2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州中學(xué)高二上學(xué)期12月階段質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將方程化為標準式即可計算求解.【詳解】解：方程可變形為，因為方程表示圓，則，所以.故選：D.2．若直線與圓沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點的個數(shù)為（    ）A．0或1 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】由直線與圓相離得到點位置后判斷【詳解】由題意，得，故點在以原點為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，即在橢圓內(nèi)部，過點的直線與該橢圓必有2個交點．故選：B3．過點的圓與直線相切于點，則圓的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求得圓心和半徑，由此求得圓的方程.【詳解】設(shè)圓心為，半徑為，則，解得，所以圓心為，半徑.所以圓的方程為.故選：A4．如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C．， D．【答案】D【分析】化曲線方程為橢圓的標準方程，由題意可得，求解此不等式可得的取值范圍.【詳解】由方程，可得，因為方程表示焦點在軸上的橢圓，可得，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.5．已知等比數(shù)列滿足，，則的值為（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再利用通項公式求解.【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以，所以，所以，故選：C6．已知數(shù)列的前項和，若，則（    ）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【分析】當時，由可得，當時，，驗證是否適合可得通項公式，代入通項公式求解可得結(jié)果.【詳解】解：當時，，當時，，，符合上式，數(shù)列的通項公式為：，故選：C.7．如圖，已知拋物線，過點和分別作斜率大于的兩平行直線，交拋物線于，和，，連接交軸于點，則直線的斜率是（    ） A． B． C． D．【答案】D【分析】由題知，進而設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立方程得，進而可得，，再求斜率即可.【詳解】解：因為，，，所以，因為，所以∽，所以，即，因為過點和兩平行直線斜率大于所以，直線斜率大于，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，所以所以，，解得所以，所以，即直線的斜率是.故選：D8．已知雙曲線C：的右焦點為F，左頂點為A，M為C的一條漸近線上一點，延長FM交y軸于點N，直線AM經(jīng)過ON（其中O為坐標原點）的中點B，且，則雙曲線C的離心率為（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由中點B，且得，由點到直線距離公式得，從而得，通過三角形全等證得△MNB為等邊三角形，然后得，從而計算出離心率．【詳解】記M為雙曲線C：的漸近線上的點，因為，且，所以，．所以．因為右焦點到漸近線的距離，所以．所以，所以，所以，所以，又因為，．所以△MNB為等邊三角形，所以，所以，即，所以．故選：A． 二、多選題9．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，，a7是a3與a9的等比中項，則下列選項正確的是（    ）A． B．C．當且僅當時，取得最大值 D．當時，n的最大值為20【答案】BD【分析】先求出，，從而可判斷AB的正誤，再求出通項公式，根據(jù)其符號可判斷C的正誤，求出并解不等式，故可判斷D的正誤.【詳解】因為，故，又，整理得到：，故，，故A錯，B正確.又，當時，；當時，；當時，，故當且僅當、時，取得最大值，故C錯誤.又，令，則即n的最大值為20，故D正確故選：BD.10．已知數(shù)列的前n項和為，，，且，則下列說法正確的是（    ）A．數(shù)列的通項公式為B．若，則C．數(shù)列為等比數(shù)列D．【答案】ABD【分析】對于選項A，因為，所以，從而判斷出為等比數(shù)列，從而求出的通項公式；對于選項B，通過選項A中為等比數(shù)列，判斷出為等比數(shù)列，從而得到答案；對于選項C，因為的通項公式已知，通過分組求和得到，從而判斷出是否為等比數(shù)列；對于選項D，通過選項A和D可以得到和，從而判斷是否正確.【詳解】對于選項A，，則，又，故數(shù)列是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，故A正確；對于選項B，，則為等比數(shù)列，所以，故B正確；對于選項C，由，得，又，則數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯誤；對于選項D，易得，即，故D正確.故選：ABD11．已知點為坐標原點，直線與拋物線相交于兩點，則（    ）A． B．C．的面積為 D．線段的中點到直線的距離為2【答案】AC【分析】先判斷直線過焦點，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達定理得兩根關(guān)系，再根據(jù)選項一一判斷即可．