?數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合問(wèn)題

一．方法綜述
數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合是數(shù)列高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，難度較大，求數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合問(wèn)題時(shí)會(huì)滲透多種數(shù)學(xué)思想.因此求解過(guò)程往往方法多、靈活性大、技巧性強(qiáng)，但萬(wàn)變不離其宗，只要熟練掌握各個(gè)類(lèi)型的特點(diǎn)即可.在考試中時(shí)常會(huì)考查一些壓軸小題，如數(shù)列中的恒成立問(wèn)題、數(shù)列中的最值問(wèn)題、數(shù)列性質(zhì)的綜合問(wèn)題、數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題、數(shù)列與其他知識(shí)綜合問(wèn)題中都有所涉及，本講就這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行分析.
二．解題策略
類(lèi)型一 數(shù)列與不等式
1.1 數(shù)列與基本不等式
【例1】某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為_(kāi)_______．
【答案】10
【解析】由題意可知：每年的維護(hù)費(fèi)構(gòu)成一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故第n年的維護(hù)費(fèi)為：an=2+2（n﹣1）=2n，總的維護(hù)費(fèi)為：=n（n+1）
故年平均費(fèi)用為：y=，即y=n++1.5，（n為正整數(shù)）；
由基本不等式得：y=n++1.5≥2+1.5=21.5（萬(wàn)元）
當(dāng)且僅當(dāng)n=，即n=10時(shí)取到等號(hào)，即該企業(yè)10年后需要更新設(shè)備．
故答案為：10．
（2020·廣東高三）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的最小值為（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【解析】由得，所以.所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故選：D
【指點(diǎn)迷津】本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)以及基本不等式的相關(guān)性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是，等比中項(xiàng)，基本不等式有，考查公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.
【舉一反三】
1.（2020山東省濟(jì)寧市模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為
【答案】
【解析】因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，，，
所以，，，
所以，，，，，
因?yàn)?，所以，?br />
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，
所以的最小值為.
2．（2020·江蘇揚(yáng)州中學(xué)）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則的最小值為
【答案】4
【解析】∵a1，a3，a13成等比數(shù)列，a1=1，∴a32=a1a13，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．Sn=n+×2=n2．
∴===n+1+-2≥2-2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)n+1=時(shí)取等號(hào)，此時(shí)n=2，且取到最小值4，
1.2 數(shù)列中的恒成立問(wèn)題
【例2】（2020·四川雙流中學(xué)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)在上的最大值為，且的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)n均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】運(yùn)用二次函數(shù)的最值和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得x∈[0，2）時(shí)f（x）的最大值，由遞推式可得{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范圍．
【詳解】當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，，
所以函數(shù)f(x)在[0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）的最大值為f（）＝；
1≤x

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