2023屆黑龍江省牡丹江市第二高級中學(xué)高三上學(xué)期第二次階段測試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列關(guān)系中，正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系求解.【詳解】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可知，，，不正確，由空集是任何集合的子集知正確，故選：C2．已知，，等于A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)條件概率的定義和計算公式：把公式進行變形，就得到，故選C.【解析】條件概率.3．已知命題p：，，則命題p的否定為（       ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系可得：命題“p：，”的否定式為“，”.故選：D.4．設(shè)隨機變量的概率分布列為，其中，那么的值為（   ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，變量取各個量對應(yīng)的概率和等于1，建立關(guān)于的等量關(guān)系式，最后求得結(jié)果.詳解：根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，，解得，故選D.點睛：解決該題的關(guān)鍵是明確離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，從而找到關(guān)于參數(shù)所滿足的等量關(guān)系式，最后求得結(jié)果.5．下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】A【詳解】最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)，適合；最小正周期為，不適合；最小正周期為，在區(qū)間上不單調(diào)，不適合；最小正周期為，在區(qū)間上為增函數(shù)，不適合.故選A6．若命題：“，使”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用判別式即可得到結(jié)果.【詳解】∵“，使”是真命題，∴，解得.故選：C7．的展開式中，含的項的系數(shù)是（    ）A． B．  C．25 D．55【答案】B【分析】寫出二項式的展開式中的通項，然后觀察含項有兩種構(gòu)成，一種是中的1與中的二次項相乘得到，一種是中的與中的常數(shù)項相乘得到，將系數(shù)相加即可得出結(jié)果.【詳解】二項式的展開式中的通項，含的項的系數(shù)為故選B.【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．某課外興趣小組通過隨機調(diào)查，利用2×2列聯(lián)表和統(tǒng)計量研究數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀是否與性別有關(guān).計算得，經(jīng)查閱臨界值表知，則下列判斷正確的是（    ）A．每100個數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人中就會有1名是女生B．若某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，那么他為男生的概率是0.010C．有99%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別無關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”【答案】D【分析】計算的觀測值，對照閱臨界值表知，即可得出統(tǒng)計結(jié)論．【詳解】∵，∴有99%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”，即在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”.所以ABC錯誤，故選：D9．?dāng)?shù)列的通項公式為，則數(shù)列的前項和為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用裂項相消法求和即可．【詳解】，.故選：B10．如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（    ）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【答案】B【分析】按涂色順序進行分四步，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得解.【詳解】按涂色順序進行分四步：涂A部分時，有4種涂法；涂B部分時，有3種涂法；涂C部分時，有2種涂法；涂D部分時，有2種涂法.由分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.11．已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象之間的平移變換及所給奇、偶函數(shù)判斷A，給出滿足條件的特殊函數(shù)排除BCD.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以的圖象經(jīng)過原點，即，由的圖象向右平移2個單位可得函數(shù)的圖象知，圖象過點，即，因為為偶函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，故A正確；令，則滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，顯然BCD不滿足.故選：A12．已知數(shù)列滿足：，，則下列說法正確的是（    ）A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．存在，便得C．存在，便得 D．存在，便得【答案】D【分析】由已知等式變形可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，可判斷BC選項；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷A選項；計算出、的范圍，可判斷D選項.【詳解】因為，則，可得，由可得，則，則，設(shè)函數(shù)，其中，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，因為，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，故數(shù)列為遞增數(shù)列，A錯，B錯，C錯；因為，則，，因此，存在，便得，D對.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查與數(shù)列相關(guān)的單調(diào)性與范圍問題的判斷，根據(jù)數(shù)列的遞推公式構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得的范圍是解題的關(guān)鍵. 二、填空題13．對某手機的廣告費用支出x（萬元）與銷售額y（萬元）之間的關(guān)系進行調(diào)查，通過回歸分析，求得x與y之間的關(guān)系式為，則當(dāng)廣告費用支出為10萬元時，銷售余額的預(yù)測值為___________萬元.【答案】92.5【分析】將x=10代入回歸方程即可得到答案【詳解】解：將x=10代入，即得，所以余額為萬元，故答案為：92.514．已知等差數(shù)列的公差不為0，且，，等比數(shù)列，則_________.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，等比數(shù)列，可得，則的值可求．【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，等比數(shù)列，，則，得，．故答案為：．15．