組合數(shù)的綜合應(yīng)用　 關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一　簡(jiǎn)單的組合問題(數(shù)學(xué)建模)1．(2020·新高考全國(guó)Ⅰ卷)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有(　　)A．120種    B．90種    C．60種    D．30種【解析】選C.甲場(chǎng)館安排1名有C種方法，乙場(chǎng)館安排2名有C種方法，丙場(chǎng)館安排3名有C種方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的安排方法共有CCC＝60種．2．算盤是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具，其形長(zhǎng)方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位檔撥上一顆上珠和一顆下珠，個(gè)位檔撥上一顆上珠，則表示數(shù)字65.若在個(gè)、十、百、千位檔中隨機(jī)選擇一檔撥一顆上珠，再隨機(jī)選擇兩個(gè)檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字有________種可能．【解析】依題意得所撥數(shù)字共有CC＝24種可能．答案：243．(2021·北京高二檢測(cè))生物興趣小組有12名學(xué)生，其中正、副組長(zhǎng)各1名，組員10名．現(xiàn)從該小組選派3名同學(xué)參加生物學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽．(1)如果正、副組長(zhǎng)2人中有且只有1人入選，共有多少種不同的選派方法？(2)如果正、副組長(zhǎng)2人中至少有1人入選，且組員甲沒有入選，共有多少種不同的選派方法？【解析】(1)根據(jù)題意，正、副組長(zhǎng)2人中有且只有1人入選，其選法有2種，在10名組員中任選2人，有C＝45種選法，則有2×45＝90種選法．(2)根據(jù)題意，分2種情況討論：①正、副組長(zhǎng)2人都入選，且組員甲沒有入選，選派方法數(shù)為CC＝9；②正、副組長(zhǎng)2人中有且只有1人入選，且組員甲沒有入選，選派方法數(shù)為CC＝72.則有9＋72＝81種不同的選法．解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題的策略(1)解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無(wú)關(guān)．(2)要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用．提醒：在分類和分步時(shí)，一定注意有無(wú)重復(fù)或遺漏．【加練·固】有男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名．(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員．(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員．【解析】(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C種選法．第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C種選法．故共有C·C＝120(種)選法．(2)方法一(直接法)：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246(種)選法．方法二(間接法)：不考慮條件，從10人中任選5人，有C種選法 ，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，故“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有C－C＝246(種).(3)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意，共有C種選法；不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，故不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有(C－C)種選法．所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C＋C－C＝191(種).類型二　與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題(數(shù)學(xué)建模)【典例】已知平面α∥平面β，在α內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)有6個(gè)點(diǎn)．(1)過這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同的平面？(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？(3)(2)中的三棱錐最多可以有多少個(gè)不同體積？四步內(nèi)容理解題意條件：①平面α∥平面β；②在α內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)有6個(gè)點(diǎn)．結(jié)論：(1)過這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同的平面？(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？其中最多可以有多少個(gè)不同體積？思路探求(1)依據(jù)三個(gè)點(diǎn)所在平面的情況分類計(jì)數(shù)；(2)依據(jù)頂點(diǎn)所在平面的情況分類計(jì)數(shù)；(3)依據(jù)等底、等高的三棱錐的體積相等分類計(jì)數(shù)．書寫表達(dá)(1)所作出的平面有三類．①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的平面，最多有C·C個(gè)．②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的平面，最多有C·C個(gè)．③α，β本身，有2個(gè)．(ⅰ)故所作的平面最多有C·C＋C·C＋2＝98(個(gè)).(2)所作的三棱錐有三類．①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)3點(diǎn)確定的三棱錐，最多有C·C個(gè)．②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的三棱錐，最多有C·C個(gè)．③α內(nèi)3點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的三棱錐，最多有C·C個(gè)．故最多可作出的三棱錐有C·C＋C·C＋C·C＝194(個(gè)).(3)當(dāng)?shù)鹊酌娣e、等高時(shí)，三棱錐的體積相等．(ⅱ)所以體積不相同的三棱錐最多有C＋C＋C·C＝114(個(gè)).故最多有114個(gè)體積不同的三棱錐．注意書寫的規(guī)范性：(ⅰ)平面α，β本身容易忽視；(ⅱ)解答第(3)問的關(guān)鍵是想清楚何時(shí)體積相等，明確體積不同的情況可分哪幾類題后反思圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．