?2021年山東省濱州市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本大題共12個小題，在每小題的四個選項中只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。每小題涂對得3分，滿分36分．
1. 在數(shù)軸上，點A表示-2．若從點A出發(fā)，沿數(shù)軸的正方向移動4個單位長度到達(dá)點B，則點B表示的數(shù)是（ ）
A. -6 B. -4 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點，可知從點A出發(fā)，沿數(shù)軸的正方向移動4個單位長度到達(dá)點B，則點B表示的數(shù)為-2+4，然后計算即可．
【詳解】解：由題意可得，
點B表示的數(shù)為-2+4=2，
故選：C．
【點睛】本題考查數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點，點向左平移表示的數(shù)值變小，向右平移表示的數(shù)值變大．
2. 在中，若，，，則點C到直線AB的距離為（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2.4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后作CD⊥AB于點D，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長，然后根據(jù)面積法，可以求得CD的長．
【詳解】解：作CD⊥AB于點D，如右圖所示，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵，
∴，
解得CD=2.4，
故選：D．
【點睛】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用勾股定理和面積法解答．
3. 下列計算中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)單項式加單項式和合并同類項的方法可以判斷A，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可以判斷B，根據(jù)單項式乘單項式可以判斷C，根據(jù)冪的乘方可以判斷D．
【詳解】解：2a+3a=5a，故選項A不符合題意；
a2?a3=a5，故選項B不符合題意；
2a?3a=6a2，故選項C符合題意；
（a2）3=a6，故選項D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、單項式乘單項式、積的乘方，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法，計算出正確的結(jié)果．
4. 如圖，在中，BE平分∠ABC交DC于點E．若，則∠DEB的大小為（ ）

A. 130° B. 125° C. 120° D. 115°
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到AD∥BC，DC∥AB，然后即可得到∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，再根據(jù)∠A=60°，BE平分∠ABC，即可得到∠DEB的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=60°，
∴∠DEB=120°，
故選：C．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．
5. 如圖所示的幾何體，是由幾個相同的小正方體組合而成的，其俯視圖為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題目中的立體圖形，可以直接作出它的俯視圖，從而可以解答本題．
【詳解】解：由圖可得，俯視圖為：

故選：B．
【點睛】本題考查簡單組合體的三視圖，解答本題的關(guān)鍵是畫出它的俯視圖．
6. 把不等式組中每個不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示出來，正確的為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解出不等式組中的每一個不等式的解集，然后即可寫出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出每一個不等式的解集即可．
【詳解】解：，
解不等式①，得：x＞-6，
解不等式②，得：x≤13，
故原不等式組解集是-6＜x≤13，
其解集在數(shù)軸上表示如下：

故選：B．
【點睛】本題考查解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示不等式組的解集，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式組的方法，會在數(shù)軸上表示不等式組的解集．
7. 下列一元二次方程中，無實數(shù)根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】計算出各個選項中的Δ的值，然后根據(jù)Δ＞0有兩個不等式的實數(shù)根，Δ=0有兩個相等實數(shù)根，Δ＜0無實數(shù)根判斷即可．
【詳解】解：在x2-2x-3=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，即該方程有兩個不等實數(shù)根，故選項A不符合題意；
在x2+3x+2=0中，Δ=b2-4ac=32-4×1×2=1＞0，即該方程有兩個不等實數(shù)根，故選項B不符合題意；
在x2-2x+1=0中，Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，即該方程有兩個相等實數(shù)根，故選項C不符合題意；
在x2+2x+3=0中，Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8＜0，即該方程無實數(shù)根，故選項D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是明確Δ＞0有兩個不等式的實數(shù)根，Δ=0有兩個相等實數(shù)根，Δ＜0無實數(shù)根．
8. 在四張反面無差別的卡片上，其正面分別印有線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊形．現(xiàn)將四張卡片的正面朝下放置，混合均勻后從中隨機(jī)抽取兩張，則抽到的卡片正面圖形都是軸對稱圖形的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判斷各圖形是否是軸對稱圖形，再根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．
【詳解】解：∵線段是軸對稱圖形，等邊三角形是軸對稱圖形，平行四邊形不是軸對稱圖形，正六邊形是軸對稱圖形，
分別用A、B、C、D表示線段、等邊三角形、平行四邊形和正六邊形，

∴隨機(jī)抽取兩張，則抽到的卡片正面圖形都是軸對稱圖形的概率為=，
故選：A．
【點睛】本題考查概率公式、軸對稱圖形，解答本題的關(guān)鍵是寫出題目中的圖形是否為軸對稱圖形，明確兩張都是軸對稱圖形是同時發(fā)生的．
9. 如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．
【詳解】解：連接AD，如右圖所示，

∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cos∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值為，
故選：A．
【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
10. 對于二次函數(shù)，有以下結(jié)論：①當(dāng)時，y隨x的增大而增大；②當(dāng)時，y有最小值3；③圖象與x軸有兩個交點；④圖象是由拋物線向左平移6個單位長度，再向上平移3個單位長度得到的．其中結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】將題目中的函數(shù)解析式化為頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，
∴該函數(shù)的對稱軸為直線x=6，函數(shù)圖象開口向上，
當(dāng)5＜x＜6時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞6時，y隨x的增大而增大，故①不符合題意；
當(dāng)x=6時，y有最小值3，故②符合題意；
當(dāng)y=0時，無實數(shù)根，即圖象與x軸無交點，故③不符合題意；
圖象是由拋物線向右平移6個單位長度，再向上平移3個單位長度得到的，故④不符合題意；
故正確的是②，正確的個數(shù)是1，
故選：A．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與幾何變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
11. 如圖，在中，，點C為邊AB上一點，且．如果函數(shù)的圖象經(jīng)過點B和點C，那么用下列坐標(biāo)表示的點，在直線BC上的是（ ）

A. （-2019，674） B. （-2020，675）
C. （2021，-669） D. （2022，-670）
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點坐標(biāo)特征，求出B、C點的坐標(biāo)，再寫出BC解析式，再判斷點在BC上．
【詳解】解：作，，

，
，
設(shè)，
，
或（舍去），
，
，
．
，
，，
，

，
，
，
圖象經(jīng)過點，
，
，

設(shè)的解析式為，
，
解得，
，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的性質(zhì)，能求出的解析式是解題的關(guān)鍵．
12. 在銳角中，分別以AB和AC為斜邊向的外側(cè)作等腰和等腰，點D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，連接MD、MF、FE、FN．根據(jù)題意小明同學(xué)畫出草圖（如圖所示），并得出下列結(jié)論：①，②，③，④，其中結(jié)論正確的個數(shù)為（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理判斷結(jié)論①，連接DF，EN，通過SAS定理證明△MDF≌△FEN判斷結(jié)論②，利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)判斷結(jié)論③，利用相似三角形的判定和性質(zhì)判定結(jié)論④．
【詳解】解：∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，且△ABM是等腰直角三角形，
∴DM=AB，EF=AB，EF∥AB，∠MDB=90°，
∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故結(jié)論①正確；
連接DF，EN，

∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，且△ACN是等腰直角三角形，
∴EN=AC，DF=AC，DF∥AC，∠NEC=90°，
∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC，
∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC，
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
，
∴△MDF≌△FEN（SAS），
∴∠DMF=∠EFN，故結(jié)論②正確；
∵EF∥AB，DF∥AC，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∴∠DFE=∠BAC，
?又∵△MDF≌△FEN，
∴∠DFM=∠ENF，
∴∠EFN+∠DFM
=∠EFN+∠ENF
=180°-∠FEN
=180°-（∠FEC+∠NEC）
=180°-（∠BAC+90°）
=90°-∠BAC，
∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°，
∴MF⊥FN，故結(jié)論③正確；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴，
∴S△CEF=S四邊形ABFE，故結(jié)論④錯誤，
∴正確的結(jié)論為①②③，共3個，
故選：B．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，題目難度適中，有一定的綜合性，適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，滿分24分．
13. 使得代數(shù)式有意義的x的取值范圍是_____．
【答案】x＞3
【解析】
【分析】二次根式中被開方數(shù)的取值范圍：二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范圍是x＞3，
故答案為x＞3．
【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．
14. 如圖，在中，點D是邊BC上的一點．若，，則∠C的大小為____________．

