2023年中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)·易錯(cuò)點(diǎn)·題型訓(xùn)練·壓軸題組）第04講 幾何初步、相交線、平行線

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第04講  幾何初步、相交線、平行線易錯(cuò)點(diǎn)梳理 易錯(cuò)點(diǎn)01  對(duì)幾何體的分類不明確而出錯(cuò)圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)的是立體圖形，圖形的各部分都在同一平面內(nèi)的是平面圖形。易錯(cuò)點(diǎn)02  射線的表示易忽視字母的順序用兩個(gè)大寫字母表示射線時(shí)，應(yīng)把表示端點(diǎn)的字母寫在前面。易錯(cuò)點(diǎn)03  尺規(guī)作圖忘記保留作圖痕跡尺規(guī)作圖時(shí)，要保留作圖痕跡，并且寫出作圖結(jié)論。易錯(cuò)點(diǎn)04  度分秒的計(jì)算混淆十進(jìn)制和六十進(jìn)制在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要滿60進(jìn)1。易錯(cuò)點(diǎn)05  混淆平行線的判定與性質(zhì)性質(zhì)是由平行線得到相關(guān)角的關(guān)系，判定是由相關(guān)角的關(guān)系得到平行線。易錯(cuò)點(diǎn)06  對(duì)平移的概念理解錯(cuò)誤在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，經(jīng)過平移后的圖形與原來的圖形相比只是位置發(fā)生了變化，其余什么都沒有改變。 考向01  幾何圖形的展開圖例題1：（2021·廣西百色·中考真題）下列展開圖中，不是正方體展開圖的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【思路分析】根據(jù)正方體的展開圖特征解題．【解析】解：A.是正方體的展開圖，故A不符合題意；B.是正方體的展開圖，故B不符合題意；C.是正方體的展開圖，故C不符合題意；D.不是正方體的展開圖，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查正方體的展開圖，熟知正方體的11種展開圖是解題關(guān)鍵．例題2：（2021·遼寧大連·中考真題）某幾何體的展開圖如圖所示，該幾何體是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】D【思路分析】根據(jù)幾何體的展開圖可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【解析】解：由該幾何體的展開圖可知該幾何體是圓錐；故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查幾何體的展開圖，熟練掌握簡(jiǎn)單幾何體的展開圖是解題的關(guān)鍵．考向02  平面圖形的認(rèn)識(shí)例題3：（2021·山東棗莊·中考真題）小明有一個(gè)呈等腰三角形的積木盒，現(xiàn)在積木盒中只剩下如圖的九個(gè)空格，下面有四種積木的搭配，其中不能放入的有（    ）
 A．搭配① B．搭配② C．搭配③ D．搭配④【答案】D【思路分析】將每個(gè)搭配的兩組積木進(jìn)行組合，檢驗(yàn)是否可得出圖中剩下的九個(gè)空格的形狀，由此即可得出答案．【解析】解：搭配①、②、③兩組積木組合在一起，均可組合成圖中剩下的九個(gè)空格的形狀，只有搭配④不能，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了圖形的剪拼，解題關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力以及組合意識(shí)．例題4：（2021·四川樂山·中考真題）七巧板起源于我國(guó)先秦時(shí)期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板，如圖1所示．19世紀(jì)傳到國(guó)外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國(guó)的拼圖”），圖2是由邊長(zhǎng)為4的正方形分割制作的七巧板拼擺成的“葉問蹬”圖．則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為（ ）A．3 B． C．2 D．【答案】A【思路分析】根據(jù)由邊長(zhǎng)為4的正方形分割制作的七巧板，可得共5種圖形，然后根據(jù)陰影部分的構(gòu)成圖形，計(jì)算陰影部分面積即可．【解析】解：如下圖所示，由邊長(zhǎng)為4的正方形分割制作的七巧板，共有以下幾種圖形：①腰長(zhǎng)是的等腰直角三角形，②腰長(zhǎng)是的等腰直角三角形，③腰長(zhǎng)是的等腰直角三角形，④邊長(zhǎng)是的正方形，⑤邊長(zhǎng)分別是2和，頂角分別是和的平行四邊形，根據(jù)圖2可知，圖中抬起的“腿”（即陰影部分）是由一個(gè)腰長(zhǎng)是的等腰直角三角形，和一個(gè)邊長(zhǎng)分別是2和，頂角分別是和 的平行四邊形組成，如下圖示，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，頂角分別是和的平行四邊形的高是，且 ，∴一個(gè)腰長(zhǎng)是的等腰直角三角形的面積是：，頂角分別是和的平行四邊形的面積是：，∴陰影部分的面積為：，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了七巧板中的圖形的構(gòu)成和面積計(jì)算，熟悉七巧板中圖形的分類是解題的關(guān)鍵．考向03  直線、射線、線段例題5：（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）已知線段，在直線AB上作線段BC，使得．若D是線段AC的中點(diǎn)，則線段AD的長(zhǎng)為（   ）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3【答案】C【思路分析】先分C在AB上和C在AB的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別畫出圖形，然后運(yùn)用中點(diǎn)的定義和線段的和差進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：如圖：當(dāng)C在AB上時(shí)，AC=AB-BC=2,∴AD=AC=1如圖：當(dāng)C在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AC=AB+BC=6,∴AD=AC=3故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了線段的和差、中點(diǎn)的定義以及分類討論思想，靈活運(yùn)用分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．