【詳解】設(shè)，拋物線，則 ，焦點為，則直線過焦點；聯(lián)立方程組 消去得， 則，所以 ，故A正確；由，所以與不垂直，B錯；原點到直線的距離為 ，所以的面積為 ，則C正確；因為線段的中點到直線的距離為，故D錯故選：AC【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．12．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為.若，則（    ）A．、在直線上 B．雙曲線的離心率C．內(nèi)切圓半徑最小值是 D．的范圍是【答案】AC【分析】對于A，由切線長定理結(jié)合雙曲線定義可判斷正誤；對于B，由A分析，結(jié)合可判斷正誤；對于C，聯(lián)立直線AB方程與雙曲線方程，利用韋達定理表示出內(nèi)切圓半徑，后可判斷正誤；對于D，利用幾何知識得到表達式，后利用函數(shù)知識可判斷正誤.【詳解】設(shè)，其中.設(shè)，.對于A，過分別作、、的垂線，垂足分別為D、E、F，所以由切線長定理有，則，又因為，所以.又，所以，同理可得.則、在直線上，故A正確；對于B，因平分，平分，，則.在中，，.由射影定理可得，即，則雙曲線離心率為2，故B錯誤；對于C，因，則內(nèi)切圓半徑.其中，又由B分析可知.則.其中，又，則.故.設(shè)直線AB方程為，將其與雙曲線聯(lián)立有：，消去得：，則，.又兩點在雙曲線右支，則.又..代入，有.當且僅當，即直線AB與x軸垂直時取等號.故C正確；對于D，設(shè)，又由對稱性設(shè)直線AB的傾斜角為，其中 .則.又由C分析知，，則，所以，得，則，，所以，又在上單調(diào)遞增，則.故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓，難度較大.對于A選項，關(guān)鍵為利用切線長定理得到；對于B選項，關(guān)鍵為利用射影定理；對于C選項，關(guān)鍵為利用結(jié)合雙曲線定義得到.對于D選項，關(guān)鍵為找到范圍，后表示出. 三、填空題13．設(shè)為橢圓：和雙曲線：的一個公共點，且在第一象限，是的左焦點，則______.【答案】##【分析】先求出F點坐標，再聯(lián)立橢圓和雙曲線方程，求出P點坐標，運用兩點距離公式即可.【詳解】對于橢圓M， ；聯(lián)立方程 ，解得 ，因為在第一象限， ，；故答案為： .14．是公差為2的等差數(shù)列的前n項和，若數(shù)列也是等差數(shù)列，則________.【答案】或3【解析】可由特殊值求出，再驗證對所有正整數(shù)，都有數(shù)列是等差數(shù)列【詳解】由題意，∵數(shù)列是等差數(shù)列∴，，解得或，時，，時，，均為的一次函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，故答案為：或3.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前項和公式，考查等差數(shù)列的證明，如果數(shù)列的通項公式是的一次函數(shù)，則數(shù)列一定是等差數(shù)列．15．3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．如圖所示的塔筒為打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為6cm，下底直徑為9cm，高為9cm，則喉部（最細處）的直徑為______cm．【答案】【分析】由已知，根據(jù)題意，以最細處所在的直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設(shè)出雙曲線方程，并根據(jù)離心率表示出之間的關(guān)系，由題意底直徑為6cm，所以雙曲線過點，下底直徑為9cm，高為9cm，所以雙曲線過點，代入雙曲線方程即可求解方程從而得到喉部（最細處）的直徑.【詳解】由已知，以最細處所在的直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設(shè)雙曲線方程為，由已知可得，，且，所以，所以雙曲線方程為，底直徑為6cm，所以雙曲線過點，下底直徑為9cm，高為9cm，所以雙曲線過點，代入雙曲線方程得：，解得： ，所以喉部（最細處）的直徑為 cm.故答案為：. 四、雙空題16．設(shè)是數(shù)列的前項和，，則______；若不等式對任意恒成立，則的最小值為______.【答案】          【分析】利用題設(shè)條件可得，化簡后可得，從而可求的通項，再利用數(shù)列單調(diào)性求出的最大項，從而可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，故即.因為，故當時，，故，整理得到，所以，故為等差數(shù)列且首項為，公差為2，故，故.又即為，故.設(shè)，則當時，，故為單調(diào)遞減數(shù)列，故，故即.故答案為：，. 五、解答題17．已知數(shù)列滿足：，，（）．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的定義證明即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，利用累加法和等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴數(shù)列{}是以為首項，4為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，， 當時， 當n=1時，滿足上式．所以，．18．在中，已知，.(1)若直線過點，且點A，到的距離相等，求直線的方程；(2)若直線為角的內(nèi)角平分線，求直線的方程.