江蘇省揚州中學2022-2023學年度1月月考試題                 高三數(shù)學              2023.01試卷滿分：150分， 考試時間：120分鐘一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是最符合題意的.（請將所有選擇題答案填到答題卡的指定位置中.）1．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)的模是（    ）A．1 B． C． D． 2．已知集合，則（    ）A． B． C． D． 3．設(shè)，則“成等比數(shù)列”是“”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．某中學全體學生參加了數(shù)學競賽，隨機抽取了400名學生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，每組數(shù)據(jù)以組中值（組中值=(區(qū)間上限+區(qū)間下限)/2）計算），下列說法正確的是（    ）A．直方圖中x的值為0.035B．在被抽取的學生中，成績在區(qū)間的學生數(shù)為30人C．估計全校學生的平均成績?yōu)?/span>83分D．估計全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為95分 5．已知，且，則（    ）A．         B．             C．         D． 6.在平面直角坐標系xOv中，M為雙曲線右支上的一個動點，若點M到直線的距離大于m恒成立，則實數(shù)m的最大值為（    ）A. 1        B.        C. 2        D. 2 7．如圖是一個由三根細棒、、組成的支架，三根細棒、、兩兩所成的角都為，一個半徑為的小球放在支架上，則球心到點的距離是（    ）A．        B．      C．     D．8．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，且是偶函數(shù)，記，也是偶函數(shù)，則的值為（    ）A．－2 B．－1 C．0 D．2 二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（請將所有選擇題答案填到答題卡的指定位置中.）9．如圖，在正方體中，為的中點，則（    ）A．平面B．平面C．平面平面D．直線與平面所成角的余弦值為 10．已知函數(shù)的一條對稱軸為，則（    ）A．的最小正周期為 B．C．在上單調(diào)遞增 D． 11．已知數(shù)列中，，，則關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（    ）A．                     B．數(shù)列為遞增數(shù)列C．              D．數(shù)列的前n項和小于 12．已知函數(shù)，，若與圖象的公共點個數(shù)為，且這些公共點的橫坐標從小到大依次為，，…，，則下列說法正確的有（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.（請將所有填空題答案填到答題卡的指定位置中.）13．已知展開式中的各項系數(shù)和為243，則其展開式中含項的系數(shù)為_____. 14．已知,則與的夾角為__________． 15．已知為橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點（P不在y軸上），的重心為G，內(nèi)心為M，且，則橢圓C的離心率為___________． 16．對于函數(shù)和，設(shè)，，若存在、，使得，則稱與互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為______. 四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（請將所有解答題答案填到答題卡的指定位置中.）17．已知數(shù)列滿足，.(1)若，數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列為等比數(shù)列，求.     18．記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求；(2)求的取值范圍．     19．密室逃脫可以因不同的設(shè)計思路衍生出不同的主題，從古墓科考到蠻荒探險，從竊取密電到逃脫監(jiān)籠，玩家可以選擇自己喜好的主題場景在規(guī)定時間內(nèi)完成任務(wù)，獲取獎勵．李華參加了一次密室逃脫游戲，他選擇了其中一種模式，該游戲共有三關(guān)，分別記為A，B，C，他們通過三關(guān)的概率依次為：．若其中某一關(guān)不通過，則游戲停止，游戲不通過．只有依次通過A，B，C三道關(guān)卡才能順利通關(guān)整個游戲，并拿到最終獎勵．現(xiàn)已知參加一次游戲的報名費為150元，最終獎勵為400元．為了吸引更多的玩家來挑戰(zhàn)該游戲，商家推出了一項補救活動，可以在闖關(guān)前付費購買通關(guān)幣．游戲中，若某關(guān)卡不通過，則自動使用一枚通關(guān)幣通過該關(guān)卡進入下一關(guān)．購買一枚通關(guān)幣需另付100元，游戲結(jié)束后，剩余的未使用的通關(guān)幣半價回收．(1)若李華同學購買了一枚通關(guān)幣，求他通過該游戲的概率．(2)若李華同學購買了兩枚通關(guān)幣，求他最終獲得的收益期望值．（收益等于所得獎勵減去報名費與購買通關(guān)幣所需費用）．    20．圖1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE為折痕將BCE折起，使點C到達的位置，且，如圖2.(1)求點D到平面的距離；(2)若，求二面角的大小.         21．已知點是焦點為F的拋物線C：上一點．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點P是該拋物線上一動點，點M，N是該拋物線準線上兩個不同的點，且的內(nèi)切圓方程為，求面積的最小值．         22．已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在上的最大值為0，①求a的取值范圍；②若恒成立，求正整數(shù)k的最小值．           