第三講　排列、組合、二項(xiàng)式定理微專題1　排列、組合?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計(jì)數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計(jì)數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘．2．兩個(gè)公式：＝＝＝. 保分題1.某電視臺(tái)的一個(gè)綜藝欄目對(duì)含甲、乙在內(nèi)的六個(gè)不同節(jié)目排演出順序，第一個(gè)節(jié)目只能排甲或乙，最后一個(gè)節(jié)目不能排甲，則不同的排法共有(　　)A．192種 B．216種C．240種 D．288種2．[2022·廣東汕頭三模]2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)期間，從3名男志愿者和2名女志愿者中選4名去支援“冰壺”“花樣滑冰”“短道速滑”三項(xiàng)比賽志愿者工作，其中冰壺項(xiàng)目需要一男一女兩名，花樣滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．則不同的支援方法的種數(shù)是(　　)A．36  B．24C．18  D．423．[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有(　　)A．12種  B．24種C．36種  D．48種 提分題例1 (1)[2022·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)一模]教育的目標(biāo)是立德樹人，是為新時(shí)代具有中國(guó)特色的社會(huì)主義培養(yǎng)全面發(fā)展的接班人，某初中學(xué)校為了響應(yīng)上級(jí)的號(hào)召，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展決定每天減少一節(jié)學(xué)科類課程，增加一節(jié)活動(dòng)課，為此學(xué)校特開設(shè)了傳統(tǒng)武術(shù)、舞蹈、書法、小提琴四門選修課程，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，初一到初三3學(xué)年將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有(　　)A．60種  B．78種C．54種  D．84種(2)[2022·河北邯鄲一模]第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行，現(xiàn)要安排三名男志愿者和兩名女志愿者去國(guó)家高山滑雪館、國(guó)家速滑館、首鋼滑雪大跳臺(tái)三個(gè)場(chǎng)館參加活動(dòng)，每名志愿者只能去一個(gè)場(chǎng)館，且每個(gè)場(chǎng)館最少安排一名志愿者，若兩名女志愿者分派到同一個(gè)場(chǎng)館，則不同的分配方法有(　　)A．24種  B．36種C．56種  D．68種聽課筆記：     【技法領(lǐng)悟】求解排列、組合問題最常用的三種方法1．特殊元素、位置優(yōu)先安排法：對(duì)問題中的特殊元素或位置優(yōu)先考慮排列，然后排列其他一般元素或位置．2．捆綁法：相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素進(jìn)行排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列．3．插空法：不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中．   鞏固訓(xùn)練11.[2022·河北張家口一模]為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀的教師到甲、乙、丙三地進(jìn)行為期一年的支教活動(dòng)，每人只能去一個(gè)地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有(　　)A．18種  B．12種C．72種  D．36種2．[2022·廣東茂名二模]某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授擬從人工智能領(lǐng)域的語音識(shí)別、人臉識(shí)別、數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)共5個(gè)方向展開研究，每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，每位研究生只參與一個(gè)方向的學(xué)習(xí)．其中小明同學(xué)因錄取分?jǐn)?shù)最高主動(dòng)選擇學(xué)習(xí)人臉識(shí)別，其余5名研究生均表示服從丁教授統(tǒng)一安排．則這6名研究生不同的分配方向共有(　　)A．480種 B．360種C．240種 D．120種   微專題2　二項(xiàng)式定理?？汲Ｓ媒Y(jié)論1．二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝bn，n∈N*.2．通項(xiàng)公式：Tk＋1＝an－kbk，(k＝0，1，2，…，n)．3．二項(xiàng)式展開式的系數(shù)的性質(zhì)：(1)＝2n.(2)＋…＝2n－1.  保分題1.[2022·福建福州三模](2x－y)6的展開式中，x2y4項(xiàng)的系數(shù)是(　　)A．30  B．－30C．60  D．－602．[2022·湖南懷化一模]二項(xiàng)式(x＋)12的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(　　)A．第7項(xiàng) B．第8項(xiàng)C．第9項(xiàng) D．第10項(xiàng)3．[2022·北京卷]若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＝(　　)A．40  B．41C．－40  D．－41 提分題例2 (1)[2022·山東臨沂二模]已知(ax2＋1)(x－)5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為－3，則該展開式中x的系數(shù)為(　　)A．