?2022-2023學(xué)年河南省南陽市南召縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題3分；共30分）
1．（3分）下列計(jì)算正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）關(guān)于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一個(gè)解是2，則k值為（　?。?br /> A．2或4 B．0或﹣4 C．4或0 D．﹣2或2
3．（3分）拋物線y＝（x+2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
4．（3分）如圖，∠α的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若tanα，則滿足條件的∠α是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．（3分）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的長等于（　?。?br />
A．2 B．4 C． D．
6．（3分）某小組在“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線圖，那么符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（　?。?br />
A．從一副撲克牌中任意抽取一張，這張牌是“紅色的”
B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面朝上”
C．在裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球（除顏色外完全相同）的不透明袋子里隨機(jī)摸出一個(gè)球是“白球”
D．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是6
7．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA，則AB的長是（　?。?br /> A． B． C．60 D．80
8．（3分）如圖．隨機(jī)閉合開關(guān)K1、K2、K3中的兩個(gè)，則能讓兩盞燈泡L1、L2同時(shí)發(fā)光的概率為（　?。?br />
A． B． C． D．
9．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當(dāng)﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時(shí)，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH?PC；④FE：BC，其中正確的個(gè)數(shù)為（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為 　 ?。?br /> 12．（3分）請(qǐng)你寫出一個(gè)二次函數(shù)，其圖象滿足條件：①開口向下；②與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．此二次函數(shù)的解析式可以是　 　．
13．（3分）比較大?。簊in70° 　 　tan70°（填“＞”或“＜”或“＝”）．
14．（3分）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點(diǎn)C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB：BC＝10：1，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓 　 　cm．

15．（3分）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，則PE+PB的最小值為 　 ?。?br />
三、解答題（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）（1）計(jì)算|3﹣2|+2sin60°（π﹣3.14）0+（）2；
（2）解方程（x﹣1）（x+3）＝12．
17．（9分）數(shù)字“122”是中國道路交通事故報(bào)警電話．為推進(jìn)“文明交通行動(dòng)計(jì)劃”，公安部將每年的12月2日定為“交通安全日”．?dāng)?shù)學(xué)社團(tuán)決定從4名同學(xué)（小明，小紅，小強(qiáng)，小芳）中通過抽簽的方式確定2名同學(xué)去參加學(xué)校組織的“文明交通行動(dòng)計(jì)劃”宣傳活動(dòng)．抽簽規(guī)則：將4名同學(xué)的姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，把4張卡片的背面朝上，洗勻后放在桌子上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的3張卡片中隨機(jī)抽取一張，記下名字．被抽到的同學(xué)去參加宣傳活動(dòng)．
（1）“小強(qiáng)被抽中”是 　 　事件（填“不可能”、“必然”、“隨機(jī)”），第一次抽取卡片抽中小強(qiáng)的概率是 　 ??；
（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示這次抽簽所有可能的結(jié)果，并求出小強(qiáng)被抽中的概率．
18．（9分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；
（3）若y＜﹣3，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍 　 ?。?br /> x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣3
0
1
0
…

19．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線與BC，AB的交點(diǎn)分別為D，E．若AD＝10，，求AC的長和tanB的值．

20．（9分）某水果商店銷售一種進(jìn)價(jià)為40元/kg的優(yōu)質(zhì)水果，若售價(jià)為50元/kg，則一個(gè)月可售出500kg；若售價(jià)在50/kg的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元，則月銷售量就減少10kg．
（1）當(dāng)月利潤為8750元時(shí)，每千克水果售價(jià)為多少元？
（2）當(dāng)每千克水果售價(jià)為多少元時(shí)，獲得的月利潤最大？
21．（9分）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺(tái)階的剖面在同一平面，在臺(tái)階底部點(diǎn)A處測得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角∠GAE＝50.2°，臺(tái)階AB長26米，臺(tái)階坡面AB的坡度i＝1：2.4，在點(diǎn)B處測得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角∠EBF＝63.4°，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）