【答案】34°
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，可以先計算出∠ADB的度數(shù)，然后再根據(jù)AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC，即可得到∠C的度數(shù)．
【詳解】解：∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠BAD=44°，
∴∠ADB==68°，
∵AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC，
∴∠C=∠DAC=∠ADB=34°，
故答案為：34°．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．
15. 計算：________________________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根、零指數(shù)冪、絕對值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪可以解答本題．
【詳解】解：
=
=
=
=
故答案為：．
【點睛】本題考查算術(shù)平方根、立方根、零指數(shù)冪、絕對值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解答本題關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法．
16. 某芭蕾舞團(tuán)新進(jìn)一批女演員，她們的身高及其對應(yīng)人數(shù)情況如表所示：
身高（cm）
163
164
165
166
168
人數(shù)
1
2
3
1
1
那么，這批女演員身高的方差為____________．
【答案】2cm2
【解析】
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以先求出平均數(shù)，然后根據(jù)方差的計算方法代入數(shù)據(jù)計算即可．
【詳解】解：，
，
故答案為：2cm2．
【點睛】本題考查方差，解答本題的關(guān)鍵是求出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，明確方差的計算方法．
17. 若點、、都在反比例函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象上，則、、的大小關(guān)系為____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)和，可以得到反比例函數(shù)的圖象所在的象限和在每個象限內(nèi)的增減性，然后即可判斷、、的大小關(guān)系．
【詳解】解：反比例函數(shù)為常數(shù)），，
該函數(shù)圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)隨的增大而減小，
點、，、都在反比例函數(shù)為常數(shù)）的圖象上，，點、在第三象限，點在第一象限，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)的性質(zhì)，會用反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)值的大小關(guān)系，注意第三象限內(nèi)點的縱坐標(biāo)始終小于第一象限內(nèi)點的縱坐標(biāo)．
18. 如圖，在中，，，．若點P是內(nèi)一點，則的最小值為____________．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，首先以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．
【詳解】解：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，，如圖所示，

則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，
∴△APP′是等邊三角形，
∴AP=PP′，
∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，
∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cos∠BAC=2×cos30°=，
∴CB′=，
故答案為：．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想．
三、解答題：本大題共6個小題，滿分60分．解答時請寫出必要的演推過程．
19. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】先將括號內(nèi)的式子通分，然后將括號外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可．
【詳解】解：





．
【點睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確異分母分式減法和分式除法的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．
20. 某商品原來每件的售價為60元，經(jīng)過兩次降價后每件的售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同．
（1）求該商品每次降價的百分率；
（2）若該商品每件的進(jìn)價為40元，計劃通過以上兩次降價的方式，將庫存的該商品20件全部售出，并且確保兩次降價銷售的總利潤不少于200元，那么第一次降價至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價？
【答案】（1）10%；（2）6件
【解析】
【分析】（1）根據(jù)某商品原來每件的售價為60元，經(jīng)過兩次降價后每件的售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同，可設(shè)每次降價的百分率為x，從而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；
（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以列出相應(yīng)的不等式，然后即可求得第一次降價出售的件數(shù)的取值范圍，再根據(jù)件數(shù)為整數(shù)，即可得到第一次降價至少售出多少件后，方可進(jìn)行第二次降價．
【詳解】解：（1）設(shè)該商品每次降價的百分率為x，
60（1-x）2=48.6，
解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），
答：該商品每次降價的百分率是10%；
（2）設(shè)第一次降價售出a件，則第二次降價售出（20-a）件，
由題意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，
解得a≥，
∵a為整數(shù)，
∴a的最小值是6，
答：第一次降價至少售出6件后，方可進(jìn)行第二次降價．
【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程和不等式，第一問是典型的的下降率問題，是中考?？碱}型．
21. 如圖，矩形ABCD對角線AC、BD相交于點O，，．
（1）求證：四邊形AOBE是菱形；
（2）若，，求菱形AOBE的面積．

【答案】（1）證明過程見解答；（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)BE∥AC，AE∥BD，可以得到四邊形AOBE是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到OA=OB，由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；
（2）根據(jù)∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE邊OA上的高，然后根據(jù)菱形的面積=底×高，代入數(shù)據(jù)計算即可．
【詳解】解：（1）證明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AOBE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB，
∴四邊形AOBE是菱形；
（2）解：作BF⊥OA于點F，

∵四邊形ABCD是矩形，AC=4，
∴AC=BD=4，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB=60°，
∴BF=OB?sin∠AOB=，
∴菱形AOBE的面積是：OA?BF==．
【點睛】本題考查菱形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確菱形的判定方法，知道菱形的面積=底×高或者是對角線乘積的一半．
22. 甲、乙兩車沿同一條筆直的道路勻速同向行駛，車速分別為20米/秒和25米/秒．現(xiàn)甲車在乙車前500米處，設(shè)x秒后兩車相距y米，根據(jù)要求解答以下問題：
（1）當(dāng)（秒）時，兩車相距多少米？當(dāng)（秒）時呢？
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在給出的平面直角坐標(biāo)系中，請直接畫出（2）中所求函數(shù)的圖象．

