?2023屆山東省東營市廣饒縣第一中學高三上學期12月月考數(shù)學試題

一、單選題
1．已知集合，，若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由交集定義得，解得，從而，由此能求出.
【詳解】∵集合，，，
∴，∴，
解得，∴，
∴.
故選：D.
【點睛】本題考查交集、并集的求法，考查交集、并集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.
2．如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則對應(yīng)的點位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】先求得，進而求得、，從而確定正確答案.
【詳解】由圖可知，
所以，
所以，對應(yīng)點在第二象限.
故選：B
3．為了提升全民身體素質(zhì)，學校十分重視學生體育鍛煉，某校籃球運動員進行投籃練習．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，由全概率公式可求得結(jié)果.
【詳解】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，
，，，
由全概率公式可得.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用全概率公式計算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是弄清第球與第球投進與否之間的關(guān)系，結(jié)合全概率公式進行計算.
4．若數(shù)列，，，，是等比數(shù)列，則的值是（????）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等比數(shù)列得到，結(jié)合得到答案.
【詳解】數(shù)列，，，，是等比數(shù)列，則，故，
，故.
故選：C
5．若函數(shù)的最小正周期為，則下列區(qū)間中單調(diào)遞增的是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出函數(shù)的圖象，可得出函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間，可求得的值，結(jié)合正切型函數(shù)的圖象與單調(diào)性可求得函數(shù)的增區(qū)間，即可得解.
【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，且其增區(qū)間為，
對于函數(shù)，其最小正周期為，可得，則，
由，解得，其中，
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以，函數(shù)在上遞減，在上不單調(diào)，在上遞增，在上遞減.
故選：C
6．已知，．則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，然后結(jié)合三角恒等變換的知識求得正確答案.
【詳解】，解得，
由于，所以，，
.



.
故選：C
7．已知是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點M在正方體表面上運動，則的最小值為（????）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】本題通過基底法，得到，再通過立體圖得到的值，以及的最小值，最終代入數(shù)據(jù)得到最小值.
【詳解】如圖為棱長為8的正方體外接球的一條直徑,為球心，為正方體表面上的任一點

則球心也就是正方體的中心，
所以正方體的中心到正方體表面任一點的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球的半徑,
它等于棱長的一半，即長度為4，,的長為正方體的對角線長，為，
我們將三角形單獨抽取出來如下圖所示：



所以的最小值為.
故選：B.
【點睛】將空間向量知識與正方體結(jié)合考察最值問題，難度較大，需要一定空間想象能力以及向量基底法的熟練運用，平時要多加訓練.
8．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，且是偶函數(shù)，記，也是偶函數(shù)，則的值為（????）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，可得 ，求導推得，從而求得，再根據(jù)為偶函數(shù)，可推得，即4是函數(shù)的一個周期，由此可求得答案.
【詳解】因為是偶函數(shù)，所以 ，
兩邊求導得 ，即，
所以 ，即，
令 可得 ，即 ，
因為為偶函數(shù)，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
，所以4是函數(shù)的一個周期，
所以,
故選∶C．
【點睛】方法點睛：此類有關(guān)抽象函數(shù)的求值問題，一般方法是要根據(jù)題意推導出函數(shù)具有的性質(zhì)，比如函數(shù)的奇偶性單調(diào)性以及周期性，然后利用周期性求值.

二、多選題
9．立德中學舉行黨史知識競賽，對全校參賽的1000名學生的得分情況進行了統(tǒng)計，把得分數(shù)據(jù)按照[50，60）?[60，70）?[70，80）?[80，90）?[90，100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（????）

