2022-2023學(xué)年湖南省益陽市高二上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知兩點(diǎn)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，直接求解.【詳解】.故選：D．2．若直線與垂直，則的值為（    ）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線垂直的條件列式求解作答.【詳解】直線與的斜率分別為，，依題意，，解得，所以的值為或.故選：C3．已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】，故選：C4．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用基本量法解，，需要分類討論公比是否為1.【詳解】當(dāng)時，，不成立；當(dāng)時，，即，解得，故選：A．5．已知正方形，以，兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓恰好過正方形四邊的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可設(shè)正方形的邊長為，從而根據(jù)橢圓定義以及勾股定理可得離心率.【詳解】以正方形的中心為原點(diǎn)，以為軸建立坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)正方形的邊長為，則，，，，橢圓中，，故離心率，故選：C．6．南宋數(shù)學(xué)家在詳解九章算法和算法通變本末中提出了一些新的垛積公式，所討論的二階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，二階等差數(shù)中前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)之差成等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前項(xiàng)分別為，，，，，，，則該數(shù)列的第項(xiàng)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由條件判斷該高階等差數(shù)列為逐項(xiàng)差數(shù)之差成等差數(shù)列，進(jìn)而得到，再利用累加法求得，進(jìn)而可求得．【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則由，，，，可知該數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，故，故，則，，，，，上式相加，得，即，故故選：C．7．已知實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】不等式恒成立，即，由利用基本不等式，求的最大值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，，，，，當(dāng)，時，，，．故選：B8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，，動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)分別作圓，的切線，切點(diǎn)分別為，，若存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出兩圓圓心和半徑，利用，可求點(diǎn)軌跡方程為圓，又在直線上，結(jié)合圓心到直線的距離小于等于半徑可求的取值范圍.【詳解】由題意，，，，設(shè)，若，，則，，，即，圓心坐標(biāo)為，半徑為，動點(diǎn)在直線上，存在點(diǎn)滿足，直線與圓有交點(diǎn)，圓心到直線的距離，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C． 二、多選題9．下列各式中，值為的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可判斷A；由二倍角的正弦公式可計(jì)算B；由二倍角的余弦公式可判斷C；由誘導(dǎo)公式可計(jì)算D.【詳解】對于A：，所以A正確對于B：，所以B正確對于C：，所以C不正確對于D：，所以D正確，故選：ABD.10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上（異于左右頂點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（    ）A．該雙曲線的離心率為B．若，則的面積為C．點(diǎn)到兩漸近線的距離乘積為D．直線和直線的斜率乘積為【答案】ACD【分析】根據(jù)離心率的公式即可判斷A,根據(jù)三角形面積公式即可判斷B,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及斜率公式即可判斷CD.【詳解】由雙曲線方程得，，離心率為，A正確若，不妨設(shè)，將其代入雙曲線方程得，所以，，，B錯誤設(shè)，則，，漸近線方程為，點(diǎn)到兩漸近線的距離乘積為，C正確，，，D正確故選:ACD．11．在矩形中，，沿對角線將矩形折成一個大小為的二面角，若，則下列各選項(xiàng)正確的是（    ）A．四面體外接球的表面積為B．點(diǎn)B與點(diǎn)D之間的距離為C．四面體的體積為D．異面直線與所成的角為【答案】ACD【分析】求出，即可判定 A正確；分別作，垂足為E，F，利用向量法求出，即可判定B錯誤；證明平面，求出，故C正確；利用向量法求出，所以異面直線與所成的角為，故D正確，【詳解】解：如圖，因?yàn)?/span>和都是以為斜邊的直角三角形，則為四面體外接球的直徑．因?yàn)?/span>，則，所以四面體外接球的表面積為，故A正確；分別作，垂足為E，F，則．由已知可得，．因?yàn)?/span>，則，所以，故B錯誤；因?yàn)?/span>，則．同理．又，平面，則平面，所以，故C正確；由已知可得，，，則，則，得，所以異面直線與所成的角為，故D正確，故選：ACD．12．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，，，，，，.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個數(shù)均為，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．B．C．D．【答案】BC【分析】寫出的前幾項(xiàng)，通過觀察可得數(shù)列的周期，進(jìn)而結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)以及的定義，可判斷A、B項(xiàng)；因?yàn)?/span>，可推得，逐項(xiàng)代入即可得到C項(xiàng)；由，可得，逐項(xiàng)代入即可得到，從而得到D項(xiàng)錯誤.【詳解】因?yàn)?/span>，，，，，，根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)以及的定義可得，，，，，，.同理可推得，當(dāng)時，有，，，，，，所以是以為周期的周期數(shù)列，所以，所以A項(xiàng)錯誤；由周期性可知，，，故B正確；因?yàn)?/span>，可推得，逐項(xiàng)代入，可得，所以C正確；因?yàn)?/span>，所以D錯誤故選：BC． 三、填空題13．圓和圓公切線的條數(shù)為__________．【答案】【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系即可確定公切線條數(shù).【詳解】圓，，，因此兩圓外離，則有條公切線．故答案為：4.14．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)為，根據(jù)條件可得以及，解出即可得到.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為.因?yàn)橹本€的斜率為，由對稱關(guān)系，兩點(diǎn)連線與直線垂直，所以，又因?yàn)閮牲c(diǎn)連線段的中點(diǎn)在直線上，代入得，兩式聯(lián)立，即可解得，所以對稱點(diǎn)為．故答案為：．15．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色?無臭?無毒?不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示.若此正八面體的內(nèi)切球的半徑為，則該正八面體的表面積為___________.【答案】【分析】先由正八面體的結(jié)構(gòu)特征求出內(nèi)切球半徑，求出，即可求出正八面體的表面積.【詳解】如圖，連接，相交于，連接.取的中點(diǎn)，連接，.設(shè)，可得，所以.由，可得，.又,所以平面.過點(diǎn)作，可得平面.由正八面體的結(jié)構(gòu)特征可得的長為內(nèi)切球半徑.