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）因為點，到的距離相等，所以直線過線段的中點或，分直線過線段的中點和兩種情況討論即可；（2）因為直線為角的內(nèi)角平分線，所以點關(guān)于直線的對稱點在直線上，求出點的坐標，即可求出直線方程．【詳解】（1）解：因為點，到的距離相等，所以直線過線段的中點或，當直線過線段的中點時，線段的中點為，的斜率，則的方程為，即，當時，的斜率，則的方程為，即，綜上：直線的方程為或；（2）因為直線為角的內(nèi)角平分線，所以點關(guān)于直線的對稱點在直線上，設(shè)，則有， 得，即，所以直線的斜率為， 則直線的方程為，即．19．如圖，在平面直角坐標系中，點，直線，設(shè)圓的半徑為1， 圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）兩直線方程聯(lián)立可解得圓心坐標，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據(jù)點到直線距離公式，列方程可求得直線斜率，進而得切線方程；（2）根據(jù)圓的圓心在直線：上可設(shè)圓的方程為，由，可得的軌跡方程為，若圓上存在點，使，只需兩圓有公共點即可.【詳解】（1）由得圓心，∵圓的半徑為1，∴圓的方程為：，顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓的切線方程為，即．∴，∴，∴或．∴所求圓的切線方程為或．（2）∵圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為．又∵，∴設(shè)為，則，整理得，設(shè)為圓．所以點應(yīng)該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點，∴，由，得，由，得．綜上所述，的取值范圍為．【解析】1、圓的標準方程及切線的方程；2、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.【方法點睛】本題主要考查圓的標準方程及切線的方程、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當中.本題（2）巧妙地將圓上存在點，使問題轉(zhuǎn)化為，兩圓有公共點問題是解決問題的關(guān)鍵所在. 20．已知數(shù)列，滿足，其中，.(1)若，.①求證：為等比數(shù)列；②試求數(shù)列的前n項和.(2)若，數(shù)列的前6291項之和為1926，前77項之和等于77，試求前2024項之和是多少？【答案】(1)①證明見解析；②(2) 【分析】（1）①，利用累加法求解即可；②由①得,令，的前項和為,利用錯位相減法求解數(shù)列的和即可；（2）推出數(shù)列是一個周期為6的周期數(shù)列,然后求解數(shù)列的任意連續(xù)6項之和為0，然后利用其周期和相關(guān)值求出，則得到答案.【詳解】（1）①證明：，當時累加得，，又所以為首項為2，公比為2的等比數(shù)列.②由①得，令，的前項和為，則，，得（2）若，則，所以數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，設(shè)，，則，，，，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則.所以，，所以所以.21．已知橢圓的左右頂點為A、B，直線l：.已知O為坐標原點，圓G過點O、B交直線l于M、N兩點，直線AM、AN分別交橢圓于P、Q.(1)記直線AM，AN的斜率分別為、，求的值；(2)證明直線PQ過定點，并求該定點坐標.【答案】(1)(2)證明見解析， 【分析】（1）首先設(shè)出點的坐標，根據(jù)，利用斜率公式表示；（2）當直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示，從而得到與的關(guān)系，計算定點坐標，并驗證當直線的斜率不存在時，也過此定點.【詳解】（1）由已知可得MN為圓G的直徑，所以，則，根據(jù)題意不妨設(shè)，， 則，所以，所以.（2）證明：當直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，，，所以，所以，即，或，當時，直線l的方程為，過定點，當時，直線l的方程為，過定點，舍去.    當直線PQ斜率不存在時，，，，直線方程是與橢圓方程聯(lián)立得，同理得，此時直線PQ的方程是，過定點，綜上可知，直線PQ過定點，該定點坐標是.22．已知為等比數(shù)列，，記數(shù)列滿足，且.（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數(shù)，設(shè)，求的前項的和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，分析可知，根據(jù)已知條件可求得的值，金額可求得的值，利用等比數(shù)列的通項公式可求得等比數(shù)列的通項公式，在利用對數(shù)的運算性質(zhì)可求得數(shù)列的通項公式；（2）分析可得出，利用裂項相消法可求得奇數(shù)項的和，利用錯位相減法可求得偶數(shù)項的和，由此化簡可得的表達式.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，對任意的，則，則，所以，，因為，可得，因為，則，，所以，；（2）當為奇數(shù)時，，前項中所有的奇數(shù)項的和為當為偶數(shù)時，，記，，兩式相減得，所以，.故數(shù)列的前項和. 

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