2023屆貴州省貴陽第一中學高三高考適應性月考（三）數(shù)學（理）試題 一、單選題1．設集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據分式不等式的解法和集合的交集、并集運算求解.【詳解】由得 解得，所以，所以，故選：B．2．已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)的模是（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】計算，得到，再計算模長得到答案.【詳解】，故，的模為，故選：A3．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．充分必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由及等比數(shù)列通項公式求出且，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：由即，顯然，，所以，解得且．所以由不一定能推出，但由一定能推出，因此“”是“”的必要不充分條件；故選：C．4．已知向量、為相互垂直的單位向量，若，則向量與向量的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出，，再根據夾角公式求出，即可得解.【詳解】解：因為、為相互垂直的單位向量，所以且，所以，，所以，又，所以；故選：D．5．已知數(shù)列的前項和為，且．若，則（    ）A．116 B．232 C．58 D．87【答案】A【分析】根據等差數(shù)列的性質和前項和公式求解.【詳解】∵，∴，∴為等差數(shù)列，∴ ，∵，∴，∴，故選:A．6．甲、乙、丙三人參加一次考試，他們合格的概率分別為，那么三人中恰有兩人合格的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由獨立事件的乘法公式計算即可.【詳解】由題意知，本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，三個人中恰有2個合格，包括三種情況，這三種情況是互斥的，∴三人中恰有兩人合格的概率為 .故選：C．7．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（    ）A．4 B．1 C．5 D．2【答案】D【分析】將整理成“1”的形式，然后運用“1”的妙用解題.【詳解】由，有，所以，則 ，當且僅當即時，等號成立，故選D．故選：D．8．O為坐標原點，F為拋物線的焦點，M為C上一點，若，則的面積為（    ）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】先根據定義求出點的橫坐標，將其代入拋物線方程，求出點的縱坐標，進而求出面積.【詳解】由可得拋物線的焦點，準線方程為，由拋物線焦半徑公式知，將代入，可得，所以的面積為，故選：A．9．高三年級某班組織元旦晚會，共準備了甲、乙、丙、丁、戊五個節(jié)目，出場時要求甲、乙、丙三個節(jié)目順序為“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相鄰），則這樣的出場排序有（    ）A．24種 B．40種 C．60種 D．84種【答案】B【分析】先求出五個節(jié)目的全排列有種情況，要求甲、乙、丙有兩種固定的出場順序，則除以甲乙丙的全排列，再乘以固定的順序種類即可得到結果.【詳解】五個元素的全排列數(shù)為，由于要求甲、乙、丙在排列中順序為“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2種排法，所以滿足條件的排法有.故選：B．10．已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，對任意不相等的，均有成立，若，則a，b，c的大小關系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設恒成立可得在為減函數(shù)，結合偶函數(shù)性質則在為增函數(shù)，由對數(shù)函數(shù)單調性可判斷，即可根據單調性得a，b，c的大小關系.【詳解】∵對任意不等，，均有成立，∴此時函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，又∵是偶函數(shù)，∴當時，為增函數(shù)．由，，所以，所以，即.故選：D．11．已知橢圓的方程為分別為橢圓的左、右焦點，M為橢圓上在第一象限的一點，I為的內心，直線與x軸交于點N，若，則該橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據內心的幾何特點，結合橢圓定義和已知條件，求得，即可求得結果.【詳解】連接，，如下所示：I是的內心，可得，分別是和的角平分線，MN為的角平分線，則N到直線，的距離相等，所以，同理可得，，由比例關系性質可得  ．又因為，所以橢圓的離心率.故選：B．12．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，若關于x的函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)分析的單調性，結合函數(shù)是奇函數(shù)，數(shù)形結合即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】如圖，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，且當時，；時，；又是R上的奇函數(shù)，，其函數(shù)圖象如下所示：的零點，即的根；數(shù)形結合可知，有個根，故只需與的圖象有一個交點即可.即滿足條件或，解得.故選：A． 二、填空題13．若隨機變量，且，則___________．【答案】##【分析】根據正態(tài)分布的性質，結合已知條件，求解即可.【詳解】．故答案為：.14．已知的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中一次項系數(shù)為___________．【答案】【分析】先運用賦值法求出的值，然后運用二項式定理的展開式求一次項系數(shù).【詳解】令，可得的展開式中各項系數(shù)的和為，．，故該展開式中一次項為，故答案為80．故答案為：80.15．直線與圓交于兩點，則最小值為______.【答案】【分析】求出直線過定點，然后結合圓的性質分析出當直線與OA垂直時，弦長最短，然后結合垂徑定理即可求解.【詳解】直線過定點過，因為點在圓的內部，且，由圓中弦的性質知當直線與OM垂直時，弦長最短，此時結合垂徑定理可得，故答案為：16．在三棱錐中，已知是線段上的點，．若三棱錐的各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為___________．【答案】【分析】先由空間關系依次證，平面PAB ，，平面ABC，由正弦定理算外接圓的半徑為r，最后由幾何關系算得外接球半徑.【詳解】如圖所示，在中，因為，，可得 ．又因為，所以．由，，可得，可得，所以．又由，且PB，平面PAB，所以平面PAB．又由平面PAB，所以．由，即，且，AD，平面ABC，可得平面ABC．設外接圓的半徑為r，則，可得，即．設三棱錐的外接球的半徑為R，可得，即，球O的半徑為，故表面積為．故答案為： 三、解答題17．設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足：．(1)求角A的大??；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，化簡后，再利用余弦定理可求得結果；（2）利用正弦定理求出角，從而可判斷三角形為直角三角形，進而可求出三角形的面積.