1. 設集合，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解集合對應不等式，后由集合交集定義可得答案.
【詳解】解，得，故.
解，得，故
則，即.
故選：D
2. 設，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則求出復數(shù)的代數(shù)形式，再由模的公式求其模.
【詳解】因為，所以，
所以，
故選：A.
3. 已知向量、為單位向量，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解：因為向量、為單位向量，所以，
若，則，
則，即，
即，即，所以，故充分性成立，
若，則，所以，
即，所以，，
所以成立，故必要性成立，
故是充分必要條件；
故選：C
4. 已知（為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）
A. 90B. 10C. 10D. 90
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，得，然后求出二項式展開式的通項公式，由的次數(shù)為零，求出，從而可求出常數(shù)項.
【詳解】因為（為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，
所以，得，
所以，
則其展開式的通項公式為，
令，得，
所以該展開式中的常數(shù)項為，
故選：A
5. 已知隨機變量，，且，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)隨機變量可知，再根據(jù)，，可求出，利用，建立方程，即可求出結果.
【詳解】因為隨機變量，所以，
因為，，所以，即，
又
所以，即.
故選：B.
6. 德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點A、B是的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的一個動點，當C在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當?shù)耐饨訄A與邊OM相切于點C時，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點D．E的坐標分別是，，F(xiàn)是x軸正半軸上的一動點，當最大時，點F的橫坐標為（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)米勒定理可知，當?shù)耐饨訄A與軸相切時，最大，利用圓的垂徑定理和三角形外接圓的性質，即可求解.
【詳解】因為點D、E是y軸正半軸上的兩個定點，點F是x軸正半軸上的一個動點，
根據(jù)米勒定理可知，當?shù)耐饨訄A與x軸相切時，最大，
由垂徑定理可知，弦DE的垂直平分線必過的外接圓圓心，
所以弦DE中點G的縱坐標，即為外接圓半徑的大小，即，
設的外接圓的圓心為，其中，則，即，
解得，所以的外接圓的方程為，
令，可得，即點F的橫坐標為.
故選：C．
7. 設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性定義可判斷出為定義在上的奇函數(shù)；結合導數(shù)、奇偶性可求得在上單調遞增；將所求不等式化為，由單調性可解得結果.
【詳解】由題意知：定義域為；
，
為定義在上的奇函數(shù)；
令，則，在上單調遞增；
又在上單調遞增，
在上單調遞增，又為奇函數(shù)，在上單調遞增；
由得：，
，解得：，即的取值范圍為.
故選：A.
8. 已知雙曲線C：的右焦點為F，左頂點為A，M為C的一條漸近線上一點，延長FM交y軸于點N，直線AM經(jīng)過ON（其中O為坐標原點）的中點B，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由中點B，且得，由點到直線距離公式得，從而得，通過三角形全等證得△MNB為等邊三角形，然后得，從而計算出離心率．
【詳解】記M為雙曲線C：的漸近線上的點，因為，且，所以，．
所以．因為右焦點到漸近線的距離，
所以．所以，所以，
所以，所以，
又因為，．
所以△MNB為等邊三角形，所以，所以，
即，所以．
故選：A．
二.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 對兩個變量和進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)，，，…，.則下列結論正確的是（ ）
A. 若其經(jīng)驗回歸方程為，當解釋變量每增加1個單位，預報變量增加0.8個單位
B. 若其經(jīng)驗回歸方程必過點，則
C. 若根據(jù)這組數(shù)據(jù)得到樣本相關系數(shù)，則說明樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度較強
D. 若用相關指數(shù)來刻畫回歸效果，回歸模型1的相關指數(shù)，回歸模型2的相關指數(shù)，則模型1的擬合效果更好
【答案】ABC
【解析】
【分析】依據(jù)回歸方程的含義判斷A,B選項，利用相關系數(shù)與相關指數(shù)的定義判斷選項C,D.
【詳解】在經(jīng)驗回歸方程中，一次項系數(shù)為0.8，故當解釋變量每增加1個單位，預報變量增加0.8個單位，故A正確；
在經(jīng)驗回歸方程中恒過樣本中心，則，故，故B正確；
相關系數(shù)，則樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強．故C正確；
相關指數(shù)越大，模型擬合效果越好，故D錯誤．
故選：ABC．
10. 為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（ ）
A. 縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍
B. 縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的
C. 向上平移一個單位長度
D. 向下平移一個單位長度
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換求得結果.