－120 B．－40C．40  D．120(2)[2022·江蘇海安二模]已知(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a2＋a4＋…＋a10＝(　　)A．256  B．255C．512  D．511聽課筆記：    【技法領(lǐng)悟】1．二項(xiàng)式定理中最關(guān)鍵的是通項(xiàng)公式，求展開式中特定的項(xiàng)或者特定項(xiàng)的系數(shù)均是利用通項(xiàng)公式和方程解決的．2．二項(xiàng)展開式的系數(shù)之和通常是通過對(duì)二項(xiàng)式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值．   鞏固訓(xùn)練21.[2022·廣東廣州三模]若(3x－)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　)A．15 B．30C．135 D．2702．[2022·湖南永州三模]若x8＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a7(x＋1)7＋a8(x＋1)8，則a3＝(　　)A．56 B．28C．－28 D．－56                        第三講　排列、組合、二項(xiàng)式定理微專題1　排列、組合保分題1．解析：①第一個(gè)節(jié)目為甲，則共有＝120種排法；②第一個(gè)節(jié)目為乙，則共有＝96種排法．故共有120＋96＝216種排法．答案：B2．解析：第一步從3名男志愿者和2名女志愿者各選一名志愿者去支援冰壺項(xiàng)目，選法共有＝6種；第二步從剩余的3人中選一人去支援花樣滑冰，選法共有＝3種；第三步從剩余的2人中選一人去支援短道速滑，選法共有依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的支援方法的種數(shù)是6×3×2＝36，故選A.答案：A3．解析：先利用捆綁法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法選甲的位置，共有＝24(種)不同的排列方式．故選B.答案：B提分題[例1]　解析：(1)由題意，三年修完四門選修課程，每學(xué)年至多選2門，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1，1，2或0，2，2，先將4門學(xué)科按1，1，2分成三組，有種方式，再分到三個(gè)學(xué)年，有種不同方式，由分步計(jì)數(shù)原理得，不同選修方式共有同理將4門課程按0，2，2分成三組，再排列，有＝18種，所以共有36＋18＝54種，故選C.(2)若兩名女志愿者分配到同一個(gè)場(chǎng)館，且該場(chǎng)館沒有男志愿者，則有18種方法；若兩名女志愿者分配到同一個(gè)場(chǎng)館，且該場(chǎng)館有一名男志愿者，則有＝18種方法，所以一共有36種分配方法．答案：(1)C　(2)B[鞏固訓(xùn)練1]1．解析：4名教師分為3組，有種方法，然后再分別派到甲、乙、丙三地，共有方案，所以共有36種選派方案．故選D.答案：D2．解析：①人臉識(shí)別方向不安排其它研究生，則有＝240種．②人臉識(shí)別方向安排1名其它研究生，則有＝120種．綜上，共有360種分配．答案：B微專題2　二項(xiàng)式定理保分題1．解析：由題意Tk＋1＝(2x)6－k(－y)k，當(dāng)k＝4時(shí)，x2y4項(xiàng)的系數(shù)是15×4＝60.答案：C2．解析：二項(xiàng)式(x＋)12的展開式通項(xiàng)為Tk＋1＝·x12－k·()k＝·2k·，令12－k＝0，解得k＝8.因此，二項(xiàng)式(x＋)12的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第9項(xiàng)．故選C.答案：C3．解析：方法一　當(dāng)x＝1時(shí)，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0　①；當(dāng)x＝－1時(shí)，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0　②.(①＋②)÷2，得a4＋a2＋a0＝＝41.故選B.方法二　由二項(xiàng)式定理可得(2x－1)4＝(2x)4·(－1)0＋(2x)3(－1)1＋(2x)2(－1)2＋(2x)·(－1)3＋(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1，所以a4＝16，a2＝24，a0＝1，所以a0＋a2＋a4＝41.故選B.答案：B提分題[例2]　解析：(1)在二項(xiàng)式(ax2＋1)(x－)5中，令x＝1，可得(a＋1)·(－1)5＝－3，解得a＝2，(x－)5的展開式通項(xiàng)為Tk＋1＝·x5－k·(－)k＝·(－2)k·x5－2k，因?yàn)?/span>(2x2＋1)(x－)5＝2x2(x－)5＋(x－)5，在2x2Tr＋1＝·(－2)r·x5－2r＝·(－2)r·x7－2r，令7－2r＝1，可得r＝3，在Tk＋1＝·(－2)k·x5－2k中，令5－2k＝1，可得k＝2，因此，展開式中x的系數(shù)為·(－2)3＋·(－2)2＝－120.故選A.(2)令x＝1，0＝a0＋a1＋a2＋…＋a10①，令x＝－1，1024＝a0－a1＋a2－…＋a10②，①＋②得：1024＝2a2＋2a4＋…＋2a10＋2a0，∴a2＋a4＋…＋a10＋a0＝512，令x＝0，1＝a0，∴a2＋a4＋…＋a10＝511.故選D.答案：(1)A　(2)D[鞏固訓(xùn)練2]1．解析：令x＝1可得(3－1)n＝2n＝64，解得n＝6，則(3x－)6，由展開式通項(xiàng)Tk＋1＝(3x)6－k(－)k＝·36－k(－1)k，令6－k＝0，則k＝4，則T5＝×32×(－1)4＝135，即常數(shù)項(xiàng)為135.故選C.答案：C2．解析：因?yàn)?/span>x8＝[(x＋1)－1]8，所以[(x＋1)－1]8＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a7(x＋1)7＋a8(x＋1)8，所以a3(x＋1)3＝(x＋1)3·(－1)5＝－56(x＋1)3，即a3＝－56，故選D.答案：D

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