【答案】（1）當(dāng)x=50（秒）時，兩車相距250米，當(dāng)x=150（秒）時，兩車相距250米；（2）；（3）見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，可以先計算出兩車相遇需要的時間，然后即可計算出當(dāng)x=50和x=150時，兩車的距離；
（2）先計算出兩車相遇需要的時間，然后根據(jù)x的取值范圍不同，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)解析式和兩點確定一次函數(shù)的圖象的方法，可以畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象．
【詳解】解：（1）∵500÷（25-20）=500÷5=100（秒），
∴當(dāng)x=50時，兩車相距：20×50+500-25×50=1000+500-1250=250（米），
當(dāng)x=150時，兩車相距：25×150-（20×150+500）=3750-（3000+500）=3750-3500=250（米），
答：當(dāng)x=50（秒）時，兩車相距250米，當(dāng)x=150（秒）時，兩車相距250米；
（2）由題意可得，乙車追上甲車用的時間為：500÷（25-20）=500÷5=100（秒），
∴當(dāng)0≤x≤100時，y=20x+500-25x=-5x+500，
當(dāng)x＞100時，y=25x-（20x+500）=25x-20x-500=5x-500，
由上可得，y與x的函數(shù)關(guān)系式是；
（3）在函數(shù)y=-5x+500中，當(dāng)x=0時，y=-5×0+500=500，當(dāng)x=100時，y=-5×100+500=0，
即函數(shù)y=-5x+500的圖象過點（0，500），（100，0）；
在函數(shù)y=5x-500中，當(dāng)x=150時，y=250，當(dāng)x=200時，y=500，
即函數(shù)y=5x-500的圖象過點（150，250），（200，500），
畫出（2）中所求函數(shù)的圖象如圖所示．

【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
23. 如圖，在中，AB為的直徑，直線DE與相切于點D，割線于點E且交于點F，連接DF．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）求證：．

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）連接OD，然后根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可以得到∠ODA=∠DAC，再根據(jù)OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，從而可以得到∠DAC=∠OAD，結(jié)論得證；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以得到DB?DF=EF?AB，再根據(jù)等弧所對的弦相等，即可證明結(jié)論成立．
【詳解】解：（1）證明：連接OD，如圖所示，

∵直線DE與⊙O相切于點D，AC⊥DE，
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAC=∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）證明：連接OF，BD，如圖所示，

∵AC⊥DE，垂足為E，AB是⊙O的直徑，
∴∠DEF=∠ADB=90°，
∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°，
∴∠EFD=∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，
∴，
∴DB?DF=EF?AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠DAB，
∴DF=DB，
∴DF2=EF?AB．
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
24. 如下列圖形所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一個三角板的直角頂點與原點O重合，在其繞原點O旋轉(zhuǎn)的過程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線相交于點A、B（點A在點B的左側(cè)）．
（1）如圖1，若點A、B的橫坐標(biāo)分別為-3、，求線段AB中點P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若點B的橫坐標(biāo)為4，求線段AB中點P的坐標(biāo)；
（3）如圖3，若線段AB中點P的坐標(biāo)為，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（4）若線段AB中點P的縱坐標(biāo)為6，求線段AB的長．

【答案】（1）（，）；（2）（，）；（3）y=x2+2；（4）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點、的橫坐標(biāo)分別為、，可以先求的點和的坐標(biāo)，平行線分線段成比例定理可以得到，然后即可得到點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點的橫坐標(biāo)為4，可以求得點的坐標(biāo)，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可以求得點的坐標(biāo)，再根據(jù)（1）求中點坐標(biāo)的方法可以求得點的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可以求得點和點的坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系，從而可以得到與的關(guān)系；
（4）將代入（3）中的函數(shù)關(guān)系式，可以求得點的橫坐標(biāo)的平方，然后根據(jù)勾股定理可以得到的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到線段的長．
【詳解】解：（1）點、在拋物線上，點、的橫坐標(biāo)分別為、，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
即點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，
作軸于點，作軸于點，作軸于點，如圖1所示，

則，
點為線段的中點，
，
由平行線分線段成比例，可得，
設(shè)點的坐標(biāo)為，
則，
，
同理可得，，
點的坐標(biāo)為，；
（2）點在拋物線上，點的橫坐標(biāo)為4，
點的縱坐標(biāo)為：，
點的坐標(biāo)為，
，，
作軸于點，作軸于點，如圖2所示，

，，，
，，，
，
，
，
設(shè)點坐標(biāo)為，
，，
，
解得（舍去），，
點的坐標(biāo)為，
中點的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)為，
線段中點的坐標(biāo)為，；
（3）作軸于點，作軸于點，如圖3所示，

由（2）知，，
，
設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
，
解得，，
點是線段的中點，
，，
，
，
即關(guān)于的函數(shù)解析式是；
（4）當(dāng)時，，
，
，是直角三角形，點時斜邊的中點，
，
即線段的長是．
【點睛】本題是一道二次函數(shù)綜合題目．主要考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．





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