2022-2023學(xué)年遼寧省大連市第八中學(xué)高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以．故選：B.2．命題：，，則該命題的否定為（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】根據(jù)特稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由特稱命題的否定可知，原命題的否定為：，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題否定的改寫，解題的關(guān)鍵就是弄清特稱命題的否定與全稱命題之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3．已知，，，則（    ）A．  B． C．  D． 【答案】B【分析】先利用函數(shù)單調(diào)性求得，，，進(jìn)而求得之間的大小關(guān)系【詳解】因?yàn)?/span>，，所以．故選：B．4．已知，則“”是“”的（    ）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解不等式，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】由可得，解得或，因?yàn)?/span>或?，因此，“”是“”的必要不充分條件，故選：A.5．某讀書會(huì)有5名成員，寒假期間他們每個(gè)人閱讀的節(jié)本數(shù)分別如下：3，5，4，2，1，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（    ）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】B【分析】這組數(shù)從小到大排列順序?yàn)椋?/span>1，2，3，4，5，根據(jù)，結(jié)合百分?jǐn)?shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意，這組數(shù)從小到大排列順序?yàn)椋?/span>1，2，3，4，5，且，可得這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大排列的第3個(gè)數(shù)和第4個(gè)數(shù)的平均數(shù)為.故選：B.6．某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，之后增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤與時(shí)間的關(guān)系，可選用A．一次函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù) D．對數(shù)型函數(shù)【答案】D【分析】分別分析一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性以及其變化快慢結(jié)合題意即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，一次函數(shù)增長的速度不變，不滿足題意；要滿足調(diào)整后初期利潤增長迅速，如果是二次函數(shù)，則必須開口向上，而此時(shí)在二次函數(shù)對稱軸的右側(cè)增長的速度是越來越快，沒有慢下來的可能，不符合要求；要滿足調(diào)整后初期利潤增長迅速，如果是指數(shù)函數(shù)，則底數(shù)必是大于1的數(shù)，而此時(shí)指數(shù)函數(shù)增長的速度也是越來越快的，也不滿足要求；對于對數(shù)函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，對數(shù)函數(shù)增長的速度先快后慢，符合要求，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，熟練掌握它們的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7．我國的5G通信技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)（Shannon）公式，香農(nóng)提出并嚴(yán)格證明了“在被高斯白噪聲干擾的信道中，計(jì)算最大信息傳送速率的公式，其中是信道帶寬（赫茲），是信道內(nèi)所傳信號的平均功率（瓦），是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率（瓦），其中叫做信噪比．根據(jù)此公式，在不改變的前提下，將信噪比從99提升至，使得大約增加了60%，則的值大約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A．1559 B．3943 C．1579 D．2512【答案】C【解析】由題意可得的方程，再由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【詳解】由題意得：，則，，故選：C8．若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題. 二、多選題9．若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性可得出關(guān)于的等式與不等式，求出的值，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，，解得，故，所以，.故選：AB.10．定義在上的偶函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則下列判斷錯(cuò)誤的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用特殊值法可判斷AD選項(xiàng)；利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷BC選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò).故選：ABD.11．已知實(shí)數(shù)，滿足等式，則下列關(guān)系式中可能成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，再作出一條直線與兩個(gè)圖象相交，借助圖象分析，滿足等式時(shí)，的大小關(guān)系，【詳解】函數(shù)和函數(shù)的圖象如圖所示：若，均為正數(shù)，則；若，均為負(fù)數(shù)，則，若，，故選：ABC．12．古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設(shè)身高為，運(yùn)用黃金分割比例，結(jié)合圖形得到對應(yīng)成比例的線段，計(jì)算可估計(jì)身高.【詳解】設(shè)頭頂、咽喉、肚臍、足底分別為點(diǎn),假設(shè)身高為，即，人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，,.，且，，,，人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比均是，,,,且，，，,,由題意可得，，，,故BC正確.故選：BC 三、填空題13．已知一組樣本數(shù)據(jù)、、、的極差為，若，則其方差為______．【答案】##【分析】根據(jù)極差的定義可求得的值，再根據(jù)方差的定義可求得這組數(shù)據(jù)的方差.【詳解】因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)的極差為，所以，解得．因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以，這組數(shù)據(jù)的方差為.故答案為：.14．已知，則的最小值為，取得最小值時(shí)，則______．【答案】【分析】利用基本不等式可求得的值，利用等號成立的條件可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故，，所以，．