22．（10分）閱讀材料：
材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2，x1x2．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2＝　 　．x1x2＝　 ?。?br /> （2）類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根分別為m、n，求的值．
（3）思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
23．（10分）問題背景：
一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明．
嘗試證明：
（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明：；
應(yīng)用拓展：
（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的長（用含m，α的式子表示）．



2022-2023學(xué)年河南省南陽市南召縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分；共30分）
1．（3分）下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)二次根式的加減法則，二次根式的乘法法則和除法法則進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．和不能合并同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．3和﹣2不能合并同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．3，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
2．（3分）關(guān)于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一個(gè)解是2，則k值為（　?。?br /> A．2或4 B．0或﹣4 C．4或0 D．﹣2或2
【分析】直接把x＝2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4+8k+2k2＝4，然后解關(guān)于k的一元二次方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+4kx+2k2＝4，
得4+8k+2k2＝4，
整理得k2+4k＝0，
解得k1＝0，k2＝﹣4，
即k的值為0或﹣4．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，正確記憶能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題關(guān)鍵．
3．（3分）拋物線y＝（x+2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】已知拋物線的頂點(diǎn)式可直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，拋物線y＝（x+2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，1）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即拋物線y＝（x+a）2+h中，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣a，h）．
4．（3分）如圖，∠α的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若tanα，則滿足條件的∠α是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)正切的定義分別求出每個(gè)圖形中的α的正切值可得答案．
【解答】解：A．觀察圖形可得tanα，符合題意；
B．觀察圖形可得tanα，不符合題意；
C．觀察圖形可得tanα，不符合題意；
D．觀察圖形可得tanα，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并能在解直角三角形中靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的長等于（　　）

A．2 B．4 C． D．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到，即，可計(jì)算出BC，然后利用CE＝BE﹣BC進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
∴BC，
∴CE＝BE﹣BC＝12．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
6．（3分）某小組在“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線圖，那么符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（　　）

A．從一副撲克牌中任意抽取一張，這張牌是“紅色的”
B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面朝上”
C．在裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球（除顏色外完全相同）的不透明袋子里隨機(jī)摸出一個(gè)球是“白球”
D．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是6
【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.16附近波動(dòng)，即其概率P≈0.16，計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為0.16者即為正確答案．
【解答】解：A、從一副撲克牌中任意抽取一張，這張牌是“紅色的”的概率是0.16，故此選項(xiàng)不符合要求；
B、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面朝上”的概率0.5＞0.16，故此選項(xiàng)不符合要求；
C、從一裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球的袋子中任取一球，取到白球的概率是0.67＞0.16，故此選項(xiàng)不符合要求；
D、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是6的概率0.16，故此選項(xiàng)符合要求，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．同時(shí)此題在解答中要用到概率公式．
7．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA，則AB的長是（　?。?br /> A． B． C．60 D．80
【分析】利用三角函數(shù)定義計(jì)算出BC的長，然后再利用勾股定理計(jì)算出AB長即可．
【解答】解：∵AC＝100，sinA，
∴BC＝60，
∴AB80，
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握正弦定義．
8．（3分）如圖．隨機(jī)閉合開關(guān)K1、K2、K3中的兩個(gè)，則能讓兩盞燈泡L1、L2同時(shí)發(fā)光的概率為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】找出隨機(jī)閉合開關(guān)K1、K2、K3中的兩個(gè)的情況數(shù)以及能讓兩盞燈泡L1、L2同時(shí)發(fā)光的情況數(shù)，即可求出所求概率．
【解答】解：畫樹狀圖，如圖所示：

