2023屆山東省百校大聯(lián)考高三上學(xué)期12月數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡集合A、B，再去求即可解決.【詳解】則故選：C2．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，從而得其共軌復(fù)數(shù)，由此得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，所以的虛部為.故選：C.3．“”是“函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)”的（    ）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)單調(diào)性得到恒成立，計(jì)算得到，根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到答案.【詳解】函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，故恒成立.即恒成立，，故.故“”是“函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B4．設(shè)非零向量，滿足，，則向量在方向上的投影向量（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)的夾角為，求出即得解.【詳解】解：設(shè)的夾角為，由得.所以向量在方向上的投影向量為.故選：A5．在等比數(shù)列中，，，則等于（    ）A． B．128 C． D．256【答案】B【分析】根據(jù)條件，寫出通項(xiàng)公式，求出 .【詳解】由題意， ， ；故選：B.6．下列點(diǎn)中為函數(shù)的對(duì)稱中心的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)的平方公式與倍角公式化簡函數(shù)得，再利用代入檢驗(yàn)法判斷三角函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，對(duì)于AD，當(dāng)時(shí)，，所以該函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故AD錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以該函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以該函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故C正確.故選：C.7．已知三棱柱中，，，平面平面，，若該三棱柱存在體積為的內(nèi)切球，則三棱錐體積為（    ）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】由已知條件可證得三棱錐為底面是直角三角形的直三棱柱，根據(jù)三棱柱內(nèi)切球的體積可計(jì)算得三棱柱的高，設(shè)底面直角三角形的邊長，則可列關(guān)系式，即可找到直角三角形的兩邊長，用體積轉(zhuǎn)換的方法求得體積.【詳解】如圖所示，因?yàn)?/span>，，，所以平面，又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，過點(diǎn)作，則平面，則，又因?yàn)?/span>，所以平面，平面，所以.設(shè)則，又因?yàn)槿忮F內(nèi)切球的體積為，則，則，，即，則，解得，棱柱的高等于內(nèi)切球直徑，所以，故三棱錐的體積為.故選：D8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)任意的，，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立.若，則不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，得，令，得，得為奇函數(shù). 令，得，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性將不等式化為，結(jié)合函數(shù)的定義域和可求出結(jié)果.【詳解】在中，令，得，得，在中，令，得，即，所以為奇函數(shù)，令，則，所以，因?yàn)?/span>，所以，，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以恒成立，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由及函數(shù)的定義域可知，，又由已知，可得，可得，由得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，結(jié)合，可得.故選：D 二、多選題9．在下列函數(shù)中，最小值是4的是（    ）A． B．C．， D．【答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即可作出判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)?/span>，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，D正確.故選：BD10．給出的下列選項(xiàng)中，正確的是（    ）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，將得到的圖象C．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)D．函數(shù)最小正周期為【答案】BC【分析】對(duì)于A，化簡函數(shù)得，再由求解即可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；對(duì)于B，由圖象的平移公式可得平移后的函數(shù)的解析式為，再由誘導(dǎo)公式化簡得，從而即可判斷；對(duì)于C，利用二倍角公式化簡得，解得函數(shù)在上的零點(diǎn)即可判斷；對(duì)于D，利用二倍公式化簡得，令，由此可得，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?/span>，由，可得：，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，將得到的圖象，故正確；對(duì)于C，，令，則有或，又因?yàn)?/span>，所以解得或或，所以函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，故正確；對(duì)于D，，令，則有，由此可得函數(shù)的最小正周期不是，故錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知正方體的棱長為2，、、是棱、、上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），且滿足，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．平面B．存在、、，使得點(diǎn)到平面的距離為1C．平面截此正方體所得截面面積的最大值為D．平面截此正方體所得截面的周長為定值【答案】ACD【分析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，計(jì)算得到得到A正確；點(diǎn)到平面的距離為，無解，B錯(cuò)誤；截面面積為，C正確；截面的周長，D正確；得到答案.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，故，同理可得，，平面，故平面，A正確；平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)到平面的距離為，解得，不滿足，B錯(cuò)誤；設(shè)平面分別與，，交于，設(shè)，則，，即，同理可得：，，故，，如下圖：過點(diǎn)作于，于，則，，截面面積：，當(dāng)時(shí)有最大值為，C正確；截面的周長為：，為定值，D正確；故選：ACD12．已知函數(shù)，數(shù)列按照如下方式取定：，曲線在點(diǎn)處的切線與經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)的直線平行，則（    ）A． B．恒成立 C． D．?dāng)?shù)列為單調(diào)數(shù)列【答案】ABD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用放縮法和構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，，，曲線在點(diǎn)處的切線與與連線平行，所以斜率相等，所以，所以，所以所以，而，所以，記，所以，所以單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以所以，故選項(xiàng)A正確；設(shè)，則，設(shè)，，所以，，所以若，則，則，因?yàn)?/span>，所以恒成立，故選項(xiàng)B正確；要證，令，即證明，令，所以t>0時(shí)，，(t>0)所以，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，若數(shù)列為單調(diào)，則必為單調(diào)遞減，則，即，即，即(),即，即，令，則，所以，所以單調(diào)遞增，所以，所以，所以得證；所以選項(xiàng)D正確;故選：ABD.【點(diǎn)睛】通過構(gòu)造單變量函數(shù)，求導(dǎo)后證明不等式，從而可以幫助解題. 三、填空題13．在長方體中，，，直線與所成的角為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】【分析】先根據(jù)題干中的角度，算出長方體的三邊數(shù)據(jù)，然后建系，利用空間向量進(jìn)行解決.【詳解】根據(jù)長方體性質(zhì)，//，由題意，直線與所成的角為，即直線與所成的角為，即，于是，則為等腰三角形，故，下以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下.，，，則，設(shè)平面的法向量，由，得到，取，則為平面的法向量. 又，，，根據(jù)點(diǎn)到面距離的向量表達(dá)式，點(diǎn)到平面的距離為：.故答案為：       14．