2022屆陜西省渭南市蒲城縣高三上學(xué)期第一次對抗賽數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知集合，，則（     ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】因為，，所以，故選：A2．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】將全稱命題否定為特稱命題即可.【詳解】命題“，”的否定是“，”，故選：C.3．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正切的二倍角公式計算即可.【詳解】因為，所以，故選：D.4．“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及充分條件、必要條件即可求解.【詳解】推不出（舉例，），而,“”是“”的必要不充分條件，故選：B5．函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，然后逐個分析判斷.【詳解】由，得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)的減區(qū)間有，……，對于A，函數(shù)在上有增有減，所以A錯誤，對于B，函數(shù)在上有增有減，所以B錯誤，對于C，函數(shù)在上有增有減，所以C錯誤，對于D，函數(shù)在上遞減，所以D正確，故選：D.6．函數(shù)在上的圖象大致為（    ）A．    B．  C．    D．   【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時的符號，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，排除選項A，B；當(dāng)時，，，排除選項D，故選：C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.7．在中，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，若是以B為直角頂點的直角三角形，則（    ）A．3 B．0 C．-3 D．-1【答案】A【分析】由題意可得，且三點不共線，則，從而可求出的值.【詳解】因為，，，所以，因為是以B為直角頂點的直角三角形，所以，且三點不共線，由，得，解得或，當(dāng)時，，此時三點不共線，符合題意，當(dāng)時，，此時兩點重合，不合題意，舍去，綜上，，故選：A.8．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2021年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，，）（    ）A．2049年 B．2041年 C．2032年 D．2025年【答案】D【分析】設(shè)年研發(fā)資金開始超過200萬元，列出關(guān)于的不等式，利用指對互化，即可求解.【詳解】設(shè)年后研發(fā)資金開始超過200萬元，所以, 所以, 所以, 所以,所以2025年研發(fā)資金開始超過 200萬元,故選：D.9．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱中心的坐標(biāo)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到，再利用三角函數(shù)的圖象的對稱性，可得答案．【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式為，令，得．令k＝0，則，即平移后的圖象中與y軸最近的對稱中心的坐標(biāo)是.故選：A10．已知，則下列關(guān)系正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為：，分別作出函數(shù)和的圖象，利用函數(shù)圖象即可求解.【詳解】由題意知：，可得：，分別作出函數(shù)和的圖象，如圖所示：結(jié)合圖象，可得，故選：A.11．魏晉南北朝時期，我國數(shù)學(xué)家祖沖之利用割圓術(shù)，求出圓周率π約為，是當(dāng)時世界上最精確的圓周率結(jié)果，直到近千年后這一記錄才被打破．若已知π的近似值還可以表示成4sin52°，則的值為（    ）A． B． C．8 D．﹣8【答案】B【分析】將π＝4sin52°代入中，結(jié)合三角恒等變換化簡可得結(jié)果．【詳解】將π＝4sin52°代入中，得.故選：B12．已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意討論單調(diào)性即可求解.【詳解】當(dāng)時，令所以，所以在時單調(diào)遞增，對于A，由以上結(jié)論得即即，故A正確；對于B，由以上結(jié)論得即即，故B錯誤；對于C，因為，故只用判斷，由A選項知，但無法判斷是否成立，故C錯誤；對于D，只用判斷是否成立，根據(jù)題設(shè)條件，無法判斷是否成立，故D錯誤.故選:A. 二、填空題13．已知函數(shù)，則＝_____．【答案】π【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再借助誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值即可.【詳解】由求導(dǎo)得：，于是得，所以.故答案為：π14．若向量，滿足，，則與的夾角為______．【答案】##.【分析】根據(jù)向量的夾角公式結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為（），因為，，所以，因為，所以，故答案為：.15．若曲線與x軸有且只有2個交點，則a的最小值為____．【答案】1【分析】由和圖像分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】令，得，令，得或.在同一坐標(biāo)系作出和的圖像如圖所示：則，，，由題可知，當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有和兩個零點；當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有和兩個零點.綜上：或.所以的最小值為1.故答案為：116．某校開展數(shù)學(xué)活動，甲、乙兩同學(xué)合作用一副三角板測量學(xué)校的旗桿高度，如圖，甲站在B點測得旗桿頂端E點的仰角為45°，乙站在D點測得旗桿頂端E點的仰角為30°．已知甲、乙兩同學(xué)相距（BD）6米，甲的身高（AB）1.5米，乙的身高（CD）1.75米，則旗桿的高EF為 _________米．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：） 【答案】10.3【分析】過點A作AM⊥EF于M，過點N作CN⊥EF于N，由給定條件結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系列式即可計算旗桿EF的長．【詳解】過點A作AM⊥EF于M，過點C作CN⊥EF于N，如圖，顯然MN=0.25m，而，則AM＝ME，令AM=ME=xm，則CN=(x+6)m，EN=(x-0.25)m，又，于是有，解得x≈8.8，則EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3(m)，所以旗桿的高EF為10.3m.