2023屆上海交通大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．“”是“”的（    ）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】由，可得，分析即得解【詳解】由題意，若，則，即，故充分性成立；反之，若，則，即，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A2．函數(shù)的部分圖象如圖，則的值分別是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的部分圖像求出函數(shù)的周期和向左平移量，進(jìn)而求得的值.【詳解】解：由得：函數(shù)的周期，又，，又由第一點(diǎn)坐標(biāo)為，故第一點(diǎn)向左平移量，故，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由的部分圖像確定其解析式，求是難點(diǎn)，屬于中檔題.3．碳70是一種碳原子族，可高效殺滅癌細(xì)胞，它是由70個(gè)碳原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共37個(gè)面，則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為（    ）． A．12 B．25 C．30 D．36【答案】B【分析】根據(jù)題意可知頂點(diǎn)數(shù)為70，可求得棱長(zhǎng)數(shù)為105，結(jié)合歐拉公式得到面數(shù)為37，列出方程組即可求解.【詳解】根據(jù)題意，頂點(diǎn)數(shù)就是碳原子數(shù)即為70，每個(gè)碳原子被3條棱長(zhǎng)共用，故棱長(zhǎng)數(shù)，由歐拉公式可得面數(shù)=2+棱長(zhǎng)數(shù)-頂點(diǎn)數(shù)，設(shè)正五邊形x個(gè)，正六邊形y個(gè)，則，，解得，，故正六邊形個(gè)數(shù)為25個(gè)，即六元環(huán)的個(gè)數(shù)為25個(gè)，故選：B.4．若對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量 ，都存在唯一一個(gè)自變量，使得成立，則稱這樣的函數(shù)為“F函數(shù)”，則下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④，.其中“F函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)“F函數(shù)”的定義一一驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，符合該定義的即為“F函數(shù)”，由此可得答案.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，使得，故①不是“F函數(shù)”；對(duì)于②，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量，都存在唯一一個(gè)自變量，使得，故②是“F函數(shù)”；對(duì)于③，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x，都有，取 ，則，定義域內(nèi)不存在 ，使得，即不能使得，故③不是“F函數(shù)”；對(duì)于④，定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量,都存在唯一一個(gè)自變量,使得，從而使得，故④為“F函數(shù)”；故選：C 二、填空題5．設(shè)是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_________.【答案】0【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)的概念，即可求得答案.【詳解】由題意得，因?yàn)?/span>是純虛數(shù)，則 ，即，故答案為：06．滿足條件的集合共有___________個(gè)．【答案】【詳解】符合題意的集合M有4個(gè)7．若，那么______.【答案】-1.【分析】原式變形為關(guān)于的齊次分式，代入求值.【詳解】 .故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)的值化簡(jiǎn)的齊次分式，并求值，意在考查變形化簡(jiǎn)計(jì)算的能力，屬于基礎(chǔ)運(yùn)算題型.8．已知拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于______________．【答案】4.【詳解】分析：把點(diǎn)代入拋物線方程，解得．利用拋物線的定義可得：點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離．詳解：把點(diǎn)代入拋物線方程可得：，解得 ．∴點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離 ．故答案為4．點(diǎn)睛：本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9．不等式的解集為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由，得，即，解得，因此不等式的解集為.故答案為：.10．在△中，，，，且△的面積為，則=_______【答案】【詳解】試題分析：，，∵，∴，∴．【解析】三角形的面積，向量的夾角．11．_________ .【答案】1【分析】根據(jù)換底公式，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，求解即可【詳解】根據(jù)換底公式：故答案為：112．在展開式中常數(shù)項(xiàng)是_______．（用數(shù)值回答）【答案】【分析】求得展開式通項(xiàng)為，并求得展開式通項(xiàng)，令，對(duì)、分類討論即可得出答案.【詳解】展開式通項(xiàng)為，展開式通項(xiàng)，令，，時(shí)，可得；，時(shí)，可得，，；，時(shí)，可得，，；，時(shí)，可得，，.因此，展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13．若不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】首先若滿足不等式恒成立，即，利用絕對(duì)值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，若滿足不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，即 ，即或 ，解得：或.故答案為：14．設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，則的最小值為_________.