?第3講　機械能守恒定律及其應(yīng)用



知識點　　重力勢能　Ⅱ
1．定義
物體由于被舉高而具有的能量，叫作重力勢能。
2．表達式
Ep＝mgh，其中h是相對于參考平面的高度。
3．特點
(1)系統(tǒng)性：重力勢能是地球與物體所組成的“系統(tǒng)”所共有的。
(2)相對性：重力勢能的數(shù)值與所選參考平面有關(guān)。
(3)標量性：重力勢能是標量，正負表示大小。
4．重力做功的特點
(1)物體運動時，重力對它做的功只跟它的起點和終點的位置有關(guān)，而跟物體運動的路徑無關(guān)。
(2)重力做功不引起物體機械能的變化。
5．重力做功與重力勢能變化的關(guān)系
(1)定性關(guān)系：重力對物體做正功，重力勢能減小，重力對物體做負功，重力勢能增大。
(2)定量關(guān)系：重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
(3)重力勢能的變化量是絕對的，與參考平面的選取無關(guān)。
知識點　　彈性勢能?、?br /> 1．定義
發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用，也具有勢能，這種勢能叫作彈性勢能。
2．大?。簭椈傻膹椥詣菽芨鷱椈傻男巫兞考皠哦认禂?shù)有關(guān)，形變量越大，勁度系數(shù)越大，彈性勢能就越大。
3．彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系
彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系類似于重力做功與重力勢能變化的關(guān)系，用公式表示：W＝－ΔEp。
知識點　　機械能守恒定律?、?br /> 1．內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機械能保持不變。
2．常用的三種表達式
(1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分別表示系統(tǒng)初末狀態(tài)時的總機械能。
(2)轉(zhuǎn)化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp減。表示系統(tǒng)勢能的減少量等于動能的增加量。
(3)轉(zhuǎn)移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB減。表示系統(tǒng)只有A、B兩物體時，A增加的機械能等于B減少的機械能。
3．對機械能守恒定律的理解
(1)只受重力或彈力作用，系統(tǒng)的機械能守恒。
(2)除受重力或彈力之外，還受其他力，但其他力不做功，只有重力或系統(tǒng)內(nèi)的彈力做功，系統(tǒng)機械能守恒。
(3)除受重力或彈力之外，還受其他力，但其他力所做功的代數(shù)和為零，系統(tǒng)機械能守恒。

一 堵點疏通
1．被舉到高處的物體重力勢能一定不為零。(　　)
2．克服重力做功，物體的重力勢能一定增加。(　　)
3．彈力做正功彈性勢能一定增加。(　　)
4．物體所受的合力為零，物體的機械能一定守恒。(　　)
5．物體的速度增大時，其機械能可能減小。(　　)
6．物體除受重力外，還受其他力，但其他力不做功，則物體的機械能一定守恒。(　　)
答案　1.×　2.√　3.×　4.×　5.√　6.√
二 對點激活
1．關(guān)于重力勢能，下列說法中正確的是(　　)
A．物體的位置一旦確定，它的重力勢能的大小也隨之確定
B．物體與零勢能面的距離越大，它的重力勢能也越大
C．一個物體的重力勢能從－5 J變化到－3 J，重力勢能減少了
D．重力勢能的減少量等于重力對物體做的功
答案　D
解析　重力勢能具有相對性，某個物體處于某個位置，相對不同的參考平面具有不同的重力勢能，故A錯誤；重力勢能Ep＝mgh，h為相對于零勢能面的高度，當(dāng)物體位于零勢能面以下時，它與零勢能面的距離越大，重力勢能越小，故B錯誤；重力勢能由－5 J變化為－3 J，重力勢能變大，故C錯誤；重力做的功等于重力勢能的減少量，故D正確。
2．(多選)神舟號載人飛船在發(fā)射至返回的過程中，以下哪些階段中返回艙的機械能是守恒的(　　)
A．飛船升空的階段
B．飛船在橢圓軌道上繞地球運行的階段
C．返回艙在大氣層以外向著地球做無動力飛行的階段
D．降落傘張開后，返回艙下降的階段
答案　BC
解析　飛船升空的階段，火箭加速上升，重力勢能和動能都增加，故機械能增加，A錯誤；飛船在橢圓軌道上繞地球運行的階段，只有引力做功，故機械能守恒，B正確；返回艙在大氣層以外向著地球做無動力飛行的階段，只有引力做功，故機械能守恒，C正確；降落傘張開后，返回艙下降的階段，由于克服阻力做功，故機械能減少，D錯誤。
3. (人教版必修第二冊·P93·T3改編)(多選)如圖所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上。若以地面為零勢能面，而且不計空氣阻力，則下列說法正確的是(　　)