A．圖中的x值為0.020 B．這組數(shù)據(jù)的極差為50
C．得分在80分及以上的人數(shù)為400 D．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為77
【答案】ACD
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有長方形的面積和為1，以及極值、頻數(shù)以及平均數(shù)的計算，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】由，可解得，故選項A正確；
頻率分布直方圖無法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故選項B不正確；
得分在80分及以上的人數(shù)的頻率為，
故人數(shù)為，故選項C正確；
這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為：
故選項D正確.
故選：ACD.
10．已知，則下列命題中，真命題的是（????）
A．若，則是等腰三角形
B．若，則是直角三角形
C．若，則是鈍角三角形
D．若，則是等邊三角形
【答案】CD
【分析】直接利用誘導公式和關(guān)系式的變換及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判定的結(jié)果．
【詳解】解：對于選項，
利用誘導公式，整理得或，
所以或，
故為等腰三角形或直角三角形，故錯誤；
對于選項，整理得或，
故，或，故錯誤；
對于選項，必有一個負值，
假若為，則，
所以，故為鈍角三角形，故正確．
對于選項：由于，
所以，
故，
整理得，
所以為等邊三角形．
故正確．
故選：．
11．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面邊為1，側(cè)棱長為a，M是CC1的中點，則（????）
A．任意a＞0，A1M⊥BD
B．存在a＞0，直線A1C1與直線BM相交
C．平面A1BM與底面A1B1C1D1交線長為定值
D．當a＝2時，三棱錐B1－A1BM外接球表面積為3π
【答案】AC
【分析】對于A，證線線垂直即證線面垂直；
對于B，根據(jù)異面直線的定義可得；
對于C，根據(jù)基本事實3找出交線，然后求出交線長即可；
對于D，根據(jù)外接球與正四棱柱的位置關(guān)系，找出球心，進而求出半徑，即可得出表面積.
【詳解】，，，，平面，
∴平面，平面，∴，A對.
平面，平面，∴平面
∴與異面不相交，B錯.
延長，交于點，為中點，，

∴，∴，，∴，
平面平面，平面與底面交線為，
其中為中點，，C對.
，是直角三角形，外接圓是以為直徑的圓
圓心設(shè)為，半徑（知D錯）
取中點，則平面，，

∴，∴，，D錯；
故選：AC.
12．若，，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】選項A. 取特殊值可判斷；選項B.由條件可得，利用均值不等式得到，從而可判斷；選項C.由可判斷；選項D. 先證明結(jié)論成立，從而可得，即可判斷.
【詳解】當時，滿足，，故選項A不正確.
，∴，∴，故選項B對.
由，即，所以
，則，設(shè)，則
所以在上單調(diào)遞增，則
所以，所以，故選項C對.
對于選項D.
先證明成立
要證明，即證明
設(shè)，即證明，即證明
設(shè)，則
設(shè)，則 （ ）
所以在上單調(diào)遞增，即
所以在上恒有
所以在上單調(diào)遞增，則
所以成立.
由，，所以，
又，則，故選項D對，
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式，解答本題先根據(jù)條件得出，對于選項D根據(jù)指數(shù)均值不等式的結(jié)論證明.屬于難題.

三、填空題
13．已知正數(shù)x，y滿足，求x＋y的最小值______．
【答案】
【分析】先求得的關(guān)系式，然后利用基本不等式求得的最小值.
【詳解】依題意，正數(shù)x，y滿足，
即，所以，
由基本不等式得，（當且僅當時等號成立）
所以，
由于，所以，
所以的最小值為.
故答案為：
14．如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，此時測得燈塔底部C在北偏東方向上，測得塔頂P的仰角為 ，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為______．

【答案】
【分析】解直角求得，在中利用正弦定理，即可求得答案.
【詳解】由題意知在 中，,故,即，
解得 ，
在 中， ，
則，而 ，
所以，
所以，
即船的航行速度是每小時千米，
故答案為：
15．已知數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列_____________．
【答案】
【分析】根據(jù)可得，再利用累乘法即可求解.
【詳解】由題意可得，
所以，
所以，
所以，
又因為，所以，
故答案為：
16．所有的頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，這兩個平行的面稱為上下底面，它們之間的距離稱為擬柱體的高．生產(chǎn)實際中，我們經(jīng)?？吹近S沙、碎石、灰肥等堆積成上下底面平行，且都是矩形的形狀，這種近似于棱臺的形體就是一種特殊的擬柱體（如圖所示），已知其高為h，上底面、下底面和中截面（經(jīng)過高的中點且平行于底面的截面）面積分別為，和，請你用，，，h表示出這種擬柱體的體積V＝______．