隨機(jī)閉合開關(guān)K1、K2、K3中的兩個(gè)有六種情況：閉合K1K2，閉合K1K3，閉合K2K1，閉合K2K3，閉合K3K1，閉合K3K2，
能讓兩盞燈泡L1、L2同時(shí)發(fā)光的有兩種情況：閉合K2K3，閉合K3K2，
則P（能讓兩盞燈泡L1、L2同時(shí)發(fā)光）．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹狀圖法，弄清題中的電路圖是解本題的關(guān)鍵．
9．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當(dāng)﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時(shí)，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】首先求出拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可解決問題．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴對(duì)稱軸x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），
當(dāng)y＝0時(shí)，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，0），（3，0），
∴當(dāng)﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時(shí)，y2＜y1＜y3，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，記住在拋物線的左右函數(shù)的增減性不同，確定對(duì)稱軸的位置是關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH?PC；④FE：BC，其中正確的個(gè)數(shù)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正確；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正確；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH?PC，故③正確；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°
∴AEABBC，
∵∠DCF＝30°，
∴DFDCBC，
∴EF＝AE+DF﹣BCBC，
∴FE：BC＝（23）：3
故④正確，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．（3分）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為 　x≥5　．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出x﹣5≥0，求出即可．
【解答】解：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案為：x≥5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件和解一元一次不等式，能得出關(guān)于x的不等式是解此題的關(guān)鍵．
12．（3分）請(qǐng)你寫出一個(gè)二次函數(shù)，其圖象滿足條件：①開口向下；②與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．此二次函數(shù)的解析式可以是　y＝﹣x2+3（答案不唯一）?。?br /> 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出a＜0，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出c＝3，取a＝﹣1，b＝0即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c．
∵拋物線開口向下，
∴a＜0．
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴c＝3．
取a＝﹣1，b＝0時(shí)，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3．
故答案為：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出a＜0，c＝3是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）比較大?。簊in70° ?。肌an70°（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合分子相同，分母越大，分?jǐn)?shù)越小，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵sin70°，tan70°，
∴sin70°＜tan70°．
故答案為：＜．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
14．（3分）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，點(diǎn)C是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí)，杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿的B端必須向上翹起5cm，已知AB：BC＝10：1，要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓 　45　cm．

【分析】過點(diǎn)C作水平線PH，過點(diǎn)A作AP⊥PH于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BH⊥PH于點(diǎn)H，由∠APC＝∠BHC＝90°，∠ACP＝∠BCH，證明△ACP∽△BCH，利用相似三角形的性質(zhì)得出AP＝4BH，進(jìn)而得出當(dāng)BN≥8cm時(shí)，AP≥32cm，即可得出答案．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作水平線PH，過點(diǎn)A作AP⊥PH于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BH⊥PH于點(diǎn)H，

∵AP⊥PH，BH⊥PH，
∴∠APC＝∠BHC＝90°，
∵∠ACP＝∠BCH，
∴△ACP∽△BCH，
∴，
∵AB：BC＝10：1，
∵AC：BC＝9，
∴AP：BH＝9，即AP＝9BH，
∴當(dāng)BN≥5cm時(shí)，AP≥45cm，
∴要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓45cm，
故答案為：45．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，則PE+PB的最小值為 　6　．

