>的夾角為，，，所以，因此，，故答案為：.11．已知，方向上的單位向量為，則向量在方向上的投影向量為_____．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可得解.【詳解】由已知得，故在上的投影向量為.故答案為：12．若關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根為（為虛數(shù)單位），則_____．【答案】【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得，從而求得.【詳解】依題意可知：關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根為，所以，，所以，即，所以.故答案為：13．在中，若，則的長(zhǎng)為_____．【答案】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理可得：，即，所以，即故答案為：.14．已知，，點(diǎn)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)即可求出P的坐標(biāo).【詳解】由題可知，設(shè)，則，，，∴，即故答案為：.15．函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，若將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)__．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求得和最小正周期，繼而求得 ，利用點(diǎn)帶入解析式求得，即得函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得答案.【詳解】由函數(shù)圖象可知， ，將代入函數(shù)解析式得，則，由于，所以，即，將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則，故答案為：16．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是__．（1）；（2）若一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則其實(shí)部不存在；（3）虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是純虛數(shù)；（4）設(shè)（為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，則向量的模長(zhǎng)為2；（5）若，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第四象限．【答案】1【分析】(1)利用虛數(shù)不能比較大小，可判斷正誤；(2)由純虛數(shù)實(shí)部為0可判斷正誤；(3)利用虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)除原點(diǎn)外都是純虛數(shù)，可判斷正誤；(4)化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求其模，再可判斷正誤；（5）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再判斷對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的象限.【詳解】當(dāng)復(fù)數(shù)不是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較大小，與為虛數(shù)，不能比較大小，故(1)錯(cuò)誤；若一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則其實(shí)部為0，并非不存在，故(2)錯(cuò)誤；虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)并非都是純虛數(shù)，虛軸上原點(diǎn)表示的數(shù)是實(shí)數(shù)，故(3)錯(cuò)誤；，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量的模長(zhǎng)為2，故（4）正確；若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1），在復(fù)平面內(nèi)的第一象限．故（5）錯(cuò)誤．正確的只有1個(gè).故答案為：1． 三、解答題17．平面內(nèi)給定兩個(gè)向量.(1)求；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用平面向量線性運(yùn)算法則與模的計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，所以.（2）解：因?yàn)?/span>，所以，若，則，解得：.18．已知復(fù)數(shù).(1)若是純虛數(shù)，求的值；(2)若是方程的一個(gè)根，求的實(shí)部.【答案】(1)；(2)8. 【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值；（2）求出方程的虛根，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可求得實(shí)數(shù)的值，可得出復(fù)數(shù)，即可求得復(fù)數(shù)的實(shí)部.【詳解】（1）解：由已知可得，解得.（2）解：由可得，解得，若，可得，解得 ；若，可得，無(wú)實(shí)數(shù)解.綜上所述，，則，所以，復(fù)數(shù)的實(shí)部為.19．已知復(fù)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使成立.(1)求證：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解；(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>,所以,消去得.（2）由得，所以.故的取值范圍為20．設(shè)，是兩個(gè)不共線的非零向量，.(1)記，那么當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，三點(diǎn)共線；(2)若且與夾角為，那么實(shí)數(shù)為何值時(shí)，的值最小?【答案】(1)(2) 【分析】(1)由三點(diǎn)共線，則滿足，建立關(guān)于的方程即可解決.(2)由題設(shè)條件，可以把表示為關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)求出取得最小值時(shí)的的值.【詳解】（1），，因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，所以，，則解得.（2）因?yàn)?/span>且與夾角為°，所以所以當(dāng)時(shí)，的值最小.21．已知，，（，）.(1)求關(guān)于的表達(dá)式，并求的最小正周期；(2)若當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若當(dāng)時(shí)，的最小值為7，求的值.【答案】(1)；(2)和，.(3) 【分析】(1)首先化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)公式求周期；(2)由（1）可知，令，解之，結(jié)合即可求解；(3)根據(jù)（1）可知先求的范圍，求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以，所以函數(shù)的最小正周期,（2）由（1）知：，令，解得：，又因?yàn)?/span>，所以和，，得到：和，，所以函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間為和，.（3）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為7，所以，則，所以的值為. 

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