解與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題的策略(1)解決幾何圖形中的組合問題，首先應(yīng)注意運(yùn)用處理組合問題的常規(guī)方法分析解決問題，其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個(gè)組合的模型加以處理．(2)在處理幾何問題中的組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)造模型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問題抽象成組合問題來解決．如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4.(1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)？(2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？【解析】(1)方法一：可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(個(gè)).方法二：可作三角形C－C＝116(個(gè)).其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有C＝36(個(gè)).(2)可作出四邊形C＋C·C＋C·C＝360(個(gè)).【加練·固】在∠MON的邊OM上有5個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，ON上有4個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)(含O)為頂點(diǎn)，可以得到多少個(gè)三角形？【思路導(dǎo)引】要想組成三角形，需找不在同一直線上的三點(diǎn)．因?yàn)?/span>O為射線OM與射線ON的公共點(diǎn)，所以對(duì)O取與不取需進(jìn)行討論．【解析】方法一：(直接法)分幾種情況考慮：以O為頂點(diǎn)的三角形中，另外兩個(gè)頂點(diǎn)必須分別在OM，ON上，所以有C·C個(gè)；O不為頂點(diǎn)的三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)在OM上，一個(gè)頂點(diǎn)在ON上的有C·C個(gè)；一個(gè)頂點(diǎn)在OM上，兩個(gè)頂點(diǎn)在ON上的有C·C個(gè)．因?yàn)檫@是分類問題，所以用分類加法計(jì)數(shù)原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝5×4＋10×4＋5×6＝90個(gè)．方法二：(間接法)先不考慮共線頂點(diǎn)的問題，從10個(gè)不同元素中任取3個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)是C，但其中OM上的6個(gè)點(diǎn)(含O)中任取3個(gè)點(diǎn)不能得到三角形，ON上的5個(gè)點(diǎn)(含O)中任取3個(gè)點(diǎn)也不能得到三角形，所以共可以得到(C－C－C)個(gè)三角形，即C－C－C＝120－20－10＝90個(gè)．方法三：把O看成是OM邊上的點(diǎn)，先從OM上的6個(gè)點(diǎn)(含O)中取兩點(diǎn)，ON上的4點(diǎn)(不含O)中取一點(diǎn)，有C·C個(gè)三角形，再?gòu)?/span>OM上的5點(diǎn)(不含O)中取一點(diǎn)，從ON上的4點(diǎn)(不含O)中取兩點(diǎn)，可得C·C個(gè)三角形，所以共有C·C＋C·C＝15×4＋5×6＝90個(gè)．類型三　組合應(yīng)用中的分組分配問題(數(shù)學(xué)建模)　角度1　不同元素分組、分配問題　【典例】有6本不同的書，按下列分配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？(1)分成三組，每組分別有1本、2本、3本．(2)分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本．(3)分成三組，每組都是2本．(4)分給甲、乙、丙三人，每人2本．【思維導(dǎo)引】(1)先從6本書中取出一本作為一組，再?gòu)氖Ｓ嗟?/span>5本中任取2本作為一組，則其余3本為一組．(2)在(1)分組的基礎(chǔ)上進(jìn)行排列即可．(3)先從6本書中取出2本作為一組，再?gòu)氖Ｓ嗟?/span>4本中任取2本作為一組，則其余2本為一組，其中有重復(fù)，須除以A.(4)在(3)中分組的基礎(chǔ)上排列即可．【解析】(1)分三步：先選一本有C種選法，再?gòu)挠嘞碌?/span>5本中選兩本有C種選法，最后余下的三本全選有C種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，分配方式共有C·C·C＝60(種).(2)由于甲、乙、丙是不同的三個(gè)人，在(1)問的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配問題．因此，分配方式共有C·C·C·A＝360(種).(3)先分三組，有CCC種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書為A，B，C，D，E，F，若第一組取了A，B，第二組取了C，D，第三組取了E，F，則該種方法記為(AB，CD，EF)，但CCC種分法中還有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A種情況，而這A種情況只能作為一種分法，故分配方式有＝15(種).(4)在(3)的基礎(chǔ)上再分配即可，共有分配方式·A＝90(種).【變式探究】將本例中這6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4人，每人至少一本，則結(jié)果如何？【解析】這6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4人，每人至少一本，則有(3，1，1，1)和(2，2，1，1)兩種．當(dāng)為(3，1，1，1)時(shí)，有C種分組方法，所以有CA＝480種分組方法；當(dāng)為(2，2，1，1)時(shí)，有種分法，所以有A＝1 080種分法．綜上，共有480＋1 080＝1 560種方法．　角度2　相同元素分配問題　【典例】將4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子中．(1)每盒至多一球，有多少種放法？(2)每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種放法？(3)把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放法？(4)把4個(gè)不同的小球換成20個(gè)相同的小球，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不少于它的編號(hào)數(shù)，有多少種放法？