2022-2023學(xué)年四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解出集合A、B，再求.【詳解】集合, .所以.故選：A2．命題“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由特稱命題的否定：將存在改任意并否定原結(jié)論，寫出原命題的否定，即可知正確選項(xiàng).【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，∴原命題的否定為：.故選：A.3．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求得.【詳解】由題意可得.故選：A4．已知，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．的最大值為 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．的最小正周期為【答案】B【分析】利用輔助角公式可得，根據(jù)正弦型函數(shù)最值、單調(diào)性、對稱性和最小正周期的求法依次判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】；對于A，，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增可知：在上單調(diào)遞增，B正確；對于C，當(dāng)時，，則關(guān)于成軸對稱，C錯誤；對于D，最小正周期，D錯誤.故選：B.5．已知函數(shù)在[2，8]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為所以要使函數(shù)在[2，8]上單調(diào)遞減，則有，即故選：C6．盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解．例如，地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震級數(shù)M之間的關(guān)系式為．2020年12月29日19時19分在克羅地亞發(fā)生6.5級地震它所釋放出來的能量大約是2020年12月30日8時35分在日本本州東海岸發(fā)生5.1級地震的（    ）倍A．65 B．100 C．126 D．349【答案】C【解析】計(jì)算，得出的大致范圍，確定正確選項(xiàng)．【詳解】由題意，從而得：，而，故選：C．7．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】中間值比大小.【詳解】，，且，所以故選：B8．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，若對于任意不等實(shí)數(shù)，，，不等式恒成立，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由條件對于任意不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立可得函數(shù)在上為減函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)化簡不等式求其解.【詳解】∵  函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，∴ ，∴ 不等式可化為∵  對于任意不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，∴  函數(shù)在上為減函數(shù)，又，∴  ，∴  ，∴不等式的解集為故選：C. 二、多選題9．給出下列四個條件：其中能成為的充分條件的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】A中，若，則不能得到，A錯誤；B中，若，則有，滿足充分性，B正確；C中，若，則有，是的充分條件，C正確；D中，若，則，不能得到，D錯誤.故選：BC10．要得到函數(shù)的圖象，只需將圖象上的所有點(diǎn)（    ）A．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個單位B．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個單位C．向左平移個單位，再把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍D．向右平移個單位，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的【答案】AC【分析】首先根據(jù)題意，先分清楚，平移前和平移后的函數(shù)，然后根據(jù)選項(xiàng)描述的順序，進(jìn)行平移和伸縮變換驗(yàn)證即可得到答案.【詳解】由題意可知，平移伸縮變換前函數(shù)是，平移伸縮變換后的函數(shù)是，選項(xiàng)A和選項(xiàng)B，“橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍”變?yōu)?/span>，要想得到 的圖像，只需將的圖像向左平移即可得到，故選項(xiàng)A正確，如果向左平移個單位，則變成，不滿足，故選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)C，“向左平移個單位”變?yōu)?/span>，“把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍”，變?yōu)?，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，“向左平移個單位”變?yōu)?/span>，“把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍”，變?yōu)?，故選項(xiàng)D錯誤；故選：AC.11．下列選項(xiàng)中正確的是（    ）A．不等式恒成立B．存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立C．若，為正實(shí)數(shù)，則D．若正實(shí)數(shù)，滿足，則【答案】BCD【分析】根據(jù)基本不等式的條件與“1”的用法等依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)時不成立，故錯誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，故正確；對于C選項(xiàng)，若，為正實(shí)數(shù)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故正確；對于D選項(xiàng)，由基本不等式“1”的用法得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故正確.故選：BCD12．已知函數(shù)，則（    ）A．函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時，若在上的最大值為8，則D．當(dāng)時，若在上的最大值為8，則【答案】ACD【分析】根據(jù)判別式判斷A選項(xiàng)的正確性，根據(jù)二次函數(shù)的開口和對稱軸判斷B選項(xiàng)的正確性.利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷CD選項(xiàng)的正確性.【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)對應(yīng)的一元二次方程的判別式，所以函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，A正確；因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象的對稱軸為，且圖象開口向上，所以在上單調(diào)遞增，B不正確；令，則.當(dāng)時，，故在上先減后增，又，故最大值為，解得（負(fù)值舍去）.同理當(dāng)時，，在上的最大值為，解得（負(fù)值舍去）.故C，D正確.故選：ACD．【點(diǎn)睛】本小題主要考查二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題. 三、填空題13．函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)___________.【答案】【分析】由可得圖像所過的定點(diǎn).【詳解】當(dāng)時，，故的圖像過定點(diǎn).填.【點(diǎn)睛】所謂含參數(shù)的函數(shù)的圖像過定點(diǎn)，是指若是與參數(shù)無關(guān)的常數(shù)，則函數(shù)的圖像必過.