【答案】24【分析】通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法、點(diǎn)點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】如圖，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題可知，，所以，，，設(shè)，則，，，所以，當(dāng)時(shí)，取到等號(hào).故答案為：24.15．如果函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)、均有成立，那么稱是“次線性”函數(shù)，若“次線性”函數(shù)滿足，且兩正數(shù)、使得點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則的最大值為_________.【答案】【分析】根據(jù)定義，利用賦值法可求出，再利用導(dǎo)數(shù)求最值可得解.【詳解】令，則成立，因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以，令，則有，從而有，因?yàn)?/span>，所以的最大值，即的最小值，又因?yàn)檎龜?shù)使得點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以有，所以，令，則，令，則，當(dāng)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以.所以的最大值為.故答案為： 三、解答題16．某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：頭），并計(jì)算得，，，，.(1)估計(jì)該地區(qū)這種野生動(dòng)物的數(shù)量；(2)求樣本的相關(guān)系數(shù).（精確到0.01）【答案】(1)(2) 【分析】（1）計(jì)算出樣區(qū)野生動(dòng)物的數(shù)量的平均值，乘以地塊數(shù)，即得答案；（2）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算，可得答案.【詳解】(1)由已知得樣本平均數(shù) ，從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為.(2)由，，，可得樣本 的相關(guān)系數(shù)為.17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先利用求出，再利用累加法求出；（2）先利用（1）結(jié)果求出，再利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求和即可．【詳解】(1)∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；(2)由題意得，時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，∴.18．某科技公司新研制生產(chǎn)一種特殊疫苗，為確保疫苗質(zhì)量，定期進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．某次檢驗(yàn)中，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)量產(chǎn)品質(zhì)量體系中某項(xiàng)指標(biāo)值，根據(jù)測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）技術(shù)分析人員認(rèn)為，本次測(cè)量的該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，若同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，計(jì)算，并計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率；（3）設(shè)生產(chǎn)成本為y元，質(zhì)量指標(biāo)值為x，生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值之間滿足函數(shù)關(guān)系假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，試計(jì)算生產(chǎn)疫苗的平均成本．參考數(shù)據(jù)：，則，．【答案】（1）；（2）；；（3）元．【分析】（1）由頻率之和等于1求出a的值；（2）先由頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法得出，再由參考數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率；（3）先由頻率分布直方圖得出每組的質(zhì)量指標(biāo)值，再根據(jù)生產(chǎn)成本與質(zhì)量指標(biāo)值之間的函數(shù)關(guān)系得出生產(chǎn)疫苗的平均成本．【詳解】解：（1）由解得．（2）依題意，故所以故測(cè)量數(shù)據(jù)落在內(nèi)的概率約為（3）根據(jù)題意得故生產(chǎn)該疫苗的平均成本為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題二的關(guān)鍵在于由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)的方法得出，進(jìn)而由正態(tài)分布的性質(zhì)得出概率.19．三棱錐中，，且與底面成角.(1)設(shè)點(diǎn)在底面的投影為，求的長(zhǎng)；(2)求證：是直角三角形；(3)求該三棱錐體積的最大值.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3). 【分析】（1）根據(jù)題意找到為與底面所成角，即可求得答案；（2）確定點(diǎn)H為的外心，且落在的中點(diǎn)處，即可證明結(jié)論;（3）求出底面三角形面積的最大值，根據(jù)三棱錐體積公式即可求得答案.【詳解】(1)如圖，點(diǎn)在底面的投影為，則底面,則為與底面所成角.，即，故；(2)因?yàn)?/span>，則,即H為的外心，設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，則，所以，而 ,即,故重合，則 ，則,則,故是直角三角形；(3)設(shè)，則 ，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，故三棱錐體積的最大值為 .20．已知.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間和上各恰有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(3)不存在，理由見解析； 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的斜率，利用點(diǎn)斜式求切線方程；（2）求的導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（3）分，和進(jìn)行討論，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性即可【詳解】(1)若，則，，則函數(shù)在處的切線的斜率，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是；(2)由可得，當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(3)當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，故不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；因?yàn)?