2022-2023學(xué)年江蘇省南京市第五高級中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】解方程求得集合，由并集定義可求得結(jié)果.【詳解】，.故選：.2．命題“”的否定為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定是存在量詞命題即可求解.【詳解】由于全稱命題的否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定為“”.故選：C.3．下面各組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】對于每個選項中的兩個函數(shù)，分別看它們的定義域、對應(yīng)關(guān)系以及值域是否一樣，即可判斷是否為同一函數(shù).【詳解】A中，和 定義域和解析式相同，因此為同一函數(shù)；B中定義域是R，而的定義域是 ，二者不是同一函數(shù)；C中前者函數(shù)的定義域中 ，后者可以，因此不是同一函數(shù)；D中前者函數(shù)定義域中 ，而后者可以，因此二者不是同一函數(shù)，故選：A.4．對于實數(shù)，“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】試題分析：由于不等式的基本性質(zhì)，“a＞b”?“ac＞bc”必須有c＞0這一條件．解：主要考查不等式的性質(zhì)．當(dāng)c=0時顯然左邊無法推導(dǎo)出右邊，但右邊可以推出左邊．故選B【解析】不等式的性質(zhì)點評：充分利用不等式的基本性質(zhì)是推導(dǎo)不等關(guān)系的重要條件． 5．青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V和五分記錄法的數(shù)據(jù)L滿足，已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（    ）（注：）A．0.6 B．0.8 C．1.2 D．1.5【答案】B【分析】當(dāng)時，即可得到答案.【詳解】由題意可得當(dāng)時故選：B6．已知函數(shù)，則的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除A，再由時，時排除BC即可.【詳解】∵，定義域為，關(guān)于原點對稱，∴，故是偶函數(shù)，排除A；當(dāng)時，，即，，所以，當(dāng)時，又有，因此，排除B，C.故選：D.7．若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在每段上要為增函數(shù)，且當(dāng)時，，從而可求得答案【詳解】由題意得，解得．故選：B8．定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式組，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：C.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關(guān)結(jié)合奇函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求解不等式的問題，解題思路如下：（1）根據(jù)奇函數(shù)某個區(qū)間上的單調(diào)性以及所給的函數(shù)的一個零點，得出上圖象的特征；（2）對于不等式，分類轉(zhuǎn)化為不等式組，求得結(jié)果；（3）在解題的過程中，不要忽略. 二、多選題9．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，狄利克雷函數(shù)就以其名命名，其解析式為，關(guān)于函數(shù)有以下四個命題，其中真命題是（   ）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)是奇函數(shù)【答案】ABC【解析】根據(jù)自變量是有理數(shù)和無理數(shù)進行討論，可判定A、C、D，舉特例根據(jù)和可判斷B即可得到答案.【詳解】對于A中，若自變量是有理數(shù)，則，若自變量是無理數(shù)，則，所以A是真命題；當(dāng)是無理數(shù)，是無理數(shù)，則是無理數(shù)，則，滿足，所以B正確；對于C，當(dāng)為有理數(shù)時，則為有理數(shù)，則．當(dāng)為無理數(shù)時，則為無理數(shù)，則．故當(dāng)時，，∴函數(shù)為偶函數(shù)，所以C是真命題；對于D中，若自變量是有理數(shù)，則也是有理數(shù)，可得，所以不是奇函數(shù)，D不正確.所以D是假命題；故選：ABC.10．已知關(guān)于的不等式的解集為，下列說法正確的是（    ）A．B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件得和是方程的兩個實根，且，根據(jù)韋達定理可得，根據(jù)且，對四個選項逐個求解或判斷即可.【詳解】因為關(guān)于的不等式解集為，所以和是方程的兩個實根，且，故A正確；所以，，所以，因為，又，所以，故B正確；不等式可化為，因為，所以，故C錯誤；不等式可化為，又，所以，即，解得，故D正確.故選：ABD.11．下列選項正確的是（    ）A．若，則的最小值為4B．若，則的最小值是2C．若，則的最大值為D．若正實數(shù)，滿足，則的最小值為8【答案】CD【分析】結(jié)合基本不等式一正，二定，三相等條件分別檢驗各選項，即可判斷．【詳解】解：當(dāng)時，顯然不成立；令，則，，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時，取得最小值，錯誤；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，此時取得最大值，正確；正實數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，此時的最小值為8，正確．故選：．12．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，下列說法正確的是（    ）A．時，函數(shù)解析式為B．函數(shù)在定義域上為增函數(shù)C．不等式的解集為D．不等式恒成立【答案】BC【解析】對于A，利用奇函數(shù)定義求時，函數(shù)解析式為；對于B，研究當(dāng)時，的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，知在上的單調(diào)性；對于C，求出，不等式，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性解不等式；對于D，分類討論與兩種情況是否恒成立.【詳解】對于A，設(shè)，，則，又是奇函數(shù)，所以，即時，函數(shù)解析式為，故A錯；對于B，，對稱軸為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，所以在上為增函數(shù)，故B對；對于C，由奇函數(shù)在上為增函數(shù)，則時，，解得，（舍去），即，所以不等式，轉(zhuǎn)化為，又在上為增函數(shù)，得，解得，所以不等式的解集為，故C對；對于D，當(dāng)時，，當(dāng)時，不恒大于0，故D錯；故選：BC【點睛】方法點睛：考查了解抽象不等式，要設(shè)法把隱性劃歸為顯性的不等式求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為的模型；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組）來求解，但要注意奇偶函數(shù)的區(qū)別.