A．重力對物體做的功為mgh
B．物體在海平面上的重力勢能為mgh
C．物體在海平面上的動能為mv－mgh
D．物體在海平面上的機械能為mv
答案　AD
解析　從地面到海平面重力對物體做的功為mgh，故A正確；地面為零勢能面，所以物體在海平面的重力勢能為－mgh，故B錯誤；物體在地面上的機械能為mv，由機械能守恒定律得，物體在海平面上的機械能也為mv，故D正確；在海平面上的動能為mv－(－mgh)＝mv＋mgh，故C錯誤。



考點1　　機械能守恒的理解與判斷
1.機械能守恒定律的理解
(1)機械能守恒定律的研究對象一定是系統(tǒng)，至少包括地球在內(nèi)。
(2)當(dāng)研究對象(除地球外)只有一個物體時，往往根據(jù)“是否只有重力(或彈力)做功”來判斷機械能是否守恒；當(dāng)研究對象(除地球外)由多個物體組成時，往往根據(jù)“有沒有摩擦力和阻力做功”來判斷機械能是否守恒。
(3)“只有重力(或彈力)做功”不等于“只受重力(或彈力)作用”，在該過程中，物體可以受其他力的作用，只要這些力不做功或所做功代數(shù)和為零，機械能仍守恒。
2．機械能是否守恒的判斷方法
(1)用機械能的定義判斷(直接判斷)：判斷機械能是否守恒可以看物體系統(tǒng)機械能的總和是否變化。
(2)用做功判斷：若物體系統(tǒng)只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，雖受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代數(shù)和為零，則機械能守恒。
(3)用能量轉(zhuǎn)化來判斷：若物體系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化而無其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系統(tǒng)機械能守恒。
例1　(多選)下列關(guān)于機械能是否守恒的敘述，正確的是(　　)
A．做勻速直線運動的物體的機械能一定守恒
B．做勻變速直線運動的物體的機械能可能守恒
C．合力對物體做的功為零時，機械能一定守恒
D．只有重力對物體做功，物體的機械能一定守恒
(1)做勻速直線運動的物體機械能一定守恒嗎？
提示：不一定，在豎直面內(nèi)做勻速直線運動的物體機械能一定不守恒。
(2)機械能守恒的條件是什么？
提示：只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功。
嘗試解答　選BD。
做勻速直線運動的物體，若重力或彈力做功，必定還有其他力做功，所以做勻速直線運動的物體機械能不一定守恒，A錯誤。做勻變速直線運動的物體，可能只有重力做功(如自由落體運動)，物體的機械能可能守恒，B正確。合力對物體做功為零時，物體的動能不變，但勢能有可能變化，機械能不一定守恒，C錯誤。D中的敘述符合機械能守恒的條件，D正確。

判斷機械能守恒應(yīng)注意的“兩點”
(1)機械能守恒的條件絕不是合力的功等于零，更不是合力為零；“只有重力或彈力做功”不等于“只受重力或彈力作用”。
(2)對于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒。
[變式1]　(多選)如圖所示，下列關(guān)于機械能是否守恒的判斷正確的是(　　)