【答案】
【分析】利用臺體的體積減去若干棱錐的體積來求得擬柱體的體積.
【詳解】根據(jù)擬柱體的定義，任一擬柱體都可看作是過某棱臺的若干頂點，截去個倒立小棱錐與個正立小棱錐后余的凸多面體.當時，就是原棱臺，即棱臺是特殊的擬柱體.
設(shè)原棱臺的高為，上底面、下底面、中截面面積分別為，
擬柱體的上底面、下底面、中截面的面積分別是，和，
設(shè)截去的個倒立小棱錐的底面面積分別是，
截去的個正立小棱錐的底面面積分別是，
那么擬柱體的體積為


①，
因為棱錐的中截面面積等于底面面積的，
所以，
即②，
由棱臺的中截面性質(zhì)可知，
所以③，
將③代入②得：

，
從而可知，代入①并整理得.
故答案為：
【點睛】本題主要考查擬柱體的體積的求法，在立體幾何教材中有擬柱體的體積的推導過程.圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、圓臺、棱臺、球、球冠、球缺等各有自己的體積公式，但這些公式，都可以統(tǒng)一為擬柱體公式.

四、解答題
17．已知數(shù)列滿足，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項的和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分為奇數(shù)和為偶數(shù)，求解通項公式；
（2）利用分組求和求解.
【詳解】（1）當為奇數(shù)時，，
所以所有奇數(shù)項構(gòu)成以為首項，公差為－1的等差數(shù)列，
所以，
當為偶數(shù)時，，所以所有偶數(shù)項構(gòu)成以為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以；
（2）.
18．在銳角中，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求證：；
(2)若，求的最大值．
【答案】(1)證明詳見解析
(2)

【分析】（1）結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角恒等變換的知識化簡已知條件，求得，進而證得.
（2）結(jié)合三角恒等變換、函數(shù)的單調(diào)性等知識求得的取值范圍，進而求得的取值范圍，從而求得的最大值.
【詳解】（1）依題意，是銳角三角形，
，由正弦定理得，
所以，
由余弦定理得，
則，
即，所以，
由正弦定理得，，
，，
，，則，，，
則或（舍去），
所以，所以.
（2）由于，
由于都是銳角，所以，解得，則，
所以，
對于函數(shù)，
任取，
，
由于，
所以，
所以在區(qū)間上遞減，
所以在上遞減，
，則，
所以.
由于，
所以，則，所以，
所以的最大值為.
19．某服裝廠主要從事服裝加工生產(chǎn)，依據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析，若加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬元，可獲得的加工費為萬元，其中．
(1)若，為確保企業(yè)獲得的加工費隨加工產(chǎn)品訂單的金額x的增長而增長，則該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x（單位：萬元）應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
(2)若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬元時共需要的生產(chǎn)成本為萬元，已知該企業(yè)加工生產(chǎn)能力為（其中x為產(chǎn)品訂單的金額），試問m在何范圍時，該企業(yè)加工生產(chǎn)將不會出現(xiàn)虧損．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）令，求導，解即可求出結(jié)果；
（2）該企業(yè)加工生產(chǎn)將不會出現(xiàn)虧損，即恒成立，參變分離得到，構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值即可.
【詳解】（1）當時，，所以，令，即，又因為，因此，所以該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x（單位：萬元）應(yīng)在；
（2）令，該企業(yè)加工生產(chǎn)將不會出現(xiàn)虧損，即恒成立，
所以，即，設(shè)，則，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上，即在上恒成立，故，所以，故，
因此當時，該企業(yè)加工生產(chǎn)將不會出現(xiàn)虧損.
20．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形A1C1CA為菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在線段AC上移動，P為棱AA1的中點.

(1)若Q為線段AC的中點，H為BQ中點，延長AH交BC于D，求證：AD∥平面B1PQ;
(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值為，求點P到平面BQB1的距離.
【答案】(1)證明見解析；
(2).

