2022-2023學(xué)年四川省成都市蓉城高中教育聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，所以點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D2．直線的傾斜角是A． B． C． D．【答案】B【分析】先求斜率，即傾斜角的正切值，易得．【詳解】，可知，即，故選B【點(diǎn)睛】一般直線方程求傾斜角將直線轉(zhuǎn)換為斜截式直線方程易得斜率，然后再根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值易得傾斜角，屬于簡單題目．3．以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，已知圓心和半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由題意知：圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：B.4．與直線垂直且過點(diǎn)的直線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩直線垂直其斜率之積等于，可求出直線的斜率，再將點(diǎn)代入直線方程即可求出答案.【詳解】已知直線l的斜率為2，則所求直線方程的斜率為，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，則直線方程為，整理得故選：C.5．不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可得，解得，故原不等式的解集為，故選：B6．已知，則下列大小關(guān)系正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用作差法，可得答案.【詳解】，由，則，即；，由，則，，即，可得；，由，則，即，可得；綜上.故選：D.7．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的焦距是8，則橢圓的長軸長為（    ）A．40 B． C． D．20【答案】B【分析】由橢圓的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由題意得，則橢圓的長半軸長為，長軸長為.故選：B.8．若，則的（    ）A．最小值為0 B．最大值為4 C．最小值為4 D．最大值為0【答案】C【分析】結(jié)合拼湊法和基本不等式即可求解【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值4，故選：C．9．己知兩點(diǎn)，且是與的等差中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意和橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又是與的等差中項(xiàng)，所以，則點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離之和為8，（大于），所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，，則，，所以橢圓方程為：，故選：.10．方程所表示的曲線（    ）A．關(guān)于y軸對(duì)稱 B．關(guān)于x軸對(duì)稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【分析】解出方程，即可看出方程所表示的曲線，進(jìn)而分析其對(duì)稱性即可.【詳解】     或所以方程所表示的曲線為軸或直線，都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故：選B.11．圓與圓的位置關(guān)系為（    ）A．外離 B．相切 C．內(nèi)含 D．與a的取值有關(guān)【答案】A【分析】根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系即可.【詳解】由題意得圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為，，所以兩圓外離.故選：A.12．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M，N在橢圓C上（點(diǎn)M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若，則橢圓C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，利用勾股定理求出，再解方程即得解.【詳解】依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點(diǎn)M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得或舍去.故選：B． 二、填空題13．兩平行直線與之間的距離為____________．【答案】##【分析】由平行線之間的距離公式直接求解即可.【詳解】兩平行直線與之間的距離為.故答案為：14．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為____________．【答案】3【分析】作出可行域，平移直線，找出使得該直線在軸上的截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)即可得解.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，平移直線即，當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)，取最大值，即.故答案為：315．直線l過點(diǎn)，且與圓相切，則直線l的方程為___________．【答案】或【分析】由已知，先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，然后分類討論直線l斜率存在、不存在，計(jì)算圓心到直線的距離等于圓的半徑，列式即可求解直線方程的斜率，從而得到直線方程.【詳解】由已知，圓可化為：，直線l過點(diǎn)，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為：，所以圓心到直線的距離，此時(shí)直線l與圓不相切，所以不成立；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，要使直線與圓相切，需滿足圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，解得：或，所以直線l的方程為：或.故答案為：或.16．在半徑為R的球面上有A，B，C，D四點(diǎn)，且直線兩兩垂直，若的面積之和為6，則此球體積的最小值為______________．【答案】【分析】本題相當(dāng)于求三棱錐的外接球體積的最小值.先把三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長方體，可得外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線，分析已知條件，再借助基本不等式求出半徑的最小值，最后可求出球的體積最小值.【詳解】因?yàn)榫€段兩兩垂直，所以三棱錐可以補(bǔ)全為一個(gè)長方體，線段分別為長方體的長、寬、高，則半徑為R的球即為長方體的外接球.令，所以有又因?yàn)?/span>的面積之和為6，所以，即.