概率與統(tǒng)計問題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力.要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過閱讀分析判斷獲取關(guān)鍵信息,搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.
典例1　為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,人們希望知道哪種新藥更有效,為此進行了動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩組白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩組白鼠,當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得 -1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;
典例1　為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,人們希望知道哪種新藥更有效,為此進行了動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩組白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩組白鼠,當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得 -1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.①求證:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;
典例1　為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,人們希望知道哪種新藥更有效,為此進行了動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩組白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩組白鼠,當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得 -1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.②求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.
概率統(tǒng)計問題與數(shù)列的交匯,綜合性較強,主要有以下類型:(1)求通項公式:關(guān)鍵是找出概率Pn或數(shù)學(xué)期望E(Xn)的遞推關(guān)系式,然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列),求出通項公式.(2)求和:主要是數(shù)列中的倒序求和、錯位求和、裂項求和.(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),研究單調(diào)性、最值或求極限.
觸類旁通1　(2021·沈陽模擬)某學(xué)校某班組織開展了“防疫有我,愛衛(wèi)同行”防控疫情知識競賽活動,抽取四位同學(xué),分成甲、乙兩組,每組兩人,進行對戰(zhàn)答題.規(guī)則如下:每次每位同學(xué)給出6道題目,其中有道是送分題(即每位同學(xué)至少答對1題).若每次每組答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù),原答題組的人再繼續(xù)答題;若答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù),就由對方組接著答題.假設(shè)每位同學(xué)每次答題之間相互獨立,無論答對幾道題概率都一樣,且每次答題順序不考慮,第一次由甲組開始答題.求:(1)若第n次由甲組答題的概率為Pn,求Pn;
觸類旁通1　(2021·沈陽模擬)某學(xué)校某班組織開展了“防疫有我,愛衛(wèi)同行”防控疫情知識競賽活動,抽取四位同學(xué),分成甲、乙兩組,每組兩人,進行對戰(zhàn)答題.規(guī)則如下:每次每位同學(xué)給出6道題目,其中有道是送分題(即每位同學(xué)至少答對1題).若每次每組答對的題數(shù)之和為3的倍數(shù),原答題組的人再繼續(xù)答題;若答對的題數(shù)之和不是3的倍數(shù),就由對方組接著答題.假設(shè)每位同學(xué)每次答題之間相互獨立,無論答對幾道題概率都一樣,且每次答題順序不考慮,第一次由甲組開始答題.求:(2)前4次答題中甲組恰好答題2次的概率為多少?
典例2　某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值?
概率統(tǒng)計問題與函數(shù)的交匯,綜合性較強,一是借助二次函數(shù)、分段函數(shù)的性質(zhì),利用單調(diào)性求均值、方差的最值;二是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點,從而確定最優(yōu)解.但問題的本質(zhì)仍是以概率統(tǒng)計為主導(dǎo),利用函數(shù)的性質(zhì)或借助導(dǎo)數(shù)這一工具加以輔助求解.
觸類旁通2　某網(wǎng)絡(luò)購物平臺每年11月11日舉行“雙十一”購物節(jié),當天有多項優(yōu)惠活動,深受廣大消費者喜愛.(1)已知該網(wǎng)絡(luò)購物平臺近5年“雙十一”購物節(jié)當天成交額如表:
求成交額y(百億元)與時間變量x(記2017年為 x=1,2018年為x=2,……依次類推)的經(jīng)驗回歸方程,并預(yù)測2022年該平臺“雙十一”購物節(jié)當天的成交額(百億元);
觸類旁通2　某網(wǎng)絡(luò)購物平臺每年11月11日舉行“雙十一”購物節(jié),當天有多項優(yōu)惠活動,深受廣大消費者喜愛.(2)在2022年“雙十一”購物節(jié)前,某同學(xué)的爸爸、媽媽計劃在該網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加A,B兩店各一個訂單的“秒殺”搶購,若該同學(xué)的爸爸、媽媽在A,B兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為p,q,記該同學(xué)的爸爸和媽媽搶購到的訂單總數(shù)量為X.①求X的分布列及E(X);
觸類旁通2　某網(wǎng)絡(luò)購物平臺每年11月11日舉行“雙十一”購物節(jié),當天有多項優(yōu)惠活動,深受廣大消費者喜愛.(2)在2022年“雙十一”購物節(jié)前,某同學(xué)的爸爸、媽媽計劃在該網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加A,B兩店各一個訂單的“秒殺”搶購,若該同學(xué)的爸爸、媽媽在A,B兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為p,q,記該同學(xué)的爸爸和媽媽搶購到的訂單總數(shù)量為X.

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