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】求導(dǎo)函數(shù)，先考慮其反面函數(shù)單調(diào)時的范圍，再求結(jié)論的補集即可得到結(jié)論.【詳解】，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則或在上恒成立，即或，∴或，于是滿足條件的實數(shù)的范圍為，故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式，正確理解題意是關(guān)鍵，屬于中檔題.16．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則___________.【答案】【分析】由輔助角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，，再根據(jù)兩角和的正切和公式，誘導(dǎo)公式求.【詳解】（其中，），當(dāng)時，函數(shù)取得最大值∴ ，，即，，所以，.故答案為：. 三、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）【詳解】試題分析：（1）由已知，根據(jù)數(shù)列前項和和與通項的關(guān)系，求出，從而求出數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)其特點，采用分組求和法，將其分為等差數(shù)列與等比數(shù)列兩組進行求和，再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列前項和公式進行運算，從而求出.試題解析：（1）∵，∴，∴，當(dāng)時，，又也滿足，故.又，∴.（2）∵，∴.點睛：此題主要考查數(shù)列的通項公式和前項和公式，以及它們之間關(guān)系的應(yīng)用，還有分組求各和法在求數(shù)列前項和中的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題型，也是?？碱}.分組求和法就是將數(shù)列的項分成兩項或三項等，而這兩項或三項往往就是常數(shù)或是等差（比）數(shù)列，進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，然后再合并，從而得到該 數(shù)列的和.18．從①，②③，這三個已知條件中任選一個，補充在下面的問題中，并給出解答．問題：已知角是第四象限角，且滿足____________________．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）選①，②由誘導(dǎo)公式與余弦的兩角和公式計算，選③，由二倍角公式及余弦的兩角和公式計算；（2）由正切的兩角差公式及正弦、余弦的二倍角公式計算即可.【詳解】(1)若選①，則由題意得，又角是第四象限角，所以，于是．若選②，則由題意得，又角是第四象限角，所以，于是．若選③，則由題意得，解得，又角是第四象限角，所以，于是．(2)由（1）可知，所以．于是．或由得，代入，解得，于是．19．第19屆亞運會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運會成功舉辦的重要保障．某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．(1)求的值；(2)根據(jù)組委會要求，本次志愿者選拔錄取率為，請估算被錄取至少需要多少分；(3)在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自同組的概率．【答案】(1)，(2)78分(3) 【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程組即能求出的值；（2）由頻率分布直方圖得和的頻率分別為0.2和0.05，故錄取分?jǐn)?shù)應(yīng)落在第四組，不妨設(shè)錄取分為，則求解即可；（3）根據(jù)分層抽樣，在和中分別選取4人和1人，列舉出這5人中選出2人的總的基本事件數(shù)，和選出的兩人來自同組的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】(1)由題意可知：，，解得，；(2)由頻率分布直方圖得和的頻率分別為0.2和0.05，故錄取分?jǐn)?shù)應(yīng)落在第四組，不妨設(shè)錄取分為，則 解得；故被錄取至少需要78分.(3)根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為故在和中分別選取4人和1人，分別設(shè)為和則在這5人中隨機抽取兩個的樣本空間包含的樣本點有共10個，  即，記事件“兩人來自同組”，則事件包含的樣本點有共6個，即，  所以.20．在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形角的關(guān)系，代入化簡三角函數(shù)式，即可求得，進而得角的大?。?/span>（2）根據(jù)余弦定理，由基本不等式即可求得，再結(jié)合三角形邊關(guān)系求得的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴，即，∵，∴，∴．（2）由余弦定理可知，代入可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，又，∴的取值范圍是．【點睛】本題考查了三角恒等變形的應(yīng)用，由余弦定理及基本不等式求邊的范圍，屬于中檔題.21．根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量（單位：）對工期的影響如下表：降水量工期延誤天數(shù) 歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于、、的概率分別為、、，求：（1）在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率；（2）工期延誤天數(shù)的均值與方差.【答案】（1）；（2）均值為，方差為.【分析】（1）計算出，以及，利用條件概率公式可計算出所求事件的概率；（2）由題意可知的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得隨機變量的均值和方差.【詳解】（1）由題意可得，且工期延誤不超過天的概率為，因此，在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率為；（2）由題意可知，，，.所以，隨機變量的分布列如下表所示： ，.所以，工期延誤天數(shù)的均值為，方差為.【點睛】本題考查離散型隨機變量的均值和方差的計算，同時也考查了條件概率的計算，考查計算能力，屬于中等題.22．已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．(2)若是方程的兩個不相等的實數(shù)根，證明：．【答案】(1)；(2)詳見解析 【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)的取值范圍；（2）將方程的實數(shù)根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)證明，恒成立.【詳解】(1)，，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即，即在，設(shè)，，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以；(2)若是方程的兩個不相等的實數(shù)根，即又2個不同實數(shù)根，且，，得，即 ，所以，不妨設(shè)，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以，，所以 ，即，即得【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題，往往采用分析法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可證明. 

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