我們也可以根據(jù)圖像的平移把復(fù)雜函數(shù)的圖像所過的定點(diǎn)歸結(jié)為常見函數(shù)的圖像所過的定點(diǎn)（兩個定點(diǎn)之間有平移關(guān)系）.14．___________.【答案】【解析】結(jié)合指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算，化簡求得表達(dá)的值.【詳解】原式.故答案為：15．已知圓心角為2rad的扇形的周長為12，則該扇形的面積為____________.【答案】9【分析】根據(jù)題意條件，先設(shè)出扇形的半徑和弧長，并找到弧長與半徑之間的關(guān)系，通過已知的扇形周長，可以求解出扇形的半徑和弧長，然后再利用完成求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，由已知得，圓心角，則，因?yàn)樯刃蔚闹荛L為12，所以，所以，，則.故答案為：9.16．已知，，，則的最大值為___________.【答案】【分析】由題知，進(jìn)而令，，再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：，當(dāng)時取等，所以，故令，則，所以，當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為故答案為： 四、解答題17．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用同角三角關(guān)系求出 ，再利用 ；(2)化為齊次式計(jì)算.【詳解】（1），；（2）18．已知函數(shù) 的部分圖像如圖所示.(1)求的解析式；(2)設(shè)為銳角，，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出，和的值即可；（2）利用兩角和差的余弦公式和正弦公式進(jìn)行化簡求解．試題解析：(1)由圖可得,.(2)為鈍角，，.點(diǎn)睛：本題主要考查利用的圖象特征，由函數(shù)的部分圖象求解析式，理解解析式中的意義是正確解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．為振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通過圖象我們可得和,稱為初象，通常解出，之后，通過特殊點(diǎn)代入可得，用到最多的是最高點(diǎn)或最低點(diǎn).19．設(shè)函數(shù)，，.（1）若，且，，求取得最小值時，實(shí)數(shù)，的值；（2）若當(dāng)時，不等式的解集為，求當(dāng)時，不等式的解集.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）利用可得，再利用基本不等式可求的最小值.（2） 先根據(jù)不等式的解集為可得，再就、分類討論后可得不等式的解集.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取得最小值.（2）因?yàn)楫?dāng)時，不等式的解集為，所以方程，即的兩個為和1，所以，即，所以，①當(dāng)時，不等式的解為或；②當(dāng)時，不等式的解為或.綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.20．某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP（即人均純收入）在千美元的地區(qū)銷售該公司A飲料的情況調(diào)查時發(fā)現(xiàn)：該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減.（1）下列幾個模擬函數(shù)：①；②；③；④（x表示人均GDP，單位：千美元，y表示年人均A飲料的銷售量，單位：L）.用哪個模擬函數(shù)來描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系更合適？說明理由；（2）若人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷售量為，人均為4千美元時，年人均A飲料的銷售量為，把（1）中你所選的模擬函數(shù)求出來，并求出各個地區(qū)年人均A飲料的銷售量最多是多少.【答案】(1) 用①來模擬比較合適,見解析(2) .【解析】（1）根據(jù)該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減結(jié)合幾個函數(shù)的增長特征即可得出答案.（2）將、代入解析式，利用待定系數(shù)法即可求解.【詳解】解: （1）用①來模擬比較合適.因?yàn)樵擄嬃显谌司?/span>處于中等的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減，而②③④表示的函數(shù)均是單調(diào)函數(shù)，所以②③④都不合適，故用①來模擬比較合適.（2）因?yàn)槿司?/span>為1千美元時，年人均A飲料的銷售量為，人均為4千美元時，年人均A飲料的銷售量為，所以把，；，代入中，得解得所以函數(shù)的解析式為.因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，年人均A飲料的銷售量最多，最多是.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，會用不同的自變量取值求二次函數(shù)的最值，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.21．已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，解不等式：；（2）若函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象交于不同兩點(diǎn)，，若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）令換元后，解分式不等式，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）由題意轉(zhuǎn)化為方程，令轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求解.【詳解】（1），令，則，所以.（2），令，即，則有，，所以解得，令，則有單調(diào)遞增，且，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決含對數(shù)函數(shù)的較復(fù)雜解析式的函數(shù)問題，利用換元法可化繁為簡，突出問題本質(zhì)，本題換元法處理后，變成簡單的分式不等式及一元二次方程根的問題，解題可變得簡單，注意換元后新元的取值范圍.22．已知函數(shù)滿足：，若，且當(dāng)時，．（1）求a的值；（2）當(dāng)時，求的解析式；并判斷在上的單調(diào)性（不需要證明）；（3）設(shè)，，若，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1）7；（2），單調(diào)遞增；（3）-1.【解析】（1）根據(jù)題意可得，再由即可求解.（2）設(shè)，則，代入即可得出，再由分段函數(shù)單調(diào)性判斷方法即可求解.（3）由（2）知，當(dāng)時，，且由條件知，，根據(jù)的單調(diào)性可得恒成立，設(shè)，只需不等式在上恒成立，討論的取值范圍即可求解.【詳解】（1）由題意，所以，又，因?yàn)?/span>，所以；（2）設(shè)，則，所以，又，代入解得：；顯然，在，上分別是單增函數(shù)，又，而當(dāng)時，，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增；（3）由（2）知，是區(qū)間上單調(diào)遞增，且時，，，且當(dāng)時，設(shè)，則， 且由條件知，；再看函數(shù)，由，即定義域?yàn)?/span>，且在上單減，所以在上單減，又發(fā)現(xiàn)，所以恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則不等式在上恒成立，①當(dāng)時，不等式化為，顯然不滿足恒成立；②當(dāng)時，當(dāng)代入得，矛盾；③當(dāng)時，只需，綜上，實(shí)數(shù)m的值為-1．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了換元法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，考查了分類討論的思想. 

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