例題6：（2021·浙江臺(tái)州·中考真題）小光準(zhǔn)備從A地去往B地，打開導(dǎo)航、顯示兩地距離為37.7km，但導(dǎo)航提供的三條可選路線長(zhǎng)卻分別為45km，50km，51km（如圖）．能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（   ）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．兩點(diǎn)確定一條直線【答案】A【思路分析】根據(jù)線段的性質(zhì)即可求解．【解析】解：兩地距離顯示的是兩點(diǎn)之間的線段，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以導(dǎo)航的實(shí)際可選路線都比兩地距離要長(zhǎng)，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查線段的性質(zhì)，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．考向04  角例題7：（2021·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，，，平分，則的度數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【思路分析】由題意易得，然后根據(jù)角平分線的定義可得，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解．【解析】解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴；故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．例題8：（2021·廣西百色·中考真題）已知∠α＝25°30′，則它的余角為（    ）A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′【答案】B【思路分析】根據(jù)互為余角相加等于以及度分秒的進(jìn)率計(jì)算即可．【解析】解：∵∠α＝25°30′，∴它的余角為，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查余角的性質(zhì)以及度分秒的計(jì)算，熟知度分秒的進(jìn)率為60是解題的關(guān)鍵．考向05  相交線及其形成的角例題9：（2021·廣西桂林·中考真題）如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1＝110°，則∠2的度數(shù)是（　?。?/span>A．70° B．90° C．110° D．130°【答案】C【思路分析】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)即可求解．【解析】∵直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1＝110°，∴∠2=∠1＝110°，故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查角度的求解，解題的關(guān)鍵是熟知對(duì)頂角的性質(zhì)．例題10：（2021·廣西賀州·中考真題）如圖，下列兩個(gè)角是同旁內(nèi)角的是（    ）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】B【思路分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的概念求解即可．【解析】解：由圖可知，∠1與∠3是同旁內(nèi)角，∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，∠4與∠2是同位角，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了同旁內(nèi)角的概念，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握同位角，同旁內(nèi)角，內(nèi)錯(cuò)角的概念是解決本題的關(guān)鍵．考向06  平行線的判定與性質(zhì)例題11：（2021·遼寧錦州·中考真題）如圖，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，則∠CBN的度數(shù)是（    ）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【思路分析】過C點(diǎn)作CF∥AM，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【解析】解：過C點(diǎn)作CF∥AM，∵AM∥BN，∴AM∥CF∥BN，∴∠MAC＝∠ACF，∠CBN＝∠FCB，∵∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，∴∠CBN＝∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝∠ACB﹣∠MAC＝90°﹣35°＝55°，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意構(gòu)造平行線，并熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例題12：（2021·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，，，，則的度數(shù)為（   ）A． B． C． D．【答案】C【思路分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)果．【解析】解：如圖，，，，，，．故選：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及三角的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．考向07  命題與證明例題13：（2021·山東日照·中考真題）下列命題：①的算術(shù)平方根是2；②菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；②天氣預(yù)報(bào)說明天的降水概率是，則明天一定會(huì)下雨；④若一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都等于，則它是正五邊形，其中真命題的個(gè)數(shù)是（　?。?