A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機械能守恒
B．乙圖中，A置于光滑水平面上，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機械能守恒
C．丙圖中，不計任何阻力和定滑輪質(zhì)量時，A加速下落、B加速上升過程中，A、B系統(tǒng)機械能守恒
D．丁圖中，小球在豎直平面內(nèi)來回擺動(不計空氣阻力)，小球的機械能守恒
答案　CD
解析　甲圖中物體A的重力和彈簧彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，但物體A機械能不守恒，A錯誤；乙圖中物體B除受重力外，還受A的支持力，A的支持力對B做負功，B的機械能減小，B的機械能不守恒，但從能量轉(zhuǎn)化角度看，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，B錯誤；丙圖中繩子張力對A做負功，對B做正功，代數(shù)和為零，A、B系統(tǒng)機械能守恒，C正確；丁圖中小球在豎直平面內(nèi)來回擺動過程中，只有重力做功，機械能守恒，D正確。
考點2　　單個物體的機械能守恒
　求解單個物體機械能守恒問題的基本思路
(1)選取研究對象——物體及地球構(gòu)成的系統(tǒng)。機械能守恒定律研究的是物體系統(tǒng)，如果是一個物體與地球構(gòu)成的系統(tǒng)，一般只對物體進行研究。
(2)根據(jù)物體所經(jīng)歷的物理過程，進行受力、做功分析，判斷機械能是否守恒。
(3)恰當(dāng)?shù)剡x取參考平面，確定研究對象在過程的初、末狀態(tài)時的機械能。
(4)選取方便的機械能守恒定律方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)進行求解。
例2　(多選)如圖所示，兩個質(zhì)量相同的小球A、B，用細線懸掛在等高的O1、O2點，A球的懸線比B球的懸線長，把兩球的懸線均拉到水平位置后將小球無初速度釋放，則經(jīng)最低點時(以懸點所在的水平面為參考平面)(　　)

A．B球的動能大于A球的動能
B．A球的動能大于B球的動能
C．A球的機械能大于B球的機械能
D．A球的機械能等于B球的機械能
(1)以懸點所在的水平面為參考平面，兩小球的機械能為多少？
提示：零。
(2)經(jīng)最低點時，A、B重力勢能均為負值，A、B的重力勢能誰比較大？
提示：B球重力勢能大。
嘗試解答　選BD。
空氣阻力不計，小球下落過程中只有動能和重力勢能之間的轉(zhuǎn)化，機械能守恒，故C錯誤，D正確；到最低點時A球減少的重力勢能較多，增加的動能較多，故A錯誤，B正確。

1.機械能守恒定律的應(yīng)用技巧
(1)應(yīng)用機械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先對研究對象在所研究的過程中機械能是否守恒作出判斷。
(2)列方程時，選取的角度不同，表達式不同，對參考平面的選取要求也不一定相同。
在處理單個物體機械能守恒問題時通常應(yīng)用守恒觀點和轉(zhuǎn)化觀點，轉(zhuǎn)化觀點不用選取零勢能面。
2．用機械能守恒定律解決非質(zhì)點問題
(1)在應(yīng)用機械能守恒定律處理實際問題時，經(jīng)常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發(fā)生形變，其重心位置相對物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再看成質(zhì)點來處理。
(2)這類物體雖然不能看成質(zhì)點來處理，但若只有重力做功，則物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢能的變化列式求解。一般情況物體各部分速度大小相同，動能用mv2表示。
[變式2－1]　(2021·八省聯(lián)考重慶卷)一質(zhì)量為m的物塊僅在重力作用下運動，物塊位于r1和r2時的重力勢能分別為3E0和E0(E0>0)。若物塊位于r1時速度為0，則位于r2時其速度大小為(　　)
A．2 B.
C．2 D.4
答案　A
解析　物塊僅在重力作用下運動，物塊的機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律可知E1＝E2，代入已知條件為3E0＋0＝E0＋mv2，解得物塊位于r2處的速度大小為v＝2，故A正確。
[變式2－2]　一根質(zhì)量為m、長為L的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半懸在桌邊，桌面足夠高，如圖a所示。若將一個質(zhì)量也為m的小球分別拴在鏈條左端或右端，如圖b、圖c所示，約束鏈條的擋板光滑，三種情況下鏈條均由靜止釋放，當(dāng)整根鏈條剛離開桌面時，設(shè)它們的速度分別為va、vb、vc，則關(guān)于va、vb、vc的關(guān)系，下列判斷中正確的是(　　)