考查了利用奇偶性求函數(shù)解析式，求函數(shù)解析式常用的方法：（1）已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式；（2）已知函數(shù)奇偶性，用奇偶性定義求解析式；（3）已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法；（4）若與或滿足某個等式，可構(gòu)造另一個等式，通過解方程組求解； 三、填空題13．函數(shù)的定義域為___________.【答案】【分析】根據(jù)被開方數(shù)不小于零，分母不為零列式計算即可.【詳解】由已知得，解得且故函數(shù)定義域為.故答案為：.14．已知集合，若，則實數(shù)的值為________.【答案】1【分析】由可得，列式計算并借助集合元素的互異性判斷作答.【詳解】在集合中，且，即且，因，則，于是得，而，因此，所以實數(shù)的值為1.故答案為：115．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是___________．【答案】【分析】分段函數(shù)不等式問題，可以結(jié)合圖像或通過分類討論解決﹒【詳解】f(x)如圖所示：當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，則，要使，則或，解得或，即．故答案為：16．已知，，且，則的最小值為______．【答案】5【解析】首先利用條件變形，展開后利用基本不等式求最小值.【詳解】 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為5.故答案為：5【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用“1”的變形，是本題的關(guān)鍵，. 四、解答題17．計算：（1）（2）【答案】（1）2；（2）.【分析】利用對數(shù)和指數(shù)冪運算公式計算即可.【詳解】（1）原式=.（2）原式=.18．已知．（1）用定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值以及取最值時的值．【答案】（1）證明見詳解；（2），．【分析】（1）用單調(diào)性定義證明，任取，，且，然后證明；（2）由（1）的單調(diào)性易得最值．【詳解】（1）任取，，且，則.∵，∴，，∵，即，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，．19．已知集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若________，求實數(shù)的取值范圍．(注：從①；②；③“x∈A”是”x∈B”的必要不充分條件．這三個條件中任選一個，補充在上面的問題橫線處，并進行解答，如果選擇多個條件進行解答，則按照選擇的第一個計分．)【答案】(1)，(2)條件選擇見解析， 【分析】（1）當(dāng)時，，結(jié)合交并補的混合運算求解即可；（2）若選①，，則，結(jié)合邊界值建立不等式即可求解；若選②，化簡得，或，再結(jié)合邊界值建立不等式即可求解；若選③，“”是“”的必要不充分條件，則，再結(jié)合邊界值建立不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，又，所以，或，所以；（2）若選擇①，則，因為，所以，解得．所以實數(shù)的取值范圍為；若選擇②，因為，且或，所以，解得．所以實數(shù)的取值范圍為；若選擇③“”是“”的必要不充分條件，則，因為，，所以，解得．所以實數(shù)的取值范圍為；20．在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個面積為的矩形區(qū)域作為市民休閑鍛煉的場地(如圖所示)，按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價為元，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為元．設(shè)矩形的長為()(1)將總造價(元)表示為長度的函數(shù)：(2)如果當(dāng)?shù)卣斦芸?/span>萬元，不考慮其他因素，僅根據(jù)總造價情況，判斷能否修建起該市民休閑鍛煉的場地?【答案】(1)，(2)僅限最低造價情況，能夠修建起該市民休閑鍛煉的場地 【分析】（1）由題干直接列式；（2）根據(jù)不等式可得，進而可判斷是否能夠修建起該市民休閑鍛煉的場地.【詳解】（1）解：由矩形的長為，則矩形的寬為，則中間區(qū)域的長為，寬為，則定義域為，則，整理得，．（2）解：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即．所以當(dāng)時，總造價最低為萬元萬元．故僅限最低造價情況，能夠修建起該市民休閑鍛煉的場地.21．已知函數(shù)，．(1)若對任意的恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍；(3)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)2(2)(3)答案見解析 【分析】（1）由條件可得，解出即可；（2）由的開口方向和對稱軸可建立不等式求解；（3）由得：，然后分 、、 三種情況解出不等式即可.【詳解】（1）因為對任意的恒成立，則判別式即所以（2）因為函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，其對稱軸為直線由二次函數(shù)圖象可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為因為在上單調(diào)遞減，所以所以（3）由得：由得或①當(dāng)時，不等式的解集是②當(dāng)時，不等式的解集是③當(dāng)時，不等式的解集是綜上，①當(dāng)時，不等式的解集是②當(dāng)時，不等式的解集是③當(dāng)時，不等式的解集是22．對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點.已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的不動點；(2)若對任意實數(shù)n，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若的兩個不動點為，且，當(dāng)時，求實數(shù)n的取值范圍.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由，得到，再利用不動點的定義求解；（2）根據(jù)恒有兩個不動點，轉(zhuǎn)化為恒有兩個不等實根，利用判別式求解；（3）由題意得到，進而得到，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，設(shè)為不動點，因此，解得或，所以為函數(shù)的不動點.（2）因為恒有兩個不動點，即恒有兩個不等實根，整理為，所以且恒成立.即對于任意恒成立.令，則，解得.（3）因為，所以，設(shè)，因為，所以，由P函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以. 

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