【詳解】解：由題意函數(shù)的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，
可得到函數(shù)的圖象，則錯誤，B正確；
因為，
則將函數(shù)的圖象向上平移一個單位可得到函數(shù)的圖象，
則C正確，D錯誤.
故選：BC.
11. 已知點為坐標原點，直線與拋物線相交于、兩點，則（ ）
A. B.
C. 的面積為D. 線段的中點到軸的距離為2
【答案】AC
【解析】
【分析】通過解方程組求出交點坐標，結合兩點間距離公式、點到直線距離公式、中點坐標公式、直線垂直的性質逐一判斷即可.
【詳解】由，
不妨設，
因為，所以選項A正確；
因為，所以不互相垂直，因此選項B不正確；
因為點到直線的距離為，
所以的面積為，因此選項C正確；
因為線段的中點的橫坐標為：，
所以線段的中點到軸的距離為3，因此選項D不正確，
故選：AC
12. 如圖，在棱長為1的正方體ABCD—中，E為側面的中心，F(xiàn)是棱的中點，若點P為線段上的動點，N為ABCD所在平面內(nèi)的動點，則下列說法正確的是（ ）
A. ·的最小值為
B. 若，則平面PAC截正方體所得截面的面積為
C. 若與AB所成的角為，則N點的軌跡為雙曲線
D. 若正方體繞旋轉θ角度后與其自身重合，則θ的最小值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立如圖所示空間直角坐標系，設，，得，然后用空間向量法求得，求得數(shù)量積計算最小值判斷A；由線面平行得線線平行，確定截面的形狀、位置，從而可計算出截面面積，判斷B；根據(jù)與AB所成的角為，運用夾角公式計算并化簡，判斷C；結合正方體的對稱性，利用是正方體的外接球直徑判斷D．
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，正方體棱長為1，
則，，，，,
對于A，，設，，所以，，，
，
所以時，，A不正確；
對于B，，則是上靠近的三等分點，，
取上靠近的三等分點，則，
，顯然與平面的法向量垂直，因此平面，
所以截面與平面的交線與平行，作交于點，
設，則，由得，解得，
則與重合，因此取中點，易得，截面為，它是等腰梯形，
，，，梯形的高為，
截面面積為，B正確；
對于C，，若與AB所成的角為，則有，兩邊平方化簡整理有，C正確；
對于D，，，，，，
，，同理，
所以是平面的一個法向量，即平面，設垂足為，則，是正方體的外接球的直徑，因此正方體繞旋轉角度后與其自身重合，至少旋轉．D正確．
故選：BCD．
三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為______個.
【答案】1
【解析】
【分析】令，求解即可.
【詳解】由題意，令，
即，
即，
解得，即函數(shù)有1個零點.
故答案為：1
14. 在的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則的值為_______.
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：∵代入得，由余弦定理得．
考點：1．正弦定理；2．余弦定理的推論．
15. 是公差為2的等差數(shù)列的前n項和，若數(shù)列也是等差數(shù)列，則________.
【答案】或3
【解析】
【分析】
可由特殊值求出，再驗證對所有正整數(shù)，都有數(shù)列是等差數(shù)列
【詳解】由題意，
∵數(shù)列是等差數(shù)列
∴，，解得或，
時，，時，，均為的一次函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，
故答案為：或3.
【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式，考查等差數(shù)列的證明，如果數(shù)列的通項公式是的一次函數(shù)，則數(shù)列一定是等差數(shù)列．
16. 在中，已知，，，則的內(nèi)接正邊長的最小值為______.
【答案】##.
【解析】
【分析】先根據(jù)題意求出，設正的邊長為，，在中，由正弦定理可得，則，再利用輔助角公式化簡，結合正弦函數(shù)的性質可求出的最小值，從而可得答案.
