2022-2023學(xué)年廣東省廣州市協(xié)和學(xué)校高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

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2022-2023學(xué)年廣東省廣州市協(xié)和學(xué)校高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題 1．已知集合，，則（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化簡集合，再求交集運(yùn)算即可. 【詳解】由，可得或. 所以. 故選：A 2．設(shè)，若復(fù)數(shù)的虛部與復(fù)數(shù)的虛部相等，則（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)已知條件求得的值，利用復(fù)數(shù)的乘法化簡可得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)的虛部與復(fù)數(shù)的虛部相等，則，則， 因此，. 故選：D. 3．雙曲線的漸近線方程為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令即可求漸近線方程. 【詳解】令 得 即雙曲線的漸近線方程為 故選：A. 4．已知，則（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，分子分母同除以，即可求出結(jié)果. 【詳解】因?yàn)椋?又，所以， 故選：A. 5．已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)（????） A．－2 B．2 C．1 D．－1 【答案】B 【分析】由向量坐標(biāo)運(yùn)算求出，根據(jù)，得，計(jì)算可得. 【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所?. 故選：B 6．已知函數(shù)的圖象如圖所示.則（????） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】由相鄰零點(diǎn)與對(duì)稱軸間的距離為周期的四分之一，求得周期，進(jìn)而求得，由最低點(diǎn)的坐標(biāo)求得的值，進(jìn)而計(jì)算得解. 【詳解】由圖象可得的最小正周期，∴， 由，解得， 由得，∴， ∴， 故選：A 7．已知圓，直線過點(diǎn)交圓于兩點(diǎn)，則弦長的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，即可判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，即可求出弦長最大、最小值，即可得解. 【詳解】解：圓的圓心，半徑，又， 所以點(diǎn)在圓內(nèi)， 當(dāng)直線過圓心時(shí)，弦長取最大值， 當(dāng)直線時(shí)，圓心到直線的距離最大，最大值為，此時(shí)弦長取最小值； 故選：D. 8．在棱長為1的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若，則的面積的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得，利用三角形面積公式，即可求得答案. 【詳解】以點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn)，，所以． 因?yàn)?，，所? 因?yàn)?，所以，所以?因?yàn)?，所以?所以,因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，． 因?yàn)檎襟w中，平面，平面,故， 所以， 故選：B． 二、多選題 9．如圖某池塘中的浮萍蔓延后的面積與時(shí)間（月）的關(guān)系：（且），以下敘述中正確的是（????） A．這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2 B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍的面積就會(huì)超過 C．浮萍從蔓延到需要經(jīng)過2個(gè)月 D．浮萍每個(gè)月增加的面積都相等 【答案】AC 【解析】由圖像中的數(shù)據(jù)可求出函數(shù)關(guān)系式，然后逐個(gè)分析判斷即可 【詳解】解：將點(diǎn)代入中，得，所以，所以A正確， 當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以浮萍從蔓延到需要經(jīng)過2個(gè)月，所以C正確； 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得浮萍每個(gè)月增加的面積不相等，所以D錯(cuò)誤， 故選：AC 10．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（????） A．，，則的外接圓半徑是2 B．若，則 C．若，則一定是銳角三角形 D．若，則 【答案】ABD 【分析】根據(jù)正余弦定理及其應(yīng)用，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇. 【詳解】對(duì)：由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故正確； 對(duì)：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確； 對(duì)：因?yàn)?，所以為銳角，但不確定，故C錯(cuò)誤； 對(duì)：若，，所以由正弦定理得，故D正確.、 故選：ABD. 11．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，，，，下列結(jié)論中正確的是（????） A．AP⊥AB B．存在實(shí)數(shù)λ，使 C．是平面ABCD的法向量 D．四邊形ABCD的面積為 【答案】ACD 【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，一一判斷即可． 【詳解】因?yàn)椋?，故A正確； 與不平行，故B錯(cuò)誤． 因?yàn)?，且與不平行，所以是平面ABCD的法向量，故C正確； 由 故四邊形ABCD的面積為， D正確； 故選：ACD． 12．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)，.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，則以下選項(xiàng)正確的是（????） A． B．若，則 C．若，則面積的最小值為 D．