A．va＝vb＝vc B.vavb D.va>vb>vc
答案　C
解析　設(shè)桌面下方L處為零勢能面。鏈條由靜止釋放之后，到整根剛離開桌面，由于桌面無摩擦，對三種情況，則釋放前，系統(tǒng)的重力勢能為：圖a中，Ep1＝mgL＋mg·L＝mgL，圖b中，Ep2＝gL＋mg·L＝，圖c中，Ep3＝mgL＋mg·L＋mg·＝mgL。釋放后，整根鏈條剛離開桌面時，系統(tǒng)的重力勢能為：圖a中，Ep1′＝mg，圖b中，Ep2′＝mgL＋mg·＝mgL，圖c中，Ep3′＝mgL。則系統(tǒng)損失的重力勢能ΔEp1＝mgL，ΔEp2＝mgL，ΔEp3＝mgL，而ΔEp1＝mv，ΔEp2＝(2m)v，ΔEp3＝(2m)v，解得：v＝gL，v＝gL，v＝gL，顯然v>v>v，所以vc>va>vb，故C正確。
考點3　　多物體組成的系統(tǒng)機械能守恒的應(yīng)用
1.系統(tǒng)機械能是否守恒的判斷方法
看是否有其他形式的能與機械能相互轉(zhuǎn)化。
2．三種守恒表達式的比較
角度
公式
意義
注意事項
守恒
觀點
Ek1＋Ep1
＝Ek2＋Ep2
系統(tǒng)的初狀態(tài)機械能的總和與末狀態(tài)機械能的總和相等
初、末狀態(tài)必須用同一零勢能面計算勢能
續(xù)表
角度
公式
意義
注意事項
轉(zhuǎn)化
觀點
ΔEk＝－ΔEp
系統(tǒng)減少(或增加)的勢能等于系統(tǒng)增加(或減少)的動能
應(yīng)用時關(guān)鍵在于分清勢能的增加量或減少量，可不選零勢能面而直接計算初、末狀態(tài)的勢能差
轉(zhuǎn)移
觀點
ΔEA增＝ΔEB減
若系統(tǒng)由A、B兩物體組成，則A物體機械能的增加量與B物體機械能的減少量相等
常用于解決兩個或多個物體組成的系統(tǒng)的機械能守恒問題
3．幾種常見類型
類型一：輕繩連接的物體系統(tǒng)
(1)常見情景

(2)三點提醒
①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。
②用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。
③對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統(tǒng)，機械能則可能守恒。
類型二：輕桿連接的物體系統(tǒng)
(1)常見情景

(2)三大特點
①用桿連接的兩個物體，其線速度大小一般有以下兩種情況：
a．若兩物體繞某一固定點做圓周運動，根據(jù)角速度ω相等確定線速度v的大小。
b．“關(guān)聯(lián)速度法”：兩物體沿桿方向速度大小相等。
②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。
③對于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機械能守恒。
類型三：輕彈簧連接的物體系統(tǒng)
(1)題型特點
由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)內(nèi)物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能守恒。
(2)兩點提醒
①對同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量完全決定，無論彈簧伸長還是壓縮。
②物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關(guān)。
例3 如圖所示，一根輕繩繞過光滑的輕質(zhì)定滑輪，兩端分別連接物塊A和B，B的下面通過輕繩連接物塊C，A鎖定在地面上。已知B和C的質(zhì)量均為m，A的質(zhì)量為m，B和C之間的輕繩長度為L，初始時C離地的高度也為L。現(xiàn)解除對A的鎖定，物塊開始運動。設(shè)物塊可視為質(zhì)點，落地后不反彈。重力加速度大小為g。求：

(1)A剛上升時的加速度大小a；
(2)A上升過程的最大速度大小vm；
(3)A離地的最大高度H。
(1)C落地后，A加速還是減速？
提示：減速。
(2)A離地最高時，B可能在哪里？
提示：B可能已落地，也可能還未落地。
嘗試解答　(1)g　(2) 　(3)L
(1)解除對A的鎖定后，A加速上升，B和C加速下降，加速度大小a相等，設(shè)輕繩對A和B的拉力大小為T，由牛頓第二定律得
對A：T－mg＝ma
對B、C：(m＋m)g－T＝(m＋m)a
聯(lián)立解得：a＝g。
(2)C落地后，A的重力大于B的重力，A減速上升，所以當(dāng)物塊C剛著地時，A的速度最大。從A剛開始上升到C剛著地的過程，由機械能守恒定律得
2mgL－mgL＝(2m)v＋v
解得vm＝ 。
(3)假設(shè)C落地后A繼續(xù)上升h時速度為零，此時B未觸及地面，A和B組成的系統(tǒng)機械能守恒，有
mgh－mgh＝0－v
聯(lián)立解得：h＝L
由于h＝L

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