廣東省廣州市中山大學(xué)附屬中學(xué)2022—2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、填空題1．速度滑冰是冬奧會(huì)最激動(dòng)人心的比賽項(xiàng)目之一．速滑選手用的冰刀非常鋒利，刀刃厚度大約為，可用科學(xué)記數(shù)法表示為__________m．2．若是完全平方式，則=___________．3．當(dāng)______時(shí)，分式有意義．4．如圖，中，，D是的中點(diǎn)，，，則的長為______．5．在的正方形網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．如果要使與全等，那么符合條件的點(diǎn)D有______個(gè)．6．如圖，在中，，，，是邊上的中線，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是 __．二、解答題7．計(jì)算：8．因式分解：．9．解分式方程：．10．如圖，，．求證：．11．已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)請(qǐng)在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出；(2)請(qǐng)?jiān)?/span>x軸上找一點(diǎn)P，使線段與的和最小，并直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)（保留作圖痕跡）．12．2022年10月16日，習(xí)總書記在第二十次全國代表大會(huì)上的報(bào)告中提出：“積極穩(wěn)妥推進(jìn)碳達(dá)峰碳中和”．某公司積極響應(yīng)節(jié)能減排號(hào)召，決定采購新能源A型和B型兩款汽車，已知每輛A型汽車的進(jìn)價(jià)是每輛B型汽車的進(jìn)價(jià)的1.5倍，若用3000萬元購進(jìn)A型汽車的數(shù)量比2400萬元購進(jìn)B型汽車的數(shù)量少20輛．(1)A型和B型汽車的進(jìn)價(jià)分別為每輛多少萬元？(2)該公司決定用不多于3600萬元購進(jìn)A型和B型汽車共150輛，最多可以購買多少輛A型汽車？13．已知：如圖，在中，且．(1)用直尺和圓規(guī)作出一條過點(diǎn)A的直線l，使得點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在邊上（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)設(shè)（1）中直線l與邊的交點(diǎn)為D，請(qǐng)寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．14．閱讀材料，下列關(guān)于的方程：的解為：，；  的解為：，；的解為：，；  的解為：，；根據(jù)這些材料解決下列問題：(1)方程的解是____________；(2)方程的解是____________；(3)解方程：．15．如圖，在四邊形中，，E，F分別是上的點(diǎn)，連接．(1)如圖①，，，．求證：；(2)如圖②，，周長何時(shí)最小，作出圖形，并直接寫出______°(3)如圖③，若四邊形為正方形，點(diǎn)E、F分別上，且，若，，請(qǐng)求出線段的長度．
參考答案1．【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．2．【詳解】根據(jù)完全平方式的定義， ，易得=3．【分析】根據(jù)分式有意義的定義求解即可【詳解】解：要使得分式有意義，只需要：，解得：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，充分理解分式有意義的條件是解決問題的關(guān)鍵4．12【分析】利用線段中點(diǎn)求出，在中，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)求出，即可得到答案．【詳解】解：∵D是的中點(diǎn)，，∴，∵在中，，，∴，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形30度角的性質(zhì)：直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．【分析】要使與全等，可知兩個(gè)三角形的公共邊為，運(yùn)用對(duì)稱即可求出所需的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】如下圖所示，有三種情況滿足與全等，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，寫出直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于對(duì)稱作圖中點(diǎn)的坐標(biāo)特征并能靈活運(yùn)用是本題解題的關(guān)鍵．6．##【分析】連接，，由等腰三角形的性質(zhì)可知：是的垂直平分線，得，則，即當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小值為的長，利用等面積法求出的長即可．【詳解】連接，，，是中線，，，，是的垂直平分線，，，即當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小值為的長，時(shí)，最短，∵，最小值為：，故答案為：．．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題，垂線段最短，垂直平分線的性質(zhì)與判斷，等面積法求高等知識(shí)，能運(yùn)用垂線段最短是解題的關(guān)鍵．7．【分析】先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，然后合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】題目主要考查積的乘方運(yùn)算及合并同類項(xiàng)運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．8．【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．9．【分析】根據(jù)解分式方程的步驟求解即可．【詳解】解：兩邊同乘以，得去括號(hào)，得移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，故原分式方程的解是．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的步驟．10．證明見解析【分析】先利用三角形全等的判定定理（定理）證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】證明：在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．(1)見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)描點(diǎn)連線即可；（2）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與x軸交點(diǎn)即為點(diǎn)P，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與x軸交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)線段與的和最小，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱變換作圖，利用軸對(duì)稱求最短路徑問題，求一次函數(shù)的解析式，正確理解軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．(1)A型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛30萬元，B型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛20萬元(2)60輛 【分析】（1）設(shè)B型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛萬元，則A型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛萬元，根據(jù)“用3000萬元購進(jìn)A型汽車的數(shù)量比2400萬元購進(jìn)B型汽車的數(shù)量少20輛”列出方程，即可求解；（2）設(shè)購買輛A型汽車，則購買輛B型汽車，根據(jù)“用不多于3600萬元購進(jìn)A型和B型汽車共150輛”列出不等式，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)B型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛萬元，則A型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛萬元，依題意得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解答：A型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛30萬元，B型汽車的進(jìn)價(jià)為每輛20萬元（2）解：設(shè)購買輛A型汽車，則購買輛B型汽車，依題意得： 解得： 答：最多可以購買60輛A型汽車．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵．13．(1)見解析(2)，見解析 【分析】（1）點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在邊上，則該直線為的對(duì)稱軸；（2）依據(jù)判定，即可得到，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到，進(jìn)而得出，即可得到，依據(jù)，即可得到．【詳解】（1）如圖所示，直線即為所求；（2）線段之間的數(shù)量關(guān)系為：．理由：由題可得，，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．14．(1)，(2)，(3)， 【分析】（1）根據(jù)所給材料的解題方法即可求解；（2）根據(jù)材料中方程的解法求解即可；（3）先將方程化為，再利用材料中的解法求解即可．【詳解】（1）解：方程 的解為，故答案為：，（2）由方程可得或，解得，，故答案為：，（3）將方程變形為，可得或，解得，【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是將方程化為的形式求解．15．(1)見解析(2)120(3)5 【分析】（1）延長到點(diǎn)G，使，連接，首先證明，則有，然后利用角度之間的關(guān)系得出，進(jìn)而可證明，則，則結(jié)論可證；（2）分別作點(diǎn)A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，即為周長的最小值，然后利用求解即可；（3）旋轉(zhuǎn)至的位置，首先證明，則有，最后利用求解即可．【詳解】（1）證明：如解圖①，延長到點(diǎn)G，使，連接，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴；（2）如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，∴此時(shí)的周長為，∴當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，即為周長的最小值，∵，∴，∵，，∴；故答案為：120；（3）如解圖，旋轉(zhuǎn)至的位置，∴，，在和中，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 

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