【詳解】因為，，，
所以，
設正的邊長為，，
在中，，即，
因為，所以,
，
在中，由正弦定理得，
所以，
因為
，其中，
所以，
因為，
所以當時，取得最小值，
所以的內(nèi)接正邊長的最小值為，
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：此題考查正弦定理的應用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，考查數(shù)形結合的思想，解題有關鍵是在中利用正弦定理表示出，從而可表示出，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形可求出邊長的最小值，考查計算能力，屬于較難題.
四.解答題：本題共6小題，共70分.
17. 已知數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列，記的前項和為，求的值.
【答案】（1）
（2）556
【解析】
【分析】（1）數(shù)列的前項和為與的關系，求解數(shù)列的通項公式；
（2）由題意得新數(shù)列的前50項，分組后由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和公式求解．
【小問1詳解】
解：數(shù)列的前項和為，且，
當時，，
所以；
當時，，不符合上式，
所以；
【小問2詳解】
解：保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與，2，之間插入個1，
則新數(shù)列的前50項為：5，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1，1，1，1，，1，1，1，1，1．
則
．
18. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，為邊上一點，若.
（1）證明：平分；
（2）若為銳角三角形，，，，求的長.
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）分別在△ABD、△ACD中利用正弦定理進行邊化角，結合題意化簡整理；
（2）在中，由余弦定理結合題意求出，再由可求得，在三角形△ACD中，由余弦定理即可求出的長.
【小問1詳解】
設∠BAD＝α，∠CAD＝β，
在△ABD中，由正弦定理得：，即，
在△ACD中，由正弦定理得：，即
由題意可得：，則
∵，則
∴，
又因為，
所以?=?，即，
所以AD平分∠BAC；
【小問2詳解】
在中，由余弦定理得：，
化簡得：，所以或，
當時，，因為為銳角三角形，
所以不符合題意.
因為，設，
所以，解得：，所以，
在三角形△ACD中，由余弦定理可得，
.
故的長為.
19. 每年的3月21日是世界睡眠日，保持身體健康的重要標志之一就是有良好的睡眠，某機構為了調查參加體育鍛煉對睡眠的影響，從轄區(qū)內(nèi)同一年齡層次的常參加體育鍛煉和不常參加體育鍛煉的人中，各抽取了100人，通過問詢的方式得到他們在一周內(nèi)的睡眠時間（單位：小時），并繪制出如下頻率分布直方圖.
（1）若每周的睡眠時間不少于44小時的列為“睡眠足”，每周的睡眠時間在44小時以下的列為“睡眠不足”，請根據(jù)已知條件完成下列列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“睡眠足”與“常參加體育鍛煉”是否有關？
（2）現(xiàn)從常參加體育鍛煉的樣本人群中按睡眠是否充足來采用分層抽樣法抽取8人做進一步訪談，然后從這8人中隨機抽取2人填寫調查問卷，記抽取的兩人中睡眠足的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；
（3）用此樣本的頻率估計總體的概率，從該轄區(qū)隨機調查常參加體育鍛煉的3名人員，設調查的3人中睡眠足的人數(shù)為，求的方差.
參考公式：，其中.
【答案】（1）列聯(lián)表見詳解，有關；
（2）分布列見詳解，數(shù)學期望為；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖計算得到列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，再根據(jù)公式計算，和表格中臨界值比較分析得到結論；
（2）根據(jù)分層抽樣按比例抽取可得睡眠足和不足分別抽取6，2人，則的可能取值為，根據(jù)超幾何分布的概率公式計算概率，列出分布列，計算數(shù)學期望即可；
（3）由題意，根據(jù)二項分布的方差公式，求解即可.
【小問1詳解】
根據(jù)頻率分布直方圖可得：
常參加體育鍛煉且睡眠足的人數(shù)為：，
常參加體育鍛煉且睡眠不足的人數(shù)為：，
不常參加體育鍛煉且睡眠足的人數(shù)為：，
不常參加體育鍛煉且睡眠不足的人數(shù)為：，
繪制列聯(lián)表如下：
，
因此有的把握認為“睡眠足”與“常參加體育鍛煉”有關.