【詳解】（1）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又，故．（2）由正弦定理可知，又，，，所以．故，所以，故為直角三角形，于是．18．正的邊長為2，是邊上的高，E，F分別是和的中點（如圖甲）．現(xiàn)將沿翻成直二面角（如圖乙）．在圖乙中：(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）通過可得結論；（2）建立空間直角坐標系，求出面的法向量，利用線面角的向量公式計算即可.【詳解】（1）證明：在圖乙的△ABC中，因為E，F分別是AC，BC的中點，所以．又平面DEF，平面DEF，所以平面DEF．（2）在圖甲中，是邊上的高，則，翻折后必有，則二面角的平面角，即，即如圖，以點D為坐標原點，以直線DB，DC，DA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．則，，，，， ，，．設平面DEF的一個法向量為，則即，令，則，，所以直線與平面所成角的正弦值為．19．為進一步做好新冠肺炎疫情防控工作，觀山湖區(qū)某學校以問卷形式對教職工做了新冠疫苗免費接種的宣傳和調查．調查數(shù)據如下：共100份有效問卷，50名男性中有2名不愿意接種疫苗，50名女性中有10名不愿意接種疫苗．(1)根據所給數(shù)據，完成下面的列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為是否愿意接種疫苗與性別有關？ 愿意接種不愿意接種合計男   女   合計    (2)從不愿意接種疫苗的12份調查問卷中得知，其中有5份是由于身體原因不能接種，且3份是女性問卷，若從這5份問卷中任選2份繼續(xù)深入調研，求這2份問卷分別是1份男性問卷和1份女性問卷的概率．附：0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828  【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有95%的把握認為是否愿意接種疫苗與性別有關；(2) 【分析】（1）根據男女生的總人數(shù)和不愿意接種人數(shù)為突破點可完成聯(lián)表，然后將數(shù)據代入卡方公式進行計算；（2）根據概率計算公式可算.【詳解】（1）列聯(lián)表如下： 愿意接種不愿意接種合計男女合計 的觀測值，∴有95%的把握認為是否愿意接種疫苗與性別有關．（2）記3份女性問卷為A，B，C，2份男性問卷分別為a，b，則5份問卷任取2份的方法為：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10種．其中是1份男性和1份女性的有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6種，∴這2份問卷分別是1份男性問卷和1份女性問卷的概率．或解：20．已知橢圓，短軸長為，過橢圓C的右焦點且垂直于x軸的直線被截得的弦長為3．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點的直線l與橢圓C交于D，E兩點，則在x軸上是否存在一個定點M，使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，也請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，. 【分析】（1）根據已知條件，列出滿足的方程組，解得，即可求得橢圓方程；（2）討論直線的斜率是否存在，當斜率存在時，設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結合韋達定理以及直線的斜率互為相反數(shù)，即可求得結果.【詳解】（1）對橢圓，令，解得，故可得 解得，， 所以橢圓C的標準方程為．（2）據題設知點，當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為．由得．設，，則，．設，則，．又因為直線MD，ME的斜率互為相反數(shù)，所以，所以，則，所以，所以，所以．若對任意恒成立，則，當直線l的斜率k不存在時，若，則滿足直線MD，ME的斜率互為相反數(shù)．綜上，在x軸上存在一個定點，使得直線MD，ME的斜率互為相反數(shù)．【點睛】關鍵點點睛：本題考查橢圓方程的求解，以及橢圓中存在某點滿足條件；第二問處理的關鍵是合理使用韋達定理，結合斜率之和為進行求解，屬綜合中檔題.21．已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)的單調性；(2)若函數(shù)有兩個不同的實數(shù)解，試說明．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析. 【分析】（1）由導數(shù)法判斷單調性即可；（2）原方程化簡為，令，則，則要證結合對數(shù)運算法則，等價于證，令，則，只要證明，時恒成立即可，最后由導數(shù)法證明即可.【詳解】（1）由題可知的定義域是，．當時，，所以在上單調遞增；當時，令，解得，當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減．綜上：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）證明：因為有兩個不同實數(shù)解，即有兩個不同實數(shù)解，又由于，故不妨設令，且有，，∴，，要證，只需證．令，則，所以只要證明，時恒成立，令，，由于已知，∴恒成立，所以在上遞增，∴，所以時，恒成立，即恒成立，從而證明．【點睛】要證，關鍵是利用條件將不等式變形，將作為整體換元，使原不等式變成只含一個變量的不等式恒成立問題.本題，故可結合對數(shù)運算性質進行變形，最后不等式等價于證22．在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．(1)求曲線C和直線l的普通方程；(2)已知點P的直角坐標為，直線l與曲線C相交于不同的兩點A，B，求的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據參數(shù)方程得到，展開極坐標方程再代換得到直線方程.（2）確定直線的參數(shù)方程，代入曲線方程得到，根據韋達定理得到根與系數(shù)的關系，計算得到答案.【詳解】（1）曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則有，即曲線C的普通方程為.直線l的極坐標方程為，展開可得，將代入，可得，即，即．（2）點在直線l：上，則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得，整理得：，設點A，B對應的參數(shù)分別為，，則，．所以．23．已知．(1)求不等式的解集；(2)若方程有實數(shù)解，求m的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分段討論，化簡絕對值，再解不等式即可.（2）方程有實數(shù)解轉化為函數(shù)有交點，利用三角不等式求出函數(shù)的最小值，即可求得m的取值范圍【詳解】（1）解：不等式，即，①當時，不等式化為，解得，故；②當時，不等式化為成立，故；③當時，不等式化為，解得，故，綜上所述，不等式解集為.（2）解：由三角不等式可得，，所以，要使方程有實數(shù)解，則函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有交點，需，故m的取值范圍是. 

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