【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PB的最小值為B′E的長度；然后求出B′B和BE的長度，再利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE+PB的最小值為B′E的長度，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，
∴tan∠ACB，
∴∠ACB＝30°，
由對(duì)稱的性質(zhì)可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，
∴BFBC＝2，∠CBF＝60°，
∴B′B＝2BF＝4，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，
∴B′E6，
∴PE+PB的最小值為6，
故答案為：6．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的找到點(diǎn)P使得PE+PB有最小值．
三、解答題（10+9+9+9+9+9+10+10＝75分）
16．（10分）（1）計(jì)算|3﹣2|+2sin60°（π﹣3.14）0+（）2；
（2）解方程（x﹣1）（x+3）＝12．
【分析】（1）原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，以及乘方的意義計(jì)算即可求出值；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）原式＝1+231
＝131
＝﹣2；
（2）方程整理得：x2+2x﹣15＝0，
這里a＝1，b＝2，c＝﹣15，
∵Δ＝4+60＝64＞0，
∴x，
解得：x1＝3，x2＝﹣5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握運(yùn)算法則及方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
17．（9分）數(shù)字“122”是中國道路交通事故報(bào)警電話．為推進(jìn)“文明交通行動(dòng)計(jì)劃”，公安部將每年的12月2日定為“交通安全日”．?dāng)?shù)學(xué)社團(tuán)決定從4名同學(xué)（小明，小紅，小強(qiáng)，小芳）中通過抽簽的方式確定2名同學(xué)去參加學(xué)校組織的“文明交通行動(dòng)計(jì)劃”宣傳活動(dòng)．抽簽規(guī)則：將4名同學(xué)的姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，把4張卡片的背面朝上，洗勻后放在桌子上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的3張卡片中隨機(jī)抽取一張，記下名字．被抽到的同學(xué)去參加宣傳活動(dòng)．
（1）“小強(qiáng)被抽中”是 　隨機(jī)　事件（填“不可能”、“必然”、“隨機(jī)”），第一次抽取卡片抽中小強(qiáng)的概率是 　??；
（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示這次抽簽所有可能的結(jié)果，并求出小強(qiáng)被抽中的概率．
【分析】（1）由隨機(jī)事件的定義和概率公式即可得出答案；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中小強(qiáng)被抽中的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）“小強(qiáng)被抽中”是隨機(jī)事件，第一次抽取卡片抽中小強(qiáng)的概率是；
故答案為：隨機(jī)，；
（2）把小明，小紅，小強(qiáng)，小芳4名同學(xué)的卡片分別記為：A、B、C、D，
畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中小強(qiáng)被抽中的結(jié)果有6種，
∴小強(qiáng)被抽中的概率為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了樹狀圖法求概率以及隨機(jī)事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．
18．（9分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表：
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；
（3）若y＜﹣3，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍 　x＞3或x＜﹣1　．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣3
0
1
0
…

【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對(duì)稱性可得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣1）2+1，然后把點(diǎn)（0，0）代入求出a即可；
（2）利用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象；
（3）根據(jù)y＝﹣3時(shí)x的值，再結(jié)合函數(shù)圖象得出y＜﹣3時(shí)x的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意可得二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝a（x﹣1）2+1，
把點(diǎn)（0，0）代入y＝a（x﹣1）2+1，得a＝﹣1，
故拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+1，即y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，拋物線頂點(diǎn)為（1，1），對(duì)稱軸為直線x＝1，過原點(diǎn)，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，拋物線過（2，0）
拋物線的圖象如圖所示：

（3）當(dāng)y＝﹣3時(shí)，﹣x2+2x＝﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)y＜﹣3時(shí)，x＞3或x＜﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
19．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線與BC，AB的交點(diǎn)分別為D，E．若AD＝10，，求AC的長和tanB的值．