/span>A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【思路分析】利用算術(shù)平方根的定義、菱形的對(duì)稱性、概率的意義及多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解析】解：①的算術(shù)平方根是，故原命題錯(cuò)誤，是假命題；②菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，正確，是真命題；②天氣預(yù)報(bào)說明天的降水概率是，則明天下雨可能性很大，但不確定是否一定下雨，故原命題錯(cuò)誤，是假命題；④若一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都等于，各邊也相等，則它是正五邊形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題；真命題有1個(gè)，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解算術(shù)平方根的定義、菱形的對(duì)稱性、概率的意義及多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，難度不大．例題14：（2021·廣東廣州·中考真題）下列命題中，為真命題的是（    ）（1）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形（2）對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形（4）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）【答案】B【思路分析】正確的命題叫真命題，根據(jù)定義解答．【解析】解：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故（1）是真命題；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故（2）不是真命題；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故（3）不是真命題；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故（4）是真命題；故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查真命題的定義，熟記定義并正確掌握平行四邊形、菱形、矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2021·陜西·交大附中分校模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)幾何體的表面展開圖，這個(gè)幾何體是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解：由平面圖形的折疊及三棱柱的展開圖的特征可知，這個(gè)幾何體是三棱柱．故選：C．2．（2021·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)二模）如圖，在某監(jiān)測(cè)點(diǎn)B處望見一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西15°方向的A處，若漁船沿北偏西75°方向以60海里/小時(shí)的速度航行，航行半小時(shí)后到達(dá)C處，在C處觀測(cè)到B在C的北偏東60°方向上，則B、C之間的距離為（　?。?/span>A．30海里 B．海里 C．20海里 D．海里【答案】D【分析】解：如圖：由題意得，AC＝60×0.5＝30海里，
∵CD∥BF，
∴∠CBF＝∠DCB＝60°，又∠ABF＝15°，
∴∠ABC＝45°，
∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠FBA＝15°，又∠EAC＝75°，
∴∠CAB＝90°，∴，∴BC＝AC＝30海里，故選：D．3．（2021·浙江·杭州市豐潭中學(xué)二模）如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1＝65°，則∠2的度數(shù)為（　?。?/span>A．65° B．35° C．15° D．25°【答案】D【分析】解：如圖，∵直尺的兩邊互相平行，∠1＝65°，∴∠3＝∠1＝65°，又∵∠3與∠2互余，∴∠2＝90°﹣65°＝25°．故選：D．4．（2021·河北·三模）如圖，將一副三角板按不同位置擺放，其中α和β互為補(bǔ)角的是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】D【分析】解：A、∠α與∠β相等，不互補(bǔ)，故本選項(xiàng)不合題意；B、∠α與∠β互余，故本選項(xiàng)不合題意；C、∠α與∠β相等，不互補(bǔ)，故本選項(xiàng)不合題意；D、∠α和∠β互補(bǔ)，故本選項(xiàng)符合題意，故選：D．5．（2021·廣西玉林·一模）已知：∠，則∠的余角是（   ）A．39° B．49° C．59° D．139°【答案】B【分析】：根據(jù)余角的概念，這個(gè)角的余角為：90°-41°=49°．故選：B．6．（2021·安徽·合肥市五十中學(xué)東校三模）如圖，a∥b，∠ABD的平分線交直線a于點(diǎn)C，CE⊥直線c于點(diǎn)E，∠1＝24°，則∠2的大小為（    ）A．114° B．142° C．147° D．156°【答案】C【分析】∵CE⊥直線c于點(diǎn)E，∠1＝24°，∴，∵a∥b，∴，又∵BC平分∠ABD，∴，∴；故答案選C．7．（2021·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)二模）如圖，直線，將含有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)C放在直線b上，若，則的度數(shù)是（　?。?/span>A．25° B．20 C．35 D．30【答案】A【分析】解：過作直線，直線，∴，，，，，故選：A．8．（2021·河北競(jìng)秀·一模）在一張透明的紙上畫一條直線l，在l外任取一點(diǎn)Q，并折出過點(diǎn)Q且與l垂直的直線．這樣的直線能折出（    ）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【分析】解：根據(jù)垂線的性質(zhì)，這樣的直線只能作一條，故選：B．9．（2021·內(nèi)蒙古·呼和浩特市回民區(qū)教育局教科研室二模）下列說法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（       ）①永不相交的兩條直線叫做平行線②13名同學(xué)中至少有兩名同學(xué)的出生月份相同是必然事件③周長(zhǎng)相等的所有的等腰直角三角形全等④每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形⑤平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的?。?