?專題 平行線中的幾何綜合

【典例1】將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．

（1）若三角板如圖1擺放時(shí)，則∠α=　　 °，∠β=　　 °．
（2）現(xiàn)固定△ABC位置不變，將△DEF沿AC方向平移至點(diǎn)E正好落在PQ上，如圖2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分線交于點(diǎn)H，求∠EHB的度數(shù)；
（3）將（2）中的△DEF固定，在△ABC繞點(diǎn)A以每秒15°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB與直線AN首次重合的過(guò)程中，當(dāng)△ABC的某條邊與△DEF的一條邊平行時(shí)，請(qǐng)求出符合條件t的值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）如圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EJ∥PQ，證明∠DEF=α+∠BAC，可得結(jié)論；
（2）如圖2中，根據(jù)（1）可證∠EHB=∠PEH+∠MBH ．利用角平分線的定義求出∠PEH，∠MBH，可得結(jié)論；
（3）分9種情形∶當(dāng)AC∥DF時(shí)，當(dāng)AC∥DE時(shí)，當(dāng)AC∥EF時(shí)，當(dāng)BC∥DF時(shí)，當(dāng)BC∥ED時(shí)，當(dāng)BC∥EF時(shí)，當(dāng)AB∥DF時(shí)，當(dāng)AB∥ED時(shí)，當(dāng)AB∥EF時(shí)，分別討論求出∠MBA的度數(shù)，可得結(jié)論．
【解題過(guò)程】
（1）解∶如圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EJ∥PQ，

∵PQ∥MN， PQ∥EJ，
∴EJ∥MN，
∴∠α=∠DEJ，∠JEA=∠BAC=45°，
∴∠DEF=α+∠BAC，
∵∠DEF=60°，
∴α=60°?45°=15°，
∵∠DFE=30°，β+∠DFE=180°，
∴β=180°?30°=150°，
故答案為∶ 45， 150 ；
（2）解：如圖2中，

利用（1）可證∠EHB=∠PEH+∠MBH ．
∵PQ∥MN，
∴∠QEA=∠BAC=45° ，
∴∠AEP=180°-45°=135°，
∵∠CBA=45°，
∴∠CBM=180°-45°= 135*，
∵HE， HB分別平分∠AEP，∠CBM，
∴∠PEH=12∠PEA=67.5°，∠MBH=12∠FBM=67.5°，
∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°；
（3）解：①當(dāng)AC∥DF時(shí)，如圖1，

易得此時(shí)BC∥ED ，
∵AC∥DF，易知E，F(xiàn)，A三點(diǎn)共線，∠DFE= ∠FAC=30°，
∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°= 15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2；
②當(dāng)AC∥DE時(shí)，如圖2，

易得此時(shí)BC∥DF．過(guò)點(diǎn)A作AH∥BC，則AH∥ BC∥DF，
∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°，
∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°．
∴15t=120，
∴t=8，
③當(dāng)AC∥EF時(shí)，情況不存在；④當(dāng)BC∥DF時(shí)，同②；⑤當(dāng)BC∥ED時(shí)，同①；
⑥當(dāng)BC∥EF時(shí)，如圖3，

此∠MAB=90°，即15t= 90，解得t=6；
⑦當(dāng)AB∥DF時(shí)，如圖4，

∵AB∥DF
∴∠BAF=∠DFE=30°，
∴∠MAB=∠MAF+∠BAF= 45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5；
⑧當(dāng)AB∥ED時(shí)，

∵AB∥ED，
∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°，
∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°，
∴15t=165，
解得t=11；
⑨當(dāng)AB∥EF時(shí)，此情況不存在．
綜上所述，t的值為2或5或6或8或11．






1．（2022春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）直線AB∥CE，BE—EC是一條折線段，BP平分∠ABE．

（1）如圖1，若BP∥CE，求證：∠BEC+∠DCE=180°；
（2）CQ平分∠DCE，直線BP，CQ交于點(diǎn)F．
①如圖2，寫(xiě)出∠BEC和∠BFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②當(dāng)點(diǎn)E在直線AB，CD之間時(shí)，若∠BEC=40°，直接寫(xiě)出∠BFC的大?。?br />















2．（2022春·河南安陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）猜想說(shuō)理：
（1）如圖，AB∥CD∥EF，分別就圖1、圖2、圖3寫(xiě)出∠A，∠C，∠AFC的關(guān)系，并任選其中一個(gè)圖形說(shuō)明理由：

拓展應(yīng)用：
（2）如圖4，若AB∥CD，則∠A+∠C+∠AFC= 度；
（3）在圖5中，若A1B∥AnD，請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n的度數(shù)．













3．（2022春·四川廣元·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線l1∥l2，直線l3和l1，l2分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在直線l1，l2上，且位于直線l3的右側(cè)，動(dòng)點(diǎn)P在直線l3上，且不和點(diǎn)C，D重合．

（1）如圖1，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：∠APB=∠CAP+∠DBP．
（2）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)C上方運(yùn)動(dòng)時(shí)（P，A，B不在同一直線上），請(qǐng)寫(xiě)出∠APB，∠CAP，∠DBP之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)D下方運(yùn)動(dòng)時(shí)（P，A，B不在同一直線上），直接寫(xiě)出∠APB，∠CAP，∠DBP之間的數(shù)量關(guān)系．















4．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)期末）已知：如圖，AB∥CD，BG、FG 分別是∠AEF和∠CFE的角平分線，BG、FG交于點(diǎn)G．

（1）求證：∠BGF＝90°；
（2）點(diǎn)M是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接MG，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥MG，交直線CD于點(diǎn)N，畫(huà)出圖形直線，寫(xiě)出∠MGE和∠NGF的數(shù)量關(guān)系 ；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠MGE＝20°，∠AEG＝40°時(shí)，求∠CNG的度數(shù)．


















5．（2022春·重慶永川·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，AB∥CD．
（1）如圖1，猜想并寫(xiě)出∠B、∠D、∠E之間的數(shù)量關(guān)系．以下圖2、圖3、圖4是三種不同角度思考采用的不同添加輔助線的方式，請(qǐng)你選擇其中的兩種方式說(shuō)明理由．

（2）在圖4中，如果BE、DE分別平分∠ABD，∠CDB，則∠E的度數(shù)是多少？（直接寫(xiě)出答案）
（3）根據(jù)以上推理，直接寫(xiě)出圖5、圖6、圖7中的∠B、∠D、∠E之間的數(shù)量關(guān)系．


















6．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直線AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)G、H，∠EHD=α(0°

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