【分析】在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，從而利用勾股定理求出CD的長，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DB＝10，從而求出BC的長，最后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝10，，
∴AC＝AD?sin∠ADC＝108，
∴CD6，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴DA＝DB＝10，
∴BC＝CD+DB＝16，
在Rt△ABC中，tanB，
∴AC的長為8，tanB的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
20．（9分）某水果商店銷售一種進(jìn)價(jià)為40元/kg的優(yōu)質(zhì)水果，若售價(jià)為50元/kg，則一個(gè)月可售出500kg；若售價(jià)在50/kg的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元，則月銷售量就減少10kg．
（1）當(dāng)月利潤為8750元時(shí)，每千克水果售價(jià)為多少元？
（2）當(dāng)每千克水果售價(jià)為多少元時(shí)，獲得的月利潤最大？
【分析】（1）設(shè)每千克水果售價(jià)為x元，由利潤＝每千克的利潤×銷售的數(shù)量，可列方程，即可求解．
（2）設(shè)每千克水果售價(jià)為x元，獲得的月利潤為w元，則每千克的銷售利潤為（x﹣40）元，月銷售量為（1000﹣10x）千克，利用月利潤＝每千克的銷售利潤×月銷售量，即可得出w關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)每千克水果售價(jià)為x元，
由題意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售價(jià)為65元或75元；
（2）設(shè)每千克水果售價(jià)為x元，獲得的月利潤為w元，
則每千克的銷售利潤為（x﹣40）元，月銷售量為[500﹣10（x﹣50）]千克，
依題意得：w＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
＝﹣10x2+1400x﹣40000
＝﹣10（x﹣70）2+9000．
∵﹣10＜0，
∴當(dāng)x＝70時(shí)，w取得最大值，最大值為9000．
答：當(dāng)每千克水果售價(jià)為70元時(shí)，獲得的月利潤最大，月利潤的最大值是9000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
21．（9分）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺(tái)階的剖面在同一平面，在臺(tái)階底部點(diǎn)A處測得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角∠GAE＝50.2°，臺(tái)階AB長26米，臺(tái)階坡面AB的坡度i＝1：2.4，在點(diǎn)B處測得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角∠EBF＝63.4°，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）

【分析】如圖，延長EF交AG于點(diǎn)H，則EH⊥AG，作BP⊥AG于點(diǎn)P，則四邊形BFHP是矩形，設(shè)EF＝a米，BF＝b米，構(gòu)建方程組求解．
【解答】解：如圖，延長EF交AG于點(diǎn)H，則EH⊥AG，作BP⊥AG于點(diǎn)P，則四邊形BFHP是矩形，

∴FB＝PH，F(xiàn)H＝PB，
由i＝1：2.4，可以假設(shè)BP＝x，AP＝2.4x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（x）2+（2.4x）2＝262，
∴x＝10或﹣10（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
設(shè)EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF，
∴2，
∴a≈2b①，
∵tan∠EAH，
∴1.2②，
由①②得a≈47，b≈23.5，
答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題．
22．（10分）閱讀材料：
材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2，x1x2．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：
（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2＝　?。畑1x2＝　　．
（2）類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根分別為m、n，求的值．
（3）思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：m+n，mn，再利用分式的化簡求值的方法進(jìn)行運(yùn)算即可；
（3）可把s與t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有s+t，st，再利用分式的化簡求值的方法進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，
∴x1+x2，x1x2，
故答案為：，；
（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根分別為m、n，
∴m+n，mn，
∴



；
（3）∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，
∴s與t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴s+t，st，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝（）2﹣4×（），
（s﹣t）2，
∴s﹣t，
∴



．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡求值，解答的關(guān)鍵是把s，t看作是相應(yīng)的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
23．（10分）問題背景：
一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來證明．
嘗試證明：
（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明：；
應(yīng)用拓展：
（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的長（用含m，α的式子表示）．


【分析】（1）證明△CED∽△BAD，由相似三角形的性質(zhì)得出，證出CE＝CA，則可得出結(jié)論；
（2）①由折疊的性質(zhì)可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，由勾股定理求出BC，則可求出答案；
②由折疊的性質(zhì)得出∠C＝∠AED＝α，則tan∠C＝tanα，方法同①可求出CD，則可得出答案．
【解答】（1）證明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，
∴，
∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，
∴．
（2）解：①∵將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，
由（1）可知，，
又∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC，
∴BD+CD，
∴3CD，
∴CD；
∴DE；
②∵將△ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，
∴tan∠C＝tanα，
由（1）可知，，
∴tanα，
∴BD＝CD?tanα，
又∵BC＝BD+CD＝m，
∴CD?tanα+CD＝m，
∴CD，
∴DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/1/20 14:22:04；用戶：單靜怡；郵箱：zhaoxia39@xyh.com；學(xué)號(hào)：39428212

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