深圳實驗學校高中部2022-2023學年度第一學期第一階段考試高一數(shù)學時間：120分鐘     滿分：150分     一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補集、交集的定義計算可得.【詳解】解：因為，所以，又，所以.故選：B2. 設(shè)命題：，，則以下描述正確的是（    ）A. 為假命題，是“，”B. 為假命題，“，”C. 為真命題，是“，”D. 為真命題，是“，”【答案】B【解析】【分析】通過取特殊值，使得是有理數(shù)，所以為假命題【詳解】當時，，與，矛盾，所以，，所以為假命題而是，故選：B3. 已知，則函數(shù)的解析式是（    ）A.  B. （且）C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)換元法求解析式即可.【詳解】解：由題知且，令，則（且），∴（且），∴（且）．故選：B．4. 若實數(shù)滿足，則的最小值為A.  B. 2 C.  D. 4【答案】C【解析】【詳解】，（當且僅當時取等號），所以的最小值為，故選C.考點：基本不等式【名師點睛】基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍．如果條件等式中，同時含有兩個變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個正數(shù)的和與積進行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進行求解． 5. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是1，則m的取值范圍是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用配方法可得,則,,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可判斷的范圍【詳解】由題,,因為,,且對稱軸為,所以,因為在區(qū)間上的最大值是5,最小值是1,所以故選：B【點睛】本題考查已知二次函數(shù)最值求參數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題6. 若關(guān)于的方程在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（        ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】分離參數(shù)為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．【詳解】由題意在內(nèi)有解，，時，，時，，所以．故選：A．7. 若兩個正實數(shù)滿足，若至少存在一組使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得，即求，利用基本不等式，可解得，進而得到，進而可求解.【詳解】至少存在一組使得成立，即，又由兩個正實數(shù)滿足，可得， 當且僅當，即時，等號成立，，故有，解得，故，所以實數(shù)的取值范圍是故選：C.8. 關(guān)于的不等式 的解集中恰有個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（　?。?/span>A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分類討論一元二次不等式的解，根據(jù)解集中只有一個整數(shù)，即可求解.【詳解】由得 ，若，則不等式無解．若，則不等式的解為，此時要使不等式的解集中恰有個整數(shù)解，則此時個整數(shù)解為，則．若，則不等式的解為，此時要使不等式的解集中恰有個整數(shù)解，則此時個整數(shù)解為，則．綜上，滿足條件的的取值范圍是故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9. 若a，b，，則下列命題正確的是（    ）A. 若且，則 B. 若，則C. 若且，則 D. 【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，當時，結(jié)論不成立，故A錯誤；對于B，等價于，又，故成立，故B正確；對于C，因為且，所以等價于，即，成立，故C正確；對于D，等價于，成立，故D正確.故選：BCD.10. 下面命題正確的是（    ）A. “”是“”的必要不充分條件B. “”是“一元二次方程有一正一負根”的充要條件C. 設(shè)，則“”是“且”的充分不必要條件D. “”是“”的必要不充分條件【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義，即可判斷A選項；根據(jù)一元二次方程中根的個數(shù)和根與系數(shù)的關(guān)系，即可判斷B選項；由“”，則不一定有“且”，即可判斷C選項；若，則或，結(jié)合必要不充分條件的定義，即可判斷D選項.【詳解】解：對于A，根據(jù)必要不充分條件的定義，可知A正確；對于B，若，則，所以一元二次方程有兩個根，且一正一負根，若一元二次方程有一正一負根，則，則，故B正確；對于C，若“”，則不一定有“且”，而若“且”，則一定有“”，所以“”是“且”的必要不充分條件，故C不正確；對于D，若，則或，則若“”，則不一定有“”，而“”時，一定有“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：ABD.11. 下面結(jié)論正確的是（        ）A. 若，則的最大值是B. 函數(shù)的最小值是2C. 函數(shù)（）的值域是D. ，且，則的最小值是3【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式求最值判斷ABD，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C．【詳解】時，．，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，從而的最大值是，A正確；，當且僅當時等號成立，但無實數(shù)解，因此等號不能取得，2不是最小值，B錯；時，，，因為，所以時，，時，，時，．所以值域是，C正確；，且，，，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是4－1＝3，D正確．故選：ACD．12. 已知，，且，則（    ）A. 的取值范圍是B. 的取值范圍是C. 的最小值是3D. 的最小值是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可求得，判斷A;將變形為結(jié)合基本不等式，判斷B；由整理得到結(jié)合基本不等式可判斷C,D.【詳解】對于A，因為，，所以，當且僅當時取等號，即，解得，即，A錯誤；對于B, 由，,，當且僅當時取等號，得，所以,又，所以，B正確；對于C, 由，，，得，則 ，當且僅當，即時等號成立,但，所以．（等號取不到）,故C錯誤；對于D，由C的分析知：，,,，當且僅當，即時等號成立，D正確，故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知集合A＝，B＝，且9∈(A∩B)，則a的值為________．【答案】5或－3【解析】【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系列方程，再代入驗證，即得結(jié)果.【詳解】因為9∈(A∩B)，所以9∈A，即2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3.當a＝5時，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合題意；當a＝3時，A＝，a－5＝1－a＝－2，B中有元素重復，不符合題意，舍去；當a＝－3時，A＝，B＝，A∩B＝，9∈(A∩B)，符合題意，綜上所述，a＝5或a＝－3.故答案為：5或－3【點睛】本題考查根據(jù)元素與集合關(guān)系求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14. 若函數(shù)的定義域為，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】由定義域得一元二次不等式的解，從而由二次不等式的性質(zhì)可得參數(shù)值．