2023屆貴州省遵義市南白中學(xué)高三上學(xué)期12月質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡集合，再由交集的定義求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，或，所以，故選：D2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（    ）A．1 B．i C．2 D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先化簡，再由虛部的概念求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以的虛部為2，故選：C3．已知命題：“，使得”，命題：“是周期為的周期函數(shù)”，則下列命題為真命題的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)原命題與否命題真假性相反結(jié)合復(fù)合命題真假性判斷法則即可判斷．【詳解】解：，∴ 命題p為真；∴ 為假．不恒成立，∴ 命題q為假；為真．∴ 為真，A、B、D為假．故選：C．4．若是第二象限角，且滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由弦的齊次式把弦化切，即可求解【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，即，解得或，又是第二象限角，所以，故選：A5．已知，是空間中兩個(gè)不同的平面，，，是三條不同的直線，則下列說法中，正確的是（    ）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】D【分析】根據(jù)線面垂直、平行，面面平行的條件逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：的必要條件之一為，選項(xiàng)A缺少該條件，故A錯(cuò)誤；若，，則也是有可能的，故B錯(cuò)誤；若，，則也是可能的，故C錯(cuò)誤；若，，，則，正確．原因是若，則必垂直于其面內(nèi)兩交線，因?yàn)?/span>，所以也垂直于該兩交線，故，又，所以．故選：D．6．如圖是下列某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖象，則該函數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】檢驗(yàn)奇偶性可排除AD；判斷時(shí)函數(shù)的取值范圍可排除C，即可求解【詳解】由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知該函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值大于3，對(duì)于A：，該函數(shù)是偶函數(shù)，故排除A；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，所以，故排除C；對(duì)于D：，故該函數(shù)不是奇函數(shù)，故排除D；對(duì)于B：，該函數(shù)是奇函數(shù)，且，滿足題意；故選：B7．在中，點(diǎn)在邊上，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合平面向量基本定理進(jìn)行求解即可/【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：B8．已知公差大于0的等差數(shù)列中，，8是和的等比中項(xiàng)，則公差為（    ）A．2 B．3 C．4 D．【答案】B【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>8是和的等比中項(xiàng)，所以，又因?yàn)?/span>，聯(lián)立解得或（舍），所以，解得.故選:B.9．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值0，則（    ）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)1為極大值點(diǎn)且函數(shù)值為0列方程求解即可．【詳解】解：，由題意知必有解，所以函數(shù)有1個(gè)極大值點(diǎn)和1個(gè)極小值點(diǎn)，∵當(dāng)時(shí)，取最大值0，為極大值點(diǎn)，，解得．，又，為最大值，又，當(dāng)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，為極大值點(diǎn)，滿足題意．故選：C．10．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)                            ②在區(qū)間單調(diào)遞增③為的一個(gè)周期                    ④的最大值為2其中正確的是（    ）A．①④ B．①③ C．①②③ D．③④【答案】B【分析】對(duì)于①，利用偶函數(shù)的定義，可得答案；對(duì)于②，根據(jù)整理函數(shù)解析式，利用整體思想，可得答案；對(duì)于③，利用周期的定義，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；對(duì)于④，根據(jù)一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)解析式，求其最值，可得答案.【詳解】對(duì)于①，由函數(shù)，可知其定義域?yàn)?/span>，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，由，則，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，故③正確；對(duì)于④，由③可知的周期為，當(dāng)時(shí)，，易知其最大值為，故④錯(cuò)誤.故選：B.11．已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，若在該圓錐內(nèi)部有一個(gè)與該圓錐共軸的圓柱，則這個(gè)圓柱的體積最大為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則，令，求導(dǎo)后求得，進(jìn)而求得．【詳解】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，如圖則，解得，，令，，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，，．故選：A．12．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】設(shè) ，當(dāng) 時(shí)，有 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，所以 是減函數(shù)， ，即 ；當(dāng) 時(shí)，設(shè) ， 單調(diào)遞增， ，即 ，即 ；故選：A. 二、填空題13．設(shè)向量，的夾角為，，，則______．【答案】5【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：由得，．故答案為：5．14．某游樂場需要新建一個(gè)三視圖如圖所示的標(biāo)志性建筑（單位：米），已知所需材料的密度為，若要把這個(gè)建筑做成實(shí)心的，則共計(jì)需要材料______千克.【答案】【分析】根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，結(jié)合球和棱柱的體積公式、質(zhì)量的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可。【詳解】由三視圖可知：該空間幾何體是棱長為正方體上有個(gè)直徑為的球，如下圖所示：其體積為，所以質(zhì)量為：，故答案為：15．