/span>A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線，故①錯(cuò)誤；②13名同學(xué)中至少有兩名同學(xué)的出生月份相同是必然事件，故②正確；③所有的等腰直角三角形角度都相等，周長(zhǎng)相等則邊長(zhǎng)相等，所以全等，故③正確；④各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形，故④錯(cuò)誤；⑤平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧，故⑤錯(cuò)誤；∴錯(cuò)誤個(gè)數(shù)是3個(gè)；故選C．10．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)楊汛橋鎮(zhèn)中學(xué)二模）如圖，銳角△ABC中，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，有如下兩個(gè)命題：①如果DE//BC，那么DE＝BC；②如果DE＝BC，那么DE//BC．下列判斷正確的是（    ）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①②都是真命題 D．①②都是假命題【答案】A【分析】解：∵DE//BC，且點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴故①是真命題；如圖：當(dāng)E恰好是AC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，∵△ABC是銳角三角形，∴由三角形中位線定理可知三角形ADE也必定是銳角三角形，∴DE＞DF，∴在AF上還可以找到一點(diǎn)P，使得，即E在P點(diǎn)位置時(shí)滿足，但是DE與BC不平行，故②是假命題，故選A．二、填空題11．（2021·浙江·溫州繡山中學(xué)三模）一個(gè)直棱柱的立體圖如圖所示，該幾何體的表面積為____cm2【答案】84【分析】解：由題意，該直棱柱為直三棱柱，上下底面的三角形三邊均為3、4、5，∵，∴該三角形為直角三角形，∴該幾何體的表面積為，故答案為：84．12．（2021·廣西玉林·一模）將一塊等腰直角三角板與一把直尺如圖放置，若，則的大小為________． 【答案】70°【分析】如圖，因?yàn)?/span>a∥b，所以∠2=∠3，因?yàn)?/span>∠1=65°，∠4=45°，所以∠3=180°-∠1-∠4=70°，即∠2=70°.故答案為：70°13．（2021·江蘇洪澤·二模）如圖，一副三角板按圖示放置，已知∠AOC＝65°，則∠AOB＝______°．【答案】155【分析】解：∵∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝65°+90°＝155°故答案為：155．14．（2021·寧夏興慶·一模）為了維護(hù)我國(guó)海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)60海里的速度向正東方向航行，在處測(cè)得燈塔在北偏東方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得燈塔在北偏東方向上．處到燈塔的距離是_______海里．【答案】60【分析】依題意可得∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°?∠PAB?∠ABP＝30°，∴PB＝AB＝60海里故答案為：60．15．（2021·廣東·佛山市華英學(xué)校一模）如圖，直線a，b，a//b，點(diǎn)C在直線b上，∠DCB＝90°，若∠1＝70°，則∠2的度數(shù)為______．【答案】20°【分析】解：∵∠1＝70°，∠1與∠3是對(duì)頂角，∴∠3＝∠1＝70°．∵a//b，點(diǎn)C在直線b上，∠DCB＝90°，∴∠2+∠DCB+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠DCB＝180°﹣70°﹣90°＝20°．故答案為：20°．16．（2021·吉林朝陽·二模）命題“同位角相等”是_______(填“真”或“假”，）命題【答案】假【分析】解：兩直線平行，同位角相等，命題“同位角相等”是假命題，因?yàn)闆]有說明前提條件．故答案為：假．三、解答題17．（2021·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，CE與BF交于點(diǎn)G，∠A＝∠1，∠E＝∠F，求證：CE∥DF．【答案】見解析．【分析】證明：，，，，，．18．（2021·湖北江岸·模擬預(yù)測(cè)）如圖，D、B分別為AE、FC上的點(diǎn)，∠1＝∠2，∠A＝∠C．求證：∠E＝∠F．【答案】見解析【分析】證明：∵∠1＝∠2 ，
∴DC//AB，
∴∠C＝∠ABF，
又∵∠C＝∠A，∴∠ABF＝∠A ，∴AE∥FC ，∴∠E＝∠F．19．（2021·浙江南湖·二模）已知，和中，，．試探究：（1）如圖1，與的關(guān)系是______；（2）如圖2，寫出與的關(guān)系，并說明理由；（3）根據(jù)上述探究，請(qǐng)歸納得到一個(gè)真命題．【答案】（1）；（2），見解析；（3）如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或者互補(bǔ)【分析】證明：如下圖：設(shè)DE交BC于點(diǎn)G
∵
∴ 又∵ ∴∴ （2）如下圖：設(shè)BC與DE交于點(diǎn)G∵，∴又∵∴，∵∴．（3）如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或者互補(bǔ)．20．（2021·陜西師大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，請(qǐng)用尺規(guī)在的邊上找一點(diǎn)P，使得的長(zhǎng)最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）【答案】作圖見詳解．【分析】解：以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于D，然后以B、D為圓心，以AB為半徑畫弧，兩弧交于E點(diǎn)，連結(jié)AE交BC與P，點(diǎn)P為所求，∵AB=AD=BE=ED，∴四邊形ABED為菱形，∴AE⊥BD，BP=DP，根據(jù)點(diǎn)A到直線BD的垂線段AP最短，∴點(diǎn)P為所求．21．（2021·湖北武昌·二模）如圖，點(diǎn)在上，，．求證：.【答案】見解析．【分析】∵    ∴∴∵∴∴.