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】【分析】由，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>為正實(shí)數(shù)，所以， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：.15．已知矩形的邊，，為的中點(diǎn)，為矩形所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為______.【答案】【分析】由題意可知，P是以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)，以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)，即可求出，根據(jù)三角函數(shù)的值域，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題意可知，P是以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，則，，，設(shè)， 則，，，，，由于為矩形所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則，，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，的取值范圍為，故答案為：. 四、雙空題16．著名的斐波那契數(shù)列滿足，，其通項(xiàng)公式為，則是斐波那契數(shù)列中的第______項(xiàng)；又知高斯函數(shù)也稱為取整函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，則______.（【答案】     101     842【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，化簡得,得到答案①；利用，得到，進(jìn)而求出，得到答案②.【詳解】，則是斐波那契數(shù)列中的第101項(xiàng)；列出斐波那契數(shù)列，有，可得，由，取，，，得，，因?yàn)?/span>，故，則，.故答案為：①101；②842. 五、解答題17．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，三邊，，與面積滿足關(guān)系式：且______在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在前面橫線中，求滿足條件的個(gè)數(shù).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答得分. 【答案】選①,有兩個(gè)解；若選②，有一個(gè)解；若選③，無解.【分析】由可得，，再根據(jù)選項(xiàng)逐一判斷的大小關(guān)系，從而即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>，即有為，所以，所以，所以，即有，若選①：，因?yàn)?/span>，，即，故有2個(gè)解；若選②：，因?yàn)?/span>，即，故有1個(gè)解；若選③：，因?yàn)?/span>，即，故無解；18．?dāng)?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；證明見解析(2) 【分析】（1）首先求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入對(duì)數(shù)運(yùn)算，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義證明；（2）由（1）可知，，利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，所以，所以，，（常數(shù)），，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列；（2），     兩式相減得 ，所以.19．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足，(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，是斜率為2的直線上的兩個(gè)不重合的點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)或；(2)的取值范圍為 【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換，結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系化簡條件等式即可求角；(2)由斜率公式可得，根據(jù)正弦定理可求的外接圓半徑，再由正弦定理用角表示，結(jié)合三角恒等變換及正弦函數(shù)性質(zhì)可求的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，又，所以，，因?yàn)?/span>，所以，故，因?yàn)?/span>，所以或；（2）因?yàn)?/span>，是斜率為2的直線上的兩個(gè)不重合的點(diǎn)，所以且，故，因?yàn)?/span>為銳角三角形，由(1)可得，，，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?/span>，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，所以，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，故的取值范圍為.20．已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)討論當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性；(2)判斷方程是否有解，并說明理由.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)無解，詳見解析 【分析】(1)由題意得出的函數(shù)解析式，并利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性對(duì)進(jìn)行分類分類討論即可得出結(jié)果.(2)根據(jù)第一問的結(jié)論，可以得出的單調(diào)性，求出的最小值和進(jìn)行比較可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，則，令，，則①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，即恒成立②當(dāng)，令，則，時(shí)，，時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，，綜上所述，恒成立，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由，所以，由(1)知時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，無解21．芻甍（chúméng）是中國古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體，《九章算術(shù)》中對(duì)其有記載：“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.”如圖，在芻甍中，四邊形是正方形，，，，平面，為垂足，且，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若多面體的體積為12，求平面與平面所成角的正弦值.【答案】(1)見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，通過線線平行即可證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量求解點(diǎn)面距離，即可根據(jù)法向量求解面面角.【詳解】（1）連接,由于為的中點(diǎn)，又四邊形是正方形且，所以是的中點(diǎn)，因此,平面,平面,所以平面（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，,所以，則 ，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，故點(diǎn)到平面的距離，，故，所以三角形的面積為，所以幾何體的體積為，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以， 所以，平面與平面所成角的正弦值為22．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若在區(qū)間，各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得曲線在處的切線方程；（2）通過分類討論和構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判定出在區(qū)間，上的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則則，又則曲線在處的切線方程為（2），則令，則（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，又，則在上無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又，則在上無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，存在唯一使得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，時(shí)，，則在上存在唯一零點(diǎn)，符合題意；（2）令，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又，由（1）可得，則，，則存在唯一，使得當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，又，時(shí)，，則在上存在唯一零點(diǎn)，符合題意；綜合（1）（2）可得，若在區(qū)間，各恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 

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