四點(diǎn)共圓 【答案】ACD 【分析】由拋物線焦半徑公式可直接構(gòu)造方程求得，知A正確；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可知B錯(cuò)誤；由可知C正確；表示出直線方程后，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到，知，同理可得，由此可知D正確. 【詳解】 對(duì)于A，由拋物線焦半徑公式得：，解得：，A正確； 對(duì)于B，由題意知：直線斜率存在，設(shè)， 由得：，； 由得：，則， ，B錯(cuò)誤； 對(duì)于C，若，則，不妨設(shè)， 則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即面積的最小值為，C正確； 對(duì)于D，直線的斜率為， 直線的方程為，令得：， 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即， 則直線的斜率，，， 同理可得：，四點(diǎn)共圓，D正確． 故選：ACD． 【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用的問題，本題D選項(xiàng)中，證明四點(diǎn)共圓的基本思路是能夠通過說明兩條直線斜率乘積為，得到兩條直線互相垂直，進(jìn)而得到四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得到四點(diǎn)共圓. 三、填空題 13．斜率為－2，且過兩條直線3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交點(diǎn)的直線方程為______________． 【答案】2x＋y－4＝0 【分析】設(shè)直線系方程，然后通過斜率確定參數(shù)即可. 【詳解】設(shè)所求直線方程為3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，所以k＝＝－2，解得λ＝5 ∴所求直線方程為2x＋y－4＝0． 14．已知一組數(shù)據(jù)1，2，2，，5，10的平均數(shù)是4，則該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為______． 【答案】2 【分析】根據(jù)平均數(shù)求出，然后將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，再根據(jù)第百分位數(shù)的定義即可得出答案. 【詳解】解：因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)1，2，2，，5，10的平均數(shù)是4， 所以，解得， 將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，得：1，2，2，4，5，10共6個(gè)數(shù)據(jù)， 由，所以該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為第2項(xiàng)，即2. 故答案為：2. 15．已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，若直線的斜率為，則的離心率為______. 【答案】## 【分析】由題意可知四邊形為矩形，結(jié)合直線的斜率為，推得，，結(jié)合雙曲線定義即可求得答案. 【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)， 則線段與相互平分， 所以四邊形為矩形，若直線的斜率為，且， 則，則，又 ，故， 由定義可知：，可得， 故答案為： 16．在三棱柱，四邊形與四邊形都是菱形，是等邊三角形，平面平面，分別的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是__________． 【答案】 【解析】如圖，取AC的中點(diǎn)，連接，則以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的數(shù)量積，由即可求解. 【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)，連接． 四邊形是菱形，且平面平面， 可得平面ABC，， 則以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向， 建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則， 從而， 故， 即異面直線與所成角的余弦值是. 故答案為： 四、解答題 17．已知函數(shù). (1)求的最小正周期； (2)求在上的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，進(jìn)而可得周期； （2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域. 【詳解】（1）∵ ， ∴， ∴的最小正周期； （2）由，得， 所以， ∴， 所以在上的值域?yàn)? 18．已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在軸上. (1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)已知直線與直線平行，且與圓相交所得弦長為，求直線的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，運(yùn)用待定系數(shù)法列方程組求解； （2）先用斜截式設(shè)直線方程，然后根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，弦長公式進(jìn)行求解即可. 【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為， 圓經(jīng)過點(diǎn)， 解得， 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （2）由題意可得：，所以直線的斜率為， 設(shè)的方程為，圓心到直線的距離為， 直線與圓相交所得弦長為，解得或 經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，舍去 所以的方程為. 19．為進(jìn)一步增強(qiáng)疫情防控期間群眾的防控意識(shí)，使廣大群眾充分了解新冠肺炎疫情防護(hù)知識(shí)，提高預(yù)防能力，做到科學(xué)防護(hù)，科學(xué)預(yù)防.某組織通過網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行新冠肺炎疫情防控科普知識(shí)問答.