2022-2023學(xué)年廣東省廣州市十六中高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合交集的定義，結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】由題意，因此它的子集個(gè)數(shù)為4．故選：D．2．若函數(shù)則的值是A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得，將代入表達(dá)式可求得函數(shù)值【詳解】令，得，則答案選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系解題相對(duì)比較快捷，也可采用換元法令，將函數(shù)表示成關(guān)于的表達(dá)式，再進(jìn)行求值3．（    ）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】，故選：B4．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性直接判斷可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，為上的減函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在，上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則在上為增函數(shù)，D正確.故選：D.5．函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下列結(jié)論一定正確的是（    ）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】C【分析】依次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義判斷求解即可.【詳解】令，則,且，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故A、B錯(cuò)誤；令，則,且，是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確、D錯(cuò)誤；故選：C6．已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（    ）A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]【答案】D【分析】直接由兩段函數(shù)分別為減函數(shù)以及端點(diǎn)值的大小關(guān)系解不等式組即可.【詳解】由函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)可得解得.故選：D.7．已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出命題為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，即可求出命題為假時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若“，”是真命題，即判別式，解得：，所以命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：.故選：A.8．已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，若實(shí)數(shù)x滿足，則x的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，從而得到，，，，，，，，再分類討論解不等式即可.【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)在上單調(diào)遞增，定義域?yàn)?/span>，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.所以，，，，，，，.因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，即或，解得.當(dāng)時(shí)，符合題意.當(dāng)時(shí)，，或，解得.綜上：或.故選：A 二、多選題9．已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（    ）A．若a>b，c>d，則a-d>b-c B．若a>b，c>d則ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，則 D．若a>b，c>d>0，則【答案】AC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值法逐項(xiàng)分析可求得答案.【詳解】解：由不等式性質(zhì)逐項(xiàng)分析：A選項(xiàng)：由，故，根據(jù)不等式同向相加的原則，故A正確B選項(xiàng)：若，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，則，化簡(jiǎn)得，故C正確；D選項(xiàng)：，，，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．（多選）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2 km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過(guò)的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（    ）A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60 minB．甲從家到公園的時(shí)間是30 minC．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D．當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y與x的關(guān)系式為y＝x【答案】BD【分析】根據(jù)圖表逐項(xiàng)判斷即可【詳解】在A中，甲在公園休息的時(shí)間是10 min，所以只走了50 min，A錯(cuò)誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時(shí)間比從公園到乙同學(xué)家所用的時(shí)間長(zhǎng)，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯(cuò)誤；當(dāng)0≤x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得，D正確.故選：BD11．對(duì)于給定實(shí)數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】討論參數(shù)，得到一元二次不等式的解集，進(jìn)而判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】由，分類討論如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或.故選：AB.12．定義一種運(yùn)算.設(shè)（為常數(shù)），且，則使函數(shù)最大值為4的值可以是（    ）A．-2 B．6 C．4 D．-4【答案】AC【解析】根據(jù)定義，先計(jì)算在，上的最大值，然后利用條件函數(shù)最大值為4，確定的取值即可．【詳解】在，上的最大值為5，所以由，解得或，所以時(shí)，，所以要使函數(shù)最大值為4，則根據(jù)定義可知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)解得，符合題意；故或4，故選：AC 三、填空題13．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>____________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義，列出不等式組，解不等式即可得答案.【詳解】解：由題意得，解得或，所以函數(shù)的定義域是．故答案為：.14．已知冪函數(shù)（）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，則的值為______.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)得，求得或1，再檢驗(yàn)是否符合題意即可.【詳解】因?yàn)?/span>是冪函數(shù)，，解得或1，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，在單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，在單調(diào)遞減，符合題意，.故答案為：.15．已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．【答案】【分析】由基本不等式可得，所以，從而得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).又因?yàn)?/span>恒成立，所以，解得.故答案為：16．若是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)的解析式是，則當(dāng)時(shí)，的最大值是______．【答案】【分析】先利用奇函數(shù)的定義求出時(shí)的解析式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，∵時(shí)，，∴，又為奇函數(shù)，∴，∴， 因?yàn)?/span>時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為： 四、解答題17．設(shè)全集，集合，集合．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若命題，命題，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）求出集合后，再求；（2）由p是q的充分不必要條件，可得?，然后列不等式組可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，所以，；（2）因?yàn)槊}，命題，且p是q的充分不必要條件，所以?，所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．18．已知函數(shù)．（1）在如圖給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出的圖象；（2）寫(xiě)出的單調(diào)遞增區(qū)間及值域；（3）求不等式的解集．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）的單調(diào)遞增區(qū)間， 值域?yàn)?/span>；（3）【分析】（1）要利用描點(diǎn)法分別畫(huà)出f(x)在區(qū)間[-1,2]和內(nèi)的圖象.（2）再借助圖象可求出其單調(diào)遞增區(qū)間.并且求出值域.（3）由圖象可觀察出函數(shù)值大于1時(shí)對(duì)應(yīng)的x的取值集合.【詳解】（1）（2）由圖可知的單調(diào)遞增區(qū)間， 值域?yàn)?/span>；（3）令，解得或（舍去）；令，解得.結(jié)合圖象可知的解集為19．已知，且.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)64(2) 【分析】（1）利用基本不等式構(gòu)建不等式，即可得出的最小值；（2）由題可知，恒成立，則，利用“乘1法”和基本不等式即可得出的最小值，從而求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為64；（2）因?yàn)?/span>恒成立，則，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為18，所以實(shí)數(shù)的取值范圍:.20．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且(1)求的解析式(2)用定義證明在上是增函數(shù)(3)解不等式【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3) 【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和所給的條件，代入函數(shù)解析式即可；（2）不妨假設(shè) ，判斷 的符號(hào)即可；（3）根據(jù) 是奇函數(shù)，并是增函數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)定義域即可求出t的范圍.【詳解】（1）由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，得，即，又∵，解得，∴；（2）設(shè)，，且，則，∵，，，，∴，即，∴在上是增函數(shù)；（3）由為上的奇函數(shù)，如等價(jià)于．則由在上是增函數(shù)，可得，解得，即不等式的解集為；綜上，，的解集為.21．選修4-5不等式選講設(shè)均為正數(shù)，且，證明：（Ⅰ）若，則；（Ⅱ）是的充要條件．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?/span>，，由題設(shè)，，得．因此．（Ⅱ）（ⅰ）若，則．即．因?yàn)?/span>，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，則，即．因?yàn)?/span>，所以，于是．因此，綜上，是的充要條件．【解析】推理證明． 22．作為“中華有為”的華為公司，計(jì)劃在2021年生產(chǎn)某新款手機(jī)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查數(shù)據(jù)分析顯示：生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本250萬(wàn)，而且每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，還需另投入成本萬(wàn)元，且，若每部手機(jī)售價(jià)為7000元，且當(dāng)年所生產(chǎn)的手機(jī)能全部售完，請(qǐng)你幫忙解決以下問(wèn)題：(1)求2021年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷售額-成本）；(2)求2021年產(chǎn)量為多少（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)有最大值為. 【分析】（1）考慮和兩種情況，分別計(jì)算利潤(rùn)得到答案.（2）利用二次函數(shù)性質(zhì)和均值不等式分別計(jì)算和的最值，比較得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)有最大值為萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.綜上所述：當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)有最大值為. 

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