又由，，有，可得，解得，該正八面體的表面積為.故答案為：. 四、雙空題16．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn).設(shè)直線，與拋物線的另一個交點(diǎn)分別為，.（1）當(dāng)直線垂直于軸時，__________；（2）記直線，的斜率分別為，，則的值為__________. 【答案】     3     2【分析】（1）利用拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）利用直線斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】空一：直線垂直于軸時，，空二：設(shè)，，，，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以，即，則．故答案為：3；2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 五、解答題17．在銳角中，內(nèi)角、、所對的邊分別為，，，，，向量，的夾角為．(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示列式求解作答.（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合正弦定理邊化角，利用三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）因，，則，而，且向量，的夾角為，則，因此，在銳角中，，則，解得，所以.（2）由（1）知，又，由正弦定理得：，則，，而，由銳角得，，即有，顯然有，于是得，有，，所以周長的取值范圍為.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，直線的方程為，點(diǎn)．(1)若與圓相切，求的值；(2)若過點(diǎn)的直線截得圓的弦長，求的斜率的取值范圍．【答案】(1)或(2) 【分析】(1)根據(jù)題意，圓與直線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解；(2)根據(jù)題意得到圓心到直線的距離為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）由題意知，圓，即圓心，半徑為，圓心到直線的距離，解得或；（2）若直線斜率不存在，即的方程為，此時直線與圓相切，不滿足題意，舍去，若直線斜率存在，設(shè)其為，則直線的方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離為，有，因?yàn)?/span>，所以，即，解得，故的斜率的取值范圍為19．已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用公式，時，，代入化簡得到數(shù)列的遞推公式，即可求解通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求和，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由，得，兩式相減可得，，又，，即是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此，的通項(xiàng)公式為；（2）證明：由可知，所以，，因?yàn)?/span>恒成立，所以，又因?yàn)?/span>，所以單調(diào)遞增，所以，綜上可得．20．在四棱錐中,底面為正方形,平面平面,,,是的中點(diǎn),點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn),(1)證明：;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)根據(jù)勾股定理證明,根據(jù)題意可得,從而證明DE平面,因?yàn)?/span>,所以平面,得到,再根據(jù)已知得到,證明平面即可得證.(2)分別以,,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算得到平面的法向量和平面的法向量即可得到結(jié)果.【詳解】（1）,,,,又,,平面,平面,DE平面,,平面,平面,,是中點(diǎn),,,又,平面,平面,平面,平面,（2）平面平面,平面平面,,平面,平面,,如圖所示,分別以,,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,設(shè)平面的法向量為,,則即,取,則，取平面的法向量為,二面角的平面角為銳角,設(shè)大小為,則,即二面角的余弦值為.21．讀書可以增長知識，開拓視野，修身怡情.樹人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到40名男生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻率分布直方圖.男生一周閱讀時間頻數(shù)分布表小時頻數(shù)92533 (1)由以上頻率分布直方圖估計(jì)該校女生一周閱讀時間的眾數(shù)和75%分位數(shù)；(2)由以上頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖估計(jì)總樣本的平均數(shù)；(3)從一周課外閱讀時間為的樣本學(xué)生中按比例分配抽取6人，再從這6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.（注：以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值）【答案】(1)75%分位數(shù)是，眾數(shù)是3(2)3.6(3) 【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合眾數(shù)、百分位數(shù)的求法計(jì)算即可；(2)根據(jù)頻數(shù)分布表直接求出男生一周課外閱讀時間平均數(shù)，根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)的求法求出女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)，即可求出總樣本的平均數(shù)；(3)根據(jù)頻數(shù)分布表與頻率分布直方圖求出一周課外閱讀時間為的男生與女生人數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由女生一周閱讀時間的頻率分布直方圖知，閱讀時間的眾數(shù)是3，設(shè)女生一周閱讀時間的75%分位數(shù)為，，解得；（2）由頻數(shù)分布表估計(jì)男生一周課外閱讀時間平均數(shù)由頻率分布直方圖估計(jì)女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)所以估計(jì)總樣本的平均數(shù)（3）由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，一周課外閱讀時間為的學(xué)生中男生有3人，女生有（人）若從中按比例分配抽取6人，則男生有1人，記為，女生有5人，記為，，，，，則樣本空間，共有15個樣本點(diǎn).記事件“恰好一男一女”，則故所求概率.22．已知橢圓的右焦點(diǎn)與上下頂點(diǎn)構(gòu)成一個等腰直角三角形，且直線與橢圓僅有一個公共點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)斜率不為的直線過點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2)2 【分析】（1）由題意得，聯(lián)立直線與橢圓方程得到一元二次方程，根據(jù)即可求得結(jié)果；（2）若直線的斜率不存在，可求得；若直線的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式求得，利用點(diǎn)差法求斜率并求其方程，與橢圓方程聯(lián)立，可得M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得到直線的距離之和，進(jìn)一步求四邊形的面積及最值即可．【詳解】（1）由題知，，，即橢圓方程為聯(lián)立消去得由，解得，則橢圓的方程為．（2）由（1）知若直線的斜率不存在，其方程為，可得坐標(biāo)為，弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)，可得坐標(biāo)為，，則若直線的斜率存在，設(shè)，由得設(shè)，，可知，則由在橢圓上得兩式相減得整理得，則則直線的方程為由解得或即的坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離之和為顯然和在直線的異側(cè)，故和異號則四邊形面積由恒成立，得綜上，四邊形面積的最小值為． 

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