【分析】（1）取BB1中點E，連接AE，EH，結(jié)合已知條件易得EH∥B1Q、AE∥PB1，根據(jù)線面平行的判定可證面，面，再由面面平行的判定及性質(zhì)即可證結(jié)論.
（2）連接PC1，AC1有PC1⊥AA1，由面面垂直的性質(zhì)可得PC1⊥面ABB1A1，過P作PR⊥AA1交BB1于點R，進而構(gòu)建空間直角坐標系，設(shè)=λ=λ(0,-2,2)，λ∈[0,1]，確定相關(guān)點坐標，求面PQB1、面AA1C1C的法向量，根據(jù)已知二面角的余弦值求參數(shù)λ，進而可得，連接BP，應(yīng)用等體積法求P到平面BQB1的距離.
【詳解】（1）如圖，取BB1中點E，連接AE，EH，由H為BQ中點，則EH∥B1Q.
在平行四邊形AA1B1B中，P、E分別為AA1，BB1的中點，則AE∥PB1，
由EH∩AE=E且面，面，
所以面，面，又PB1∩B1Q=B1，
所以面EHA∥面B1QP，而AD面EHA，
∴AD∥面B1PQ.

（2）連接PC1，AC1，由四邊形A1C1CA為菱形，則AA1=AC=A1C1=4.
又∠C1A1A=60°，則△AC1A1為正三角形，P為AA1的中點，即PC1⊥AA1.
因為面ACC1A1⊥面ABB1A1，面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1，PC1面ACC1A1，
∴PC1⊥面ABB1A1，在面ABB1A1內(nèi)過P作PR⊥AA1交BB1于點R.
建立如圖所示的空間直角坐標系P-xyz，則P(0,0,0)，A1(0,2,0)，A(0,-2,0)，C1(0,0,2)，C(0,-4,2)，

設(shè)=λ=λ(0,-2,2)，λ∈[0,1]，則Q(0,-2(λ+1),2λ)，
∴=(0,-2(λ+1),2λ).
∵A1B1=AB=2，∠B1A1A=60°，則B1(,1,0)，
∴=(,1,0).
設(shè)面PQB1的法向量為=(x,y,z)，則,令x=1，則=1,-,-，
設(shè)面AA1C1C的法向量為=(1,0,0)，二面角B1-PQ-C1的平面角為θ，則，解得λ=或λ=-(舍)，
∴=且Q(0,-3,)，又B(,-3,0)，
∴=(,0,-)，故||=，=(,4,-)，故||=.
所以，即，
連接BP，設(shè)P到平面BQB1的距離為h，則××4××=××4××h，
∴h=，即點P到平面BQB1的距離為.
21．2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇．
(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望；
(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．
①試證明為等比數(shù)列；
②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大?。?br /> 【答案】(1)分布列見解析，
(2)①證明見解析；②

【分析】（1）先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數(shù)學期望；
（2）遞推求解，記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，滿足.
【詳解】（1）解析1：分布列與期望
依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，
門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，
，，
，，X的分布列為：
X
0
1
2
3
P





期望．
（1）解析2：二項分布
依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，易知，，．X的分布列為：
X
0
1
2
3
P





期望．
（2）解析：遞推求解
①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，
第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，
從而，又，∴是以為首項．公比為的等比數(shù)列．
②由①可知，，，故．
22．已知函數(shù)，，曲線在處的切線的斜率為.
(1)求實數(shù)的值；
(2)對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根從小到大依次為、、、、，求證：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)證明見解析.

【分析】（1）由已知可得出，即可求得實數(shù)的值；
（2）由題意可知對任意的恒成立，驗證對任意的恒成立；在時，由參變量分離法可得出，利用導數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，可得出的取值范圍，綜合即可得解；
（3）令，利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，利用零點存在定理可知，求得，證明出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：因為，則，
由已知可得，解得.
（2）解：由（1）可知，對任意的，恒成立，
即對任意的恒成立，
當時，則有對任意的恒成立；
當時，，則，令，其中，
且不恒為零，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故.
綜上所述，.
（3）證明：由可得，
令，則，
因為，則，
所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因為
，，
所以，存在唯一的，使得，
所以，，則，
所以，
，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

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這是一份山東省東營市第一中學2022-2023學年高三上學期期末達標卷數(shù)學試題，共8頁。

2021-2022學年山東省東營市廣饒縣第一中學高一下學期開學考試數(shù)學試題：

這是一份2021-2022學年山東省東營市廣饒縣第一中學高一下學期開學考試數(shù)學試題，共18頁。試卷主要包含了單項選擇題，選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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