【小問2詳解】
根據(jù)（1）中分析可知常參加體育鍛煉的人員中睡眠足的有75人，不足的有25人，按照分層抽樣抽取8人，故抽取的睡眠足的有人，睡眠不足的有人，
從這8人中隨機抽取2人填寫調查問卷，記抽取的兩人中睡眠足的人數(shù)為，故的可能取值為，
，，，
分布列如下：
數(shù)學期望.
【小問3詳解】
由題意，用此樣本的頻率估計總體的概率，從該轄區(qū)隨機抽取常參加體育鍛煉的人員，睡眠足的概率為，設調查的3人中睡眠足的人數(shù)為，故，
根據(jù)二項分布的方差公式：.
20. 如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，//，，，，，側面為等邊三角形.
（1）求證：平面平面；
（2）在棱上是否存在點，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在點，，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）取中點為，通過證明面，即可由線面垂直證明面面垂直；
（2）以中點為坐標原點建立空間直角坐標系，設出點坐標，求得兩個平面的法向量，根據(jù)其夾角大小即可判斷和求值.
【小問1詳解】
取的中點為，連接，如下所示：
因為底面是直角梯形，故可得，
在三角形中，，又，
故三角形是邊長為2的等邊三角形，則；
又因為三角形也是邊長為2的等邊三角形，則；
則，故，又，
面，，故面，
又因為面，故面面.
【小問2詳解】
根據(jù)（1）中所證，兩兩垂直，
故以點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系：
則，
不妨設，，即，
解得，即的坐標為；
則
設平面的法向量為，
則，即，
不妨取，故可得，即，
取平面的一個法向量為，
根據(jù)題意可得：，
整理得：，解得（舍）或；
故在棱上存在靠近點的三等分點為，使得二面角的大小為，且.
21. 已知橢圓的左右頂點為、，直線.已知為坐標原點，圓過點、交直線于、兩點，直線、分別交橢圓于、.
（1）記直線，的斜率分別為、，求的值；
（2）證明直線過定點，并求該定點坐標.
【答案】（1）；
（2），證明見解析.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意設和圓G的圓心坐標，寫出圓的標準方程，聯(lián)立直線方程，利用韋達定理求出，結合兩點坐標求直線斜率公式化簡計算即可；
(2)設，根據(jù)直線的點斜式方程寫出直線AM、AN方程，分別聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理表示出，進而求出點的坐標，根據(jù)橢圓的對稱性可知直線PQ過x軸上的定點，設定點坐標，利用平面共線向量的坐標表示化簡計算即可求解.
【小問1詳解】
如圖，由題意知，圓G的圓心G在直線，設，
則半徑為，標準方程為，
設，由，得，
，消去，得，
則，所以；
【小問2詳解】
設，由(1)知，，得，
所以，即，
，即，
，消去，得，
則，得，
所以，得.
同理可得，即，
又，，
由橢圓的對稱性知，直線過定點，且該定點為軸上的點，
設定點為，則，
，
，
令，解得或(舍去)
此時，所以與共線，
所以直線過定點.
22. 已知.
（1）求的單調區(qū)間；
（2）當時（為自然對數(shù)的底數(shù)），若對于，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）分和兩種情況進行討論函數(shù)的單調性即可；
（2）將題意的不等式轉化成，令，通過導數(shù)可得，故原命題可轉化成對任意的上恒成立，令，分和兩種情況進行討論即可
【小問1詳解】
由可得，
當時，，所以上單調遞增；
當時，令，解得，
當，，單調遞減；當，，單調遞增，
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時，，單調遞減；，單調遞增；
【小問2詳解】
由可得，
因為，所以即，
所以，
設，則，
令，解得，
當，，單調遞減；當，，單調遞增，
故在處取得極小值，又為最小值，所以，
所以令，不等式可轉化為對任意的上恒成立，
設，則，
當時，，即在上單調遞增，
而，則恒成立；
當時，令，得，
當時，，單調遞減，
而，所以當時，，即不恒成立；
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
睡眠足
睡眠不足
總計
常參加體育鍛煉人員
不常參加體育鍛煉人員
總計
0.10
005
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
睡眠足
睡眠不足
總計
常參加體育鍛煉人員
75
25
100
不常參加體育鍛煉人員
55
45
100
總計
130
70
200

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