【詳解】由題意的解是，所以，解得，，所以．故答案為：．15. 若關(guān)于x的二次方程的兩個根分別為，且滿足，則m的值為______【答案】【解析】【分析】先求出方程有兩根時的范圍，再由根與系數(shù)關(guān)系將用表示，建立關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】關(guān)于x的二次方程有兩個根，則，，又，即，解得或（舍去），的值為.【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應用，要注意兩根存在的條件，屬于基礎(chǔ)題.16. 已知函數(shù)，若且，則取值范圍是 _____．【答案】【解析】【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，由已知得出的范圍，及的關(guān)系，把表示為的函數(shù)，然后由二次函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】時，是增函數(shù)，且，時，是增函數(shù)，且，如圖，且，則，，由得（負值舍去），因此，，，，，所以時，取得最大值，時，取得最小值，所以的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 設(shè)集合，集合．（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；    （2）【解析】【分析】（1）由根式、分式性質(zhì)求定義域得集合A，根據(jù)已知及集合并運算求即可；（2）求，根據(jù)交集結(jié)果，討論、求參數(shù)m的范圍.【小問1詳解】對于集合A：，得，故；當時，所以.【小問2詳解】由或，而，當時，，即滿足題設(shè)；當時，，可得；綜上，.18. 已知命題 “，”，命題 “，”．（1）若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題和中有且僅有一個是假命題，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)命題是真命題，參變分離，構(gòu)造函數(shù)求最值，得實數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)命題和中有且僅有一個是假命題，分別求解命題和是真命題和假命題時實數(shù)的取值范圍，按要求即可得實數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】解：當命題是真命題，則不等式對滿足的一切恒成立．由，得．設(shè)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，．因此，實數(shù)的取值范圍是．【小問2詳解】解：當命題是真命題時，實數(shù)的取值范圍是，（1）當命題是假命題時，實數(shù)的取值范圍是．…………………（2）當命題假命題時，則命題“，”是真命題．由，得，，且當時取等號，的最小值是．當命題是假命題時，實數(shù)的取值范圍是．…………………（3）當命題是真命題時，實數(shù)的取值范圍是．…………………（4）當命題是真命題且是假命題時，由（1）、（3），得實數(shù)的取值范圍是；當命題是假命題且是真命題時，由（2）、（4），得實數(shù)的取值范圍是；綜上，實數(shù)的取值范圍是或．19. （1）已知、、、是實數(shù)，求證：（2）已知，，，且，求證：【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】對不等式進行化簡，利用完全平方公式、基本不等式證明即可；【詳解】證明：（1），當且僅當時，取等號，對任意實數(shù)，，，，成立． （2）20. 設(shè)函數(shù)．（1）若不等式對于實數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，解關(guān)于不等式．【答案】（1）    （2）答案見解析【解析】【分析】（1）把不等式整理為關(guān)于的不等式，然后利用其在時恒成立可得關(guān)于的不等關(guān)系從而得結(jié)論；（2）不等式化簡為，然后分類討論求解．【小問1詳解】不等式對于實數(shù)時恒成立，即，，顯然，函數(shù)在上遞增，從而得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是；【小問2詳解】不等式，即，當時，，當時，不等式可化為，而，解得，當時，不等式可化為，當，即時，，，當，即時，或，當，即時，或，所以，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為.21. 某食品公司擬在下一年度開展系列促銷活動，已知其產(chǎn)品年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足與成反比例，當年促銷費用萬元時，年銷量是1萬件．已知每一年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件產(chǎn)品售價定為：其生產(chǎn)成本的與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產(chǎn)的商品正好能銷完．（1）求x關(guān)于t的函數(shù)；（2）將下一年的利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數(shù)；（3）該食品公司下一年的促銷費投入多少萬元時，年利潤最大？（注：利潤=銷售收入-生產(chǎn)成本-促銷費，生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用）【答案】（1）    （2）    （3）當促銷費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可.（2）利用銷售收入減去成本即得利潤.（3）利用基本不等式處理該最值問題.【小問1詳解】由題意：與成反比例，所以設(shè)，                           將t＝0，x＝1代入，得k＝2，                    所以.【小問2詳解】當年生產(chǎn)x(萬件)時，年生產(chǎn)成本為：，        當銷售x(萬件)時，年銷售收入為：，       由題意，生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品正好銷完，且年利潤＝年銷售收入－年生產(chǎn)成本－促銷費，所以即：.【小問3詳解】由（2）有：        因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以，，即.所以當促銷費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大．22. 對任意實數(shù)a，b，定義函數(shù)，已知函數(shù)，，記．（1）若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若，且，求使得等式成立的x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，求在區(qū)間上的最小值．【答案】（1），    （2）    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可得對任意的恒成立，利用根的判別式即可求出取值范圍；（2）整理為，表示出，分類討論即可；（3）由（2）得到，，，分類討論求出取值范圍進而得最小值.【小問1詳解】解：由題意可得，（2）恒成立，即對任意的恒成立，所以，解得，；【小問2詳解】解：因為，所以，因為，，所以，時，；①當時，，所以，又因為，所以；②當時，，所以，因為，，所以，，所以上式不成立；綜上可知，的取值范圍是；【小問3詳解】由（2）知，且，即，所以當時，，所以（1），當時，，①當時，又，即時，；②當時，即時，（6）；綜上，，，，由，解得時，；由，解得時，；當，即時，（6）；綜上．【點睛】本題考查利用二次函數(shù)根的判別式求參數(shù)取值范圍，考查新定義函數(shù)的最值，分類思想，屬于難題．

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