故答案為：10.3【點睛】思路點睛：涉及距離、高度測量問題，可以通過作垂線，轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題解決. 三、解答題17．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)求在區(qū)間上的值域.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）化簡，再利用周期公式得解；（2）利用不等式的性質(zhì)結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐步求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）解：∵，∴的最小正周期是．（2）解：∵，，∴在區(qū)間上的值域為．18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大??；(2)若，，求bc的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成角的形式，然后化簡可求出角A的大?。?/span>（2）利用余弦定理結(jié)合已知條件可求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理及已知可得．∵，∴．∴．∵，∴，∴．（2）根據(jù)余弦定理得，∵，∴．19．已知函數(shù)，．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的極小值．【答案】(1)(2)-1 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為0求得極值點，再列表分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）∵，∴．∵，∴切點為．又∵，∴曲線在點處的切線方程為．（2）令，得，解得，．當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表．xa0+0-0+↗極大值↘極小值↗ ∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴在處取得極小值為．20．我國作為世界上主要的產(chǎn)茶國，在全球茶葉生產(chǎn)、消費和出口中都占據(jù)重要地位．某茶葉銷售商通過上一年銷售統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，某種品牌的茶葉每袋進(jìn)價為40元，每袋茶葉的銷售價格（52≤x≤57，x∈N）與日均銷售量之間的函數(shù)關(guān)系如表：銷售價格（元/每袋）575655545352日均銷售量（袋）697275788184 (1)求平均每天的銷售量y（袋）與銷售單價x（元/袋）之間的函數(shù)解析式；(2)求平均每天的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/袋）之間的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)每袋茶葉的售價為多少元時，該茶葉銷售商每天可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】(1)y＝﹣3x+240（52≤x≤57，x∈N）(2)w＝﹣3x2+360x﹣9600（52≤x≤57，x∈N）(3)當(dāng)x＝57時，w取得最大值，且最大值為1173元 【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，可求求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合公式平均每天的銷售利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×平均每天的銷售量，即可求解．（3）根據(jù)（2）所得式子，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）由表可知，每箱銷售價格每提高1元，則日均銷售量減少3箱，∴y＝69﹣3（x﹣57），即y＝﹣3x+240（52≤x≤57，x∈N）．（2）∵某種品牌的茶葉每袋進(jìn)價為40元，∴w＝（x﹣4）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600（52≤x≤57，x∈N）．（3）∵w＝﹣3x2+360x﹣9600＝﹣3（x﹣60）2+1200（52≤x≤57，x∈N）．∴當(dāng)52≤w≤57，x∈N時，w為增函數(shù)，∴當(dāng)x＝57時，w取得最大值，且最大值為1173元．21．已知函數(shù)f(x)＝log2.（1）若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，求a的值；（2）若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差不小于2，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－<a≤－.【分析】（1）由解得，然后檢驗函數(shù)是奇函數(shù)即可；（2）由真數(shù)恒大于0即恒成立可得；（3）由函數(shù)單調(diào)性得，解之可得．【詳解】（1）若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0，解得a＝0.當(dāng)a＝0時，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函數(shù)，所以a＝0為所求．（2）若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，則＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0即可．（3）由已知，得函數(shù)f(x)是減函數(shù)，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f（1）＝log2.由題設(shè)，得log2(1＋a)－log2≥2?，解得－<a≤－.【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的研究方法是解題關(guān)鍵．22．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析【詳解】試題分析：（1）對分兩種情況討論，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2））因為，所以原不等式等價于，結(jié)合（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得以，所以，即，即.試題解析：（1），①若，則，在上為增函數(shù)；②若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在上，為增函數(shù)；在上，為減函數(shù).（2）因為，所以只需證，由（1）知，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以.記，則，所以，當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)，所以.所以當(dāng)時，，即，即. 

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