故答案為：.15．已知，則等于______．【答案】【分析】計(jì)算出的值，即可得解.【詳解】對任意的，，則，故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>．所以，．故答案為：.16．已知函數(shù)，且函數(shù)恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可知，函數(shù)與直線的圖象有個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上的圖象可視為函數(shù)在上的圖象每次向右平移個(gè)單位后得到，①若函數(shù)的圖象恒在直線的下方時(shí)，則，則，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，不合乎題意；②若函數(shù)的圖象與直線相切，對于方程，即，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；③若時(shí)，如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在上的圖象有個(gè)交點(diǎn)，若使得函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在上的圖象只有個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)與函數(shù)在上的圖象必有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 四、解答題17．計(jì)算下列各式的值：(1)(2)【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值；（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式.18．已知集合，，．(1)求集合、；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可分別求得集合、；（2）求出集合，利用集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：，.（2）解：由（1）可知或，顯然，因?yàn)?/span>，所以，或，解得或.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2) 【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)法可求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由可得出，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及二次不等式的解法，結(jié)合可得出的取值范圍.【詳解】（1）解：對于函數(shù)，有，解得或，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，外層函數(shù)為增函數(shù)，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）解：由可得，即，即，所以，，因?yàn)?/span>，解得.因此，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.20．統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入情況調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本頻率分布直方圖，每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)，如第一組表示收入在元之間．（1）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10 000人中用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在的應(yīng)抽取多少人；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).【答案】（1）25；（2）1900；（3）1900.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以， 月收入在的頻率為0.25，所以分層抽樣抽出100人中月收入在的人數(shù)為；（2）收入在的頻率是0.3，收入在的頻率是，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在，且為（元）（3）（元）所以平均數(shù)為1900元.21．已知函數(shù)．（1）是否存在實(shí)數(shù)使得為奇函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)，若不存在，請說明理由；（2）在（1）的結(jié)論下，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）通過奇函數(shù)的性質(zhì)，可以求出，然后證明是奇函數(shù)即可；（2）對函數(shù)求導(dǎo)可證明是上單調(diào)遞增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)，原不等式等價(jià)于，從而，即，再求出在上的最小值，令小于得到的最小值即可．【詳解】（1）若為奇函數(shù)，則， 即，解得，，故存在，使得為奇函數(shù)（2）（），，則在上為增函數(shù)，∵為奇函數(shù)，，即， 又在上為增函數(shù)，∴，則恒成立，令，則， 令，，∴【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，考查了含參不等式恒成立問題，屬于難題．22．已知函數(shù)與，其中是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值及的值域；(2)求函數(shù)的定義域；(3)若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>(2)答案見解析(3) 【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義可求得實(shí)數(shù)的值，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式可求得函數(shù)的值域；（2）由已知可得出，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解得函數(shù)的定義域；（3）令，由可知關(guān)于的方程有且只有一個(gè)正根，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由函數(shù)是偶函數(shù)可知，所以，，所以，，則，故，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故函數(shù)的值域?yàn)?/span>.（2）解：對于函數(shù)，則有.當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.（3）解：函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程有且只有一個(gè)實(shí)根，即方程有且只有一個(gè)實(shí)根，令，則方程有且只有一個(gè)正根.①當(dāng)時(shí)，，不合題意;②當(dāng)時(shí)，由得或，若，則不合題意；若，則滿足要求.若，可得或.則此時(shí)方程應(yīng)有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根，所以，，解得，因?yàn)?/span>或，故.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 

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