由基本不等式有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí) ，.故答案為：. 三、解答題17．分別求以下方程．(1)求過兩直線：，的交點(diǎn)，且斜率為2的直線的一般式方程；(2)已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過兩點(diǎn)，，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）聯(lián)立兩直線求得交點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求得直線方程，再轉(zhuǎn)化成一般式即可；（2）設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，將給定點(diǎn)的坐標(biāo)代入列出方程組，求解即得【詳解】（1）由可得，所以，的交點(diǎn)為，故過且斜率為2的直線的方程為即；（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因點(diǎn)，在橢圓上，則有，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；18．已知實(shí)數(shù)a，b滿足：,．(1)求的取值范圍；(2)已知，試比較M，N的大小．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求解，即可得到；（2）作差法比較式子大小.【詳解】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，，，則.（2）,因?yàn)?/span>，      所以有 所以，.19．已知圓C過三點(diǎn)．(1)求圓C的一般式方程；(2)若直線l過點(diǎn)，且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程；【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，分別代入求得圓C的一般式方程.（2）利用垂徑定理和點(diǎn)到直線距離可求得斜率，從而求得直線l的方程【詳解】（1）設(shè)圓的一般方程，因?yàn)閳AC過三點(diǎn)，所以解得,故圓C的一般式方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線為，圓C截得的弦長為，故直線l為.設(shè)直線l的斜率為，又過點(diǎn)，所以直線l的方程為，由（1）可知圓心為，半徑，又因?yàn)閳AC截得的弦長為，所以由垂徑定理可得圓心到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離可得解得.所以直線l的方程為： 或.20．已知圓，定點(diǎn)．(1)光線自定點(diǎn)開始射到x軸上，經(jīng)x軸發(fā)生鏡面反射后到達(dá)圓C上的點(diǎn)N為止，求光線路程的最小值；(2)若點(diǎn)A在圓C上轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)光的反射原理到的最短距離，轉(zhuǎn)化為到圓上點(diǎn)的距離最小值；（2）設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)線段的中點(diǎn)為，求得，結(jié)合在圓上，代入即可求解.【詳解】（1）由圓可得圓心，半徑為1，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，光線從到經(jīng)過的路程，即為點(diǎn)與點(diǎn)的直線距離，其最小值為，所以光線路程的最小值為；（2）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，可得，解得，又因?yàn)?/span>在圓上，可得，即，即點(diǎn)的軌跡方程為21．某建筑單位購買某種建筑設(shè)備，購買時(shí)費(fèi)用為100萬元，此建筑設(shè)備每年的運(yùn)輸轉(zhuǎn)場與設(shè)備管理等費(fèi)用共計(jì)9萬元，但這種建筑設(shè)備隨著每年的轉(zhuǎn)場需要重新構(gòu)架，在此過程中會(huì)造成設(shè)備的維修費(fèi)、保養(yǎng)費(fèi)等逐年增高，第一年為2萬元，第二年為4萬元，第三年為6萬元，而且以后以每年2萬元的增量逐年遞增．(1)若變量x，y分別表示此建筑設(shè)備使用的時(shí)間（單位：年）和花費(fèi)的總金額（單位：萬元），請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y；(2)建筑設(shè)備的年平均使用費(fèi)用越低，它的使用就越劃算，請(qǐng)?jiān)冢?/span>1）小問的基礎(chǔ)上規(guī)劃一下此建筑設(shè)備最佳的使用時(shí)間（單位：年），并說明理由．【答案】(1)(2)10年 【分析】由題意可知花費(fèi)的總金額為購買費(fèi)用、運(yùn)輸轉(zhuǎn)場與設(shè)備管理等費(fèi)用、維修費(fèi)、保養(yǎng)費(fèi)之和，即可列出函數(shù)關(guān)系式；利用函數(shù)關(guān)系式中函數(shù)的性質(zhì)，即可求出最佳的使用時(shí)間.【詳解】（1）已知此建筑設(shè)備每年的運(yùn)輸轉(zhuǎn)場與設(shè)備管理等費(fèi)用共計(jì)9萬元，x年則花費(fèi)萬元，維修費(fèi)、保養(yǎng)費(fèi)每年2萬元的增量逐年遞增，由等差數(shù)列求和可得x年需萬元，花費(fèi)的總金額.（2）設(shè)建筑設(shè)備的年平均使用費(fèi)用為w，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以當(dāng)時(shí)，建筑設(shè)備的年平均使用費(fèi)用越低，故此建筑設(shè)備最佳的使用時(shí)間為10年.22．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線滿足且與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，若以線段為直徑的圓始終過點(diǎn)，試判斷直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)過定點(diǎn). 【分析】（1）根據(jù)題意列方程，再結(jié)合，解方程得到，，，即可得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程得到，，根據(jù)以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，得到，然后列方程得到，解得，即可得到直線過定點(diǎn).【詳解】（1）由題意得，，又，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立得，，則，，，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，，，，即，解得或，滿足，因?yàn)?/span>，所以，直線方程為，恒過點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)為.【點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系． 

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