共有100人參加了這次問答，將他們的成績（滿分100分）分成，，，，，這六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖. (1)求圖中a的值，并估計(jì)這100人問答成績的中位數(shù)和平均數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替） (2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從問答成績?cè)趦?nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本，再從樣本中任意抽取2人，求這2人的問答成績均在內(nèi)的概率. 【答案】(1)，中位數(shù)為，平均數(shù)為72 (2) 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)以及中位數(shù)和平均數(shù)的概念，進(jìn)行計(jì)算即可得解； （2）根據(jù)分層抽樣在[60，70）內(nèi)的有人，分別記為A，B；問答成績?cè)赱70，80）內(nèi)的有人分別記為a，b，C，從中任意抽取2人，列出實(shí)驗(yàn)的樣本空間，再利用概率公式，進(jìn)行計(jì)算即可得解. 【詳解】（1）由圖可知，，解得. 設(shè)中位數(shù)為x，則，所以. 這100人問答成績的平均數(shù)約為. （2）用分層隨機(jī)抽樣的方法從問答成績?cè)赱60，80）內(nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本， 則問答成績?cè)赱60，70）內(nèi)的有人，分別記為A，B； 問答成績?cè)赱70，80）內(nèi)的有人分別記為a，b，C. 從中任意抽取2人，則實(shí)驗(yàn)的樣本空間 ??{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10個(gè)樣本點(diǎn). 設(shè)事件A為2人的問答成績均在[70，80）內(nèi)的概率， 則， 所以這2人的間答成績均在[70，80）內(nèi)的概率. 20．已知橢圓與橢圓有相同的離心率，短半軸長為1. (1)求的方程； (2)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且為鈍角（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的斜率的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由條件可得、，然后可得答案； （2）設(shè)，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理得到，然后由為鈍角可得、，據(jù)此可解出答案. 【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為， 所以，因?yàn)闄E圓的短半軸長為1， 所以，所以可得， 所以的方程為， （2）直線的方程為， 由可得， 由可得， 設(shè)，則， 因?yàn)闉殁g角，所以，且三點(diǎn)不共線， 所以， 所以，解得， 綜上可得：的取值范圍為. 21．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PC上一點(diǎn)． (1)求證：平面平面PAD； (2)若G為PD的中點(diǎn)，，是否存在點(diǎn)F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】(1)證明見解析 (2)存在；或 【分析】（1）根據(jù)底面菱形的特點(diǎn)得到，再由線面垂直得到，平面，進(jìn)而得到面面垂直； （2）建立空間坐標(biāo)系得到線面角的表達(dá)式，求解即可. 【詳解】（1）證明：連接， 因?yàn)榈酌鏋榱庑危?所以是正三角形， 是的中點(diǎn)， ， 又， 平面，平面， 又平面， 又平面， 所以平面平面． （2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AE，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，， 所以，，． 設(shè)平面的法向量，則即 令，得平面的一個(gè)法向量． 設(shè)與平面所成的角為，則 ， 解得或， 即存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或． 22．如圖，空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是邊長為的正方形，底面OABC在xOy平面內(nèi)，且拋物線Q：經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．點(diǎn)B在y軸正半軸上，平面OABC，側(cè)棱OP與底面所成角為． (1)求m的值； (2)若是拋物線Q上的動(dòng)點(diǎn)，M是棱OP上的一個(gè)定點(diǎn)，它到平面OABC的距離為，寫出M、N兩點(diǎn)之間的距離，并求的最小值； (3)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得當(dāng)取得最小值時(shí)，異面直線MN與OB互相垂直？請(qǐng)說明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)題意，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可得出的值； （2）根據(jù)題意可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)，即可得出函數(shù)的最小值； （3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求得，由異面直線與垂直時(shí)，可得，從而可得出結(jié)論. 【詳解】（1）解：由四棱錐是底面邊長為的正方形，則， 則， 所以； （2）解：因?yàn)槠矫鍻ABC， 所以即為直線與平面所成角的平面角， 即， 因?yàn)辄c(diǎn)到平面OABC的距離為， 則點(diǎn)， 由是拋物線Q上的動(dòng)點(diǎn)，則，即， 則， 令，設(shè)，對(duì)稱軸為直線， ①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在上單調(diào)遞增， 則，此時(shí)； ②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)， 此時(shí)函數(shù)在取得最小值， 即， 此時(shí)， 綜上； （3）解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與原點(diǎn)重合， 則直線與為相交直線，不符； 當(dāng)時(shí)，則當(dāng)取最小值時(shí)，， 不妨設(shè)，則， ， 則， 當(dāng)異面直線與垂直時(shí)，， 即，無解， 綜上所述，不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得異面直線與垂直.