【思路導(dǎo)引】(1)全排列問題，用排列數(shù)公式計(jì)數(shù)；(2)先確定哪個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，再放其他球，分步計(jì)數(shù)；(3)先確定哪三個(gè)盒子放球，再確定哪個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè)，分步計(jì)數(shù)；(4)轉(zhuǎn)化為在14個(gè)球中間的13個(gè)空中放入三塊隔板的放法問題．【解析】(1)這是全排列問題，共有A＝24種放法．(2)1個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的選法有C種，當(dāng)1個(gè)球與1個(gè)盒子的編號(hào)相同時(shí)，用局部列舉法可知其余3個(gè)球的投放方法有2種，故共有C·2＝8種放法．(3)先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子放球，再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè)．由于球是相同的，即沒有順序，所以屬于組合問題，故共有CC＝12種放法．(4)先將編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子分別放入0，1，2，3個(gè)球，再把剩下的14個(gè)球分成四組，即在○○○○○○○○○○○○○○這14個(gè)球中間的13個(gè)空中放入三塊隔板，共有C＝286種放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即編號(hào)為1，2，3，4的盒子分別放入2，6，5，7個(gè)球．1．分組、分配問題的求解策略(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種．①完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，若有n組均勻，最后必須除以n??；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)分配問題屬于“排列”問題．分配問題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配．2．相同元素分配問題的建模思想(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”．每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題．(2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的元素(n≥m)，有C種方法．可描述為n－1個(gè)空中插入m－1塊板．1．編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有(　　)A．60種    B．20種    C．10種    D．8種【解析】選C.四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空檔中放入三盞亮燈，即C＝10.2．(2020·全國(guó)高考Ⅱ卷)4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有________種．【解析】因?yàn)?/span>4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，所以先取2名同學(xué)看作一組，選法有：C＝6.現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有：A＝6.根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法有6×6＝36種．答案：36【加練·固】把5名專家分配到A，B，C三個(gè)集中醫(yī)療點(diǎn)，每個(gè)醫(yī)療點(diǎn)至少要分配1人，其中甲專家不去A醫(yī)療點(diǎn)，則不同分配種數(shù)為(　　)A.116　　B．100　　C．124　　D．90【解析】選B.根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5名醫(yī)學(xué)專家分為3組，若分為2，2，1的三組，有＝15種分組方法，若分為3，1，1的三組，有C＝10種分組方法，則有15＋10＝25種分組方法；②將分好的三組分派到三個(gè)醫(yī)療點(diǎn)，甲專家所在組不去A醫(yī)療點(diǎn)，有2種情況，再將剩下的2組分派到其余2個(gè)醫(yī)療點(diǎn)，有2種情況，則3個(gè)組的分派方法有2×2＝4種情況，則有25×4＝100種分配方法．　　　　　　　　　　　　課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1．一個(gè)口袋中裝有大小相同的6個(gè)白球和4個(gè)黑球，從中取2個(gè)球，則這兩個(gè)球同色的不同取法有(　　)A．27種     B．24種     C．21種     D．18種【解析】選C.分兩類：一類是2個(gè)白球有C＝15種取法，另一類是2個(gè)黑球有C＝6種取法，所以取法共有15＋6＝21(種).2．從4艘驅(qū)逐艦和5艘護(hù)衛(wèi)艦中任意選出3艘參加索馬里護(hù)航任務(wù)，其中至少要有驅(qū)逐艦和護(hù)衛(wèi)艦各1艘的選法種數(shù)是(　　)A.140     B．84     C．70     D．35【解析】選C.包括兩種可能：2艘驅(qū)逐艦和1艘護(hù)衛(wèi)艦，有CC種取法；1艘驅(qū)逐艦和2艘護(hù)衛(wèi)艦，有CC種取法．所以一共有CC＋CC＝70種．3．(教材練習(xí)改編)甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有(　　)A.36種    B．48種    C．96種    D．192種【解析】選C.甲選修2門有C＝6種選法，乙、丙各有C＝4種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6×4×4＝96種選法．4．為深入貫徹實(shí)施黨中央布置的“精準(zhǔn)扶貧”計(jì)劃，某地方黨委政府決定從4名男黨員干部和3名女黨員干部中選取3人參加西部扶貧，若選出的3人中既有男黨員干部又有女黨員干部，則不同的選取方案共有(　　)A．60種    B．34種    C．31種    D．30種【解析】選D.根據(jù)題意，要求選出的3人中既有男黨員干部又有女黨員干部，分2種情況討論：選出的3人為2男1女，有CC＝18種安排方法，選出的3人為1男2女，有CC＝12種安排方法，則有18＋12＝30種選法．5．隨著中國(guó)電子商務(wù)的發(fā)展和人們對(duì)網(wǎng)購(gòu)的逐漸認(rèn)識(shí)，網(wǎng)購(gòu)鮮花速遞行業(yè)迅速興起．佳佳為祝福母親的生日，準(zhǔn)備在網(wǎng)上定制一束混合花束．客服為佳佳提供了兩個(gè)系列，如下表： 粉色系列黃色系列玫　瑰戴安娜、粉佳人、糖果、桃紅雪山假日公主、金輝、金香玉康乃馨粉色、小桃紅、白色粉邊火焰、金毛、黃色配　葉紅竹蕉、情人草、滿天星散尾葉、梔子葉、黃鶯、銀葉菊佳佳要在兩個(gè)系列中選一個(gè)系列，再?gòu)闹羞x擇2種玫瑰、1種康乃馨、2種配葉組成混合花束．則佳佳可定制的混合花束一共有________種．【解析】若選粉色系列有C·C·C種選法，若選黃色系列有C·C·C種選法，佳佳可定制的混合花束一共有C·C·C＋C·C·C＝54＋54＝108種．答案：108關(guān)閉Word文檔返回原板塊 

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