已知數(shù)列滿足，，則______.【答案】【分析】根據(jù)的奇偶性，結(jié)合累和法、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，得，所以故答案為：16．中，，，，是上一點(diǎn)且，則的面積為______.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理，求出的值，由倍角公式求出的正余弦值，根據(jù)誘導(dǎo)公式求出的正余弦值，根據(jù)求出的正余弦，再求的正切值，在直角三角形中求出的長，最后求面積.【詳解】由正弦定理得：，又因?yàn)?/span>所以，且，即，所以，又由且所以，而所以，又因?yàn)?/span>，所以所以，而又因?yàn)?/span>，所以又因?yàn)?/span>，且為銳角，所以即，在直角三角形中,并且，所以，所以的面積為：.故答案為： 三、解答題17．在中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知的面積為，求邊b．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）結(jié)合正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，逆用兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果；（Ⅱ）利用同角的平方關(guān)系即可求出，進(jìn)而結(jié)合三角形的面積公式即可求出邊長，再結(jié)合余弦定理即可求出邊b.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理，（其中R為外接圓的半徑），所以，，，代入已知條件可得：， 所以，即， ，故． （Ⅱ）因?yàn)?/span>，且，所以，故，所以的面積為，故，解得，所以，即．18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)的切線方程；(2)若曲線有兩條過點(diǎn)的切線，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線方程的點(diǎn)斜式求解即可；（2）設(shè)切點(diǎn)為，由題意可得有兩個(gè)不等的實(shí)根，由此即可求解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，切線斜率切線方程為，即（2）設(shè)切點(diǎn)為，由知：，整理得①因?yàn)檫^點(diǎn)的切線有兩條，所以①式有兩個(gè)不等實(shí)根所以有，即19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由于的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可【詳解】（1）①，當(dāng)時(shí)，②，①②得，即，又時(shí)，，∴為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，故，∴（2）③④③④得∴20．圖一，四邊形是邊長為2的菱形，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿直線折起，形成如圖二的四棱錐，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取線段的中點(diǎn)為，連接和，證明四邊形為平行四邊形，可得，再由線面平行的判定定理即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，利用向量法求解即可【詳解】（1）圖二中，取線段的中點(diǎn)為，連接和，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴且；由題易知：且，∴且；∴四邊形為平行四邊形，∴；∵平面，平面，∴平面（2）由題知：在圖一中，、都是正三角形，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則有，，，，此時(shí)；設(shè)三棱錐的高為，則，則，即點(diǎn)到平面的距離為1，而，故平面；則可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，且，，，，則，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則；則，設(shè)二面角的平面角為，則21．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)證明：.【答案】(1)0(2)證明見解析 【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）由（1）知，，即，令，，由此可得，取得證，要證，只需證即證，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)法證明即可【詳解】（1）法一：的定義域?yàn)?/span>，令，則，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，注意，∴在上，，在上單調(diào)遞減，在上，，在上單調(diào)遞增，∴法二：的定義域?yàn)?/span>，令，易知在單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即所以在在上單調(diào)遞減，所以在在上單調(diào)遞增，在取極小值即最小值.∴（2）由（1）知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立令，從而有，，…∴即取得證要證只需證即證構(gòu)造函數(shù)則  ，在單調(diào)遞增，所以，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立令    ，即綜上所述【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和證明不等式，證明不等式成立可按下列結(jié)論轉(zhuǎn)化：若，令，則；若，令，則；22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)若，寫出曲線普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若與恰一個(gè)公共點(diǎn)，求的值.【答案】(1)，(2)或 【分析】（1）消參法求曲線方程，根據(jù)可得方程；（2）曲線C是一個(gè)圓，直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)即圓心到直線的距離為半徑可求得.【詳解】（1）若，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），兩式平方相加，消參數(shù)得曲線的普通方程為，由化簡得∵，，∴直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），普通方程為是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，若與恰一個(gè)公共點(diǎn)，即直線與圓相切，原點(diǎn)到直線的距離為，解得或.23．已知函數(shù).(1)記函數(shù)的最大值為，求的值；(2)已知，，，求的最大值及此時(shí)，的值.【答案】(1)(2)最大值為，此時(shí)，. 【分析】（1）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)討論最值即可；（2）利用柯西不等式求解.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.（2）即，由柯西不等等式∴當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，∴最大值為，此時(shí)，. 

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