參考答案：1．C【詳解】因為，所以，所以的共軛復數(shù)為，，所以的共軛復數(shù)的模是.2．A【詳解】由，可得，則又，所以.3．A【詳解】①若成等比數(shù)列，則，所以；②若,滿足，但是不滿足成等比數(shù)列（因為等比數(shù)列中不能含有0）“成等比數(shù)列”是“”的充分不必要條件，4．D【詳解】對于A：根據(jù)學生的成績都在50分到100分之間的頻率和為1，可得10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A錯誤；對于B：在被抽取的學生中，成績在區(qū)間的學生數(shù)為100.015400=60人，故B錯誤；對于C：估計全校學生的平均成績?yōu)?/span>550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；故C錯誤.對于D：全校學生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為分.故D正確.5．D【詳解】設(shè)，，則，，即，，，故，.6.B 【詳解】由點M到直線的距離大于m恒成立，可得點M到直線的最近距離大于m.因為雙曲線的漸近線為，則與的距離即為最近距離，則，即.7．C【詳解】如圖所示，連接，作所在外接圓圓心，連接，設(shè)，由、、兩兩所成的角都為可得，因為為幾何中心，所以，易知對和，，所以，所以，即，解得.故選：C8．C【詳解】因為是偶函數(shù)，所以 ，兩邊求導得 ，即，所以 ，即，令 可得 ，即 ，因為為偶函數(shù)，所以 ，即 ，所以 ，即 ， ，所以4是函數(shù)的一個周期，所以,9．ACD10．ABD【詳解】因為函數(shù)，因為函數(shù)的一條對稱軸為，所以，解得：，又因為，所以，則，對于，函數(shù)的最小正周期，故選項正確；對于，，故選項正確；對于，因為，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選項錯誤；對于，因為，令，當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，也即，當時，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，也即，綜上可知：恒成立，故選項正確，11．BCD【詳解】由，得，即，又， 所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以，故A錯誤，C正確；，所以為遞增數(shù)列，故B正確；，所以數(shù)列的前n項和為，故D正確. 12．BCD【詳解】對于A：當時，令，則，即函數(shù)有且僅有一個零點為，同理易知函數(shù)有且僅有一個零點為，即與也恰有一個公共點，故A錯誤；對于B：當時，如下圖：易知在，且，與圖象相切，由當時，，則，，故，從而，所以，故B正確；對于C：當時，如下圖：則，，所以，又圖象關(guān)于對稱，結(jié)合圖象有，即有，故C正確；對于D：當時，由，與的圖象在軸右側(cè)的前1012個周期中，每個周期均有2個公共點，共有2024個公共點，故D正確.13．80     14. 15.  【詳解】設(shè)，由于G是的重心，由重心坐標公式可得，由于，所以的縱坐標為，由于是的內(nèi)心，所以內(nèi)切圓的半徑為，由橢圓定義得，，16．【詳解】因為，且函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以為函數(shù)的唯一零點，設(shè)函數(shù)的零點為，又因為函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，所以，解得，所以函數(shù)在上有零點，所以或或，即或或，所以.17．【詳解】（1）由題意得，所以.（2）設(shè)數(shù)列的公比為，因為，所以，，兩式相加得，所以，當時，不成立，所以，，解得.18．【詳解】（1）因為，即，所以，即，所以，因為，，所以，同理得，所以或（不成立），所以，結(jié)合得．（2）由余弦定理得，，所以，則，由正弦定理得，，因為，，，，所以，，所以，．19.【詳解】（1）由題意可知：這一枚通關(guān)幣的使用情況有四種：①在第一關(guān)使用；②在第二關(guān)使用；③在第三關(guān)使用；④沒有使用.而通過三關(guān)的概率依次為：，則李華通過該游戲的概率．（2）購買兩枚通關(guān)幣的費用為200元，報名費為150元，則收益可能為：（未使用通關(guān)幣過關(guān)），（使用1枚通關(guān)幣且過關(guān)），（使用2枚通關(guān)幣且過關(guān)），（使用2枚通關(guān)幣且未過關(guān)），則則.所以他最終獲得的收益期望值是元.20【詳解】（1）解：如圖所示：  連接AC，交BE于F，因為，，，，，所以AE=2，又，所以四邊形ABCE是菱形，所以，在中，，所以，又，則，所以，又，所以平面，設(shè)點D到平面的距離為h，因為，且，所以，解得；（2）由（1）建立如圖所示空間直角坐標系： 則，所以，因為，所以，設(shè)平面BEP的一個法向量為，則，即，令，得，易知平面BEA的一個法向量為，所以，則，易知二面角的平面角是銳角，所以二面角的大小為.21.【詳解】（1）因為點是拋物線C：上一點，所以，解得：，所以.（2）設(shè)點，點，點，直線方程為：，化簡得．的內(nèi)切圓方程為，圓心到直線的距離為，即．故．易知，上式化簡得，．同理有，，是關(guān)于的方程的兩根．，．．，，點到直線的距離為，所以面積為，令，則，因為，，當且僅當取等，所以.故面積的最小值為．22.【詳解】（1） ，若 ，則有 ， 單調(diào)遞增；若 ， ，當 時， ， 單調(diào)遞增，當 時， ， 單調(diào)遞減；（2）①由（1）的討論可知，當 時， 單調(diào)遞增，在 ， ，滿足題意；當 時，在 ，，滿足題意；當 時，即 ，在， ，令 ，則 ，當 時， ， 單調(diào)遞增， ，即 ，不滿足題意；綜上，a的取值范圍是 ；②由題意， ， ，即 ，考慮直線 的極端情況a=1，則 ，即 ，令 ， ，顯然 是減函數(shù)，    ，  ，∴存在唯一的 使得 ，當 時， ，當 時， ， ， ，  ，即 ，故k的最小值可能是3或4，驗算 ，由于， ， ， ，滿足題意；綜上，a的取值范圍是 ， 的最小值是3.

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