/span>，且，故當(dāng)，，故此時(shí)在區(qū)間無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因?yàn)?/span>，且，故當(dāng)，，故此時(shí)在區(qū)間無(wú)零點(diǎn)；綜上所述，并不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間和上各恰有一個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.21．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，過(guò)的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線的斜率為1，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；(3)點(diǎn)、在上，且，.過(guò)且斜率為的直線與過(guò)且斜率為的直線交于點(diǎn).從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①在上；②；③.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)(3)答案見解析. 【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線方程和右焦點(diǎn)列出方程，即可求出答案；（2）首先求出點(diǎn)M的軌跡方程即為 其中k為直線 的斜率；若選擇①②∶設(shè)直線 的方程為 ，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，可得M為的中點(diǎn)，即可推出；若選擇①③︰當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可；若選擇②③∶設(shè)直線的方程為，設(shè)的中點(diǎn)C，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得點(diǎn)M恰為中點(diǎn)，故點(diǎn)M在直線上．【詳解】(1)由題意可得，即 ，解得 ，因此C的方程為 ；(2)由直線的斜率為1，得直線的方程為，聯(lián)立 ，得： ，不妨設(shè),聯(lián)立 ，得： ，不妨設(shè),故線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，故線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)由題意設(shè)直線 的方程為 ，將直線的方程代入得 ,,因?yàn)?/span>，， ，，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,則，整理得，，，解得，又因?yàn)?/span>，，，； 若選擇①②作條件：設(shè)直線的方程為，并設(shè)A的坐標(biāo)為 ，B的坐標(biāo)為， 則，解得同理求得，，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足，解得，故M為 的中點(diǎn)，即，即③成立 ； 若選擇①③作條件：當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M即為點(diǎn) ，此時(shí)不在直線 ，矛盾， 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 ，并設(shè)A的坐標(biāo)為 ，B的坐標(biāo)為，則，解得，同理解得，此時(shí)，，由于點(diǎn)M同時(shí)在直線 上，故 解得 ，因此 ，即②成立． 若選擇②③作條件：設(shè)直線的方程為 ，并設(shè)A的坐標(biāo)為 ，B的坐標(biāo)為，則，解得，同理可得，設(shè)的中點(diǎn)為,則，由于，故M在的垂直平分線上，即點(diǎn)M在直線上，將該直線與聯(lián)立，解得，即點(diǎn)M恰為中點(diǎn)，即點(diǎn)M在直線上, ①成立；【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程的求法以及雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答時(shí)要明確解題思路，關(guān)鍵是聯(lián)立方程進(jìn)行計(jì)算十分繁雜，要特別注意準(zhǔn)確性. 四、雙空題22．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，亦稱“阿基米德體”．點(diǎn)A，B，M是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)N是該多面體外接球表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，若，則該多面體的表面積為______；點(diǎn)N軌跡的長(zhǎng)度為______．【答案】          【分析】分別算出每一部分的面積，即可求出該多面體的表面積；首先根據(jù)題干中找出點(diǎn)N的軌跡，然后代入公式即可求出長(zhǎng)度.【詳解】根據(jù)題意該正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)A，B，M分別是正四面體的棱三等分點(diǎn).該正四面體的表面積為該多面體是正四面體截去頂角所在的小正四面體，每個(gè)角上小正四面體的側(cè)面積為每個(gè)角上小正四面體的底面積為所以該多面體的表面積為；如圖，設(shè)點(diǎn)為該多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，則，.在中，則，所以，，即，同理，又，平面.點(diǎn)N是該多面體外接球表面上的動(dòng)點(diǎn)，由題可知，正四面體與半正多面體的外接球的球心相同，且總滿足，點(diǎn)N的軌跡是的外接圓.，，在中，由余弦定理得，，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理得.點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題的第一小空利用表面積公式即可求解，第二小空分析出正四面體與半正多面體的外接球的球心相同，才可以找出點(diǎn)N的軌跡. 

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