2022屆福建省福州第十八中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份2022屆福建省福州第十八中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版），共18頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022屆福建省福州第十八中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】.故選：B【點睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（二）、特殊角的三角函數(shù)值，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.2．若集合，0，，，，則（    ）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】把中元素代入中解析式求出的值，確定出，找出兩集合的交集即可．【詳解】解：把中，0，1代入中得：，1，即，，則，，故選：D．3．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡得到，計算得到答案.【詳解】.故選：.【點睛】本題考查了利用齊次式求值，意在考查學(xué)生的計算能力.4．若復(fù)數(shù)滿足，則=（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的運算法則與復(fù)數(shù)相等的概念求解即可【詳解】設(shè)，則，所以，，所以，所以.故選：A5．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，逐一計算各個選項中的函數(shù)，并分別判斷作答.【詳解】函數(shù)，對于A，，其圖象關(guān)于原點對稱，是奇函數(shù)，A是；對于B，，其圖象關(guān)于原點不對稱，不是奇函數(shù)，B不是；對于C，，其圖象關(guān)于原點不對稱，不是奇函數(shù)，C不是；對于D，，其圖象關(guān)于原點不對稱，不是奇函數(shù)，D不是.故選：A6．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，若，則（    ）A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】由條件可得是周期函數(shù)，周期為4，然后可得答案.【詳解】因為定義在R上的奇函數(shù)滿足，所以所以，所以是周期函數(shù)，周期為4所以故選：B7．將5個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別計算出5個1和2個0隨機排成一行的種數(shù)以及2個0不相鄰的種數(shù)，然后由古典概型的概率公式求解即可．【詳解】解：依題意總的排列方法有種，利用擋板法，5個1有6個位置可以放0，故2個0不相鄰的排列方法有種，所以所求概率為．故選：B．8．設(shè)函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時，.若，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合函數(shù)奇偶性，求出的對稱軸和對稱中心，利用已知條件和函數(shù)對稱關(guān)系求出和，再結(jié)合函數(shù)的對稱軸和對稱中心即可求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于軸對稱，所以關(guān)于對稱，則，因為為奇函數(shù)，則的圖像關(guān)于原點對稱，且，所以關(guān)于對稱，則，因為當(dāng)時，，所以，，因為，所以，故，從而當(dāng)時，，故.故選：A. 二、多選題9．某教師退休前后各類支出情況如下，已知退休前工資收入為9000元/月，退休后每月儲蓄的金額比退休前每月儲蓄的金額少1800元，則下面結(jié)論中正確的是（    ）A．該教師退休前每月儲蓄支出2700元B．該教師退休工資收入為6000元/月C．該教師退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍D．該教師退休后的其他支出比退休前的其他支出多【答案】AB【分析】由已知結(jié)合柱形圖求出該教師退休前每月的儲蓄支出判定；由題意求出該教師退休后每月儲蓄的金額，結(jié)合退休后儲蓄的金額的占比求出該教師退休后的月工資判定；分別求出退休前后的旅行支出判定；分別求出退休前后的其他支出判定．【詳解】解：退休前工資收入為9000元月，每月儲蓄的金額占，則該教師退休前每月儲蓄支出元，故正確；該教師退休后每月儲蓄的金額比退休前每月儲蓄的金額少1800元，則該教師退休后每月儲蓄的金額為900元，設(shè)該教師退休工資收入為元月，則，即元月，故正確；該教師退休前的旅行支出為元，退休后的旅行支出為元，該教師退休后的旅行支出是退休前旅行支出的2倍，故錯誤；該教師退休前的其他支出為元，退休后的其他支出為元，該教師退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故錯誤．故選：．【點睛】本題考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型，考查學(xué)生讀取圖表的能力，考查計算能力，屬于中檔題．10．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（    ）A．為函數(shù)的遞增區(qū)間B．為函數(shù)的遞增區(qū)間C．函數(shù)在處取得極小值D．函數(shù)在處取得極小值【答案】BD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象分析導(dǎo)數(shù)的正負情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的極值點.【詳解】解：由的導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸有個交點，交點橫坐標(biāo)分別為、、，且當(dāng)或時，當(dāng)或時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，在處取得極大值，在處取得極小值；故正確的有B、D；故選BD11．已知某批零件的長度誤差服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)的曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（    ）.（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．從中隨機取一件，．A．B．C．長度誤差落在內(nèi)的概率為0.1359D．長度誤差落在內(nèi)的概率為0.1599【答案】BC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合圖像、題中所給公式逐一判斷即可.【詳解】由圖中密度函數(shù)解析式，可得；又由圖像可知，則長度誤差落在內(nèi)的概率為：．故選：BC12．已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C．在上單調(diào)遞增 D．圖像關(guān)于直線對稱【答案】AC【分析】求出函數(shù)的解析式，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的周期，對稱軸，以及初相，判斷命題的真假即可．【詳解】解：由圖可知： ，；可得：，所以又，所以；由，，可得，所以又，可得，所以A選項正確，B選項錯誤；所以函數(shù)的解析式為：，則在R上的增區(qū)間滿足： 解得增區(qū)間為，所以當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，所以C選項正確；當(dāng)時，，所以直線不是的對稱軸，所以D選項不正確；故選：AC． 三、填空題13．在直角坐標(biāo)系中，若角始邊為軸的非負半軸，終邊為射線，則____．【答案】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求出結(jié)果．【詳解】在直角坐標(biāo)系中，角始邊為軸的非負半軸，終邊為射線，在射線上任取一點，則.故答案為：．14．已知：函數(shù)，若，則_____．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式代入計算可得.【詳解】解：因為，所以，所以由，可得，解得.故答案為：15．已知多項式，則_____．【答案】70【分析】利用賦值法令求出，再利用通項公式求出項，得到，即可求出.【詳解】令，可得，即，根據(jù)可得項為，所以，.故答案為：70.16．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)為_____．【答案】【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，然后解不等式可得出正整數(shù)的最小值.【詳解】由圖可知函數(shù)的最小正周期為，，，可得，所以，，則，取，則，，所以，，，由可得，則或，即或，（i）由可得，解得，此時，正整數(shù)的最小值為；（ii）由可得，解得，此時，正整數(shù)的最小值為.綜上所述，滿足條件的正整數(shù)的最小值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：根據(jù)三角函數(shù)或的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進而得出；（3）取特殊點代入函數(shù)可求得的值. 四、解答題17．已知數(shù)列前項和為，滿足，且．(1)求數(shù)列通項公式；(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用與的關(guān)系求數(shù)列的遞推關(guān)系式，得數(shù)列為等比數(shù)列，則通項公式可求；（2）根據(jù)（1）中通項公式，直接利用等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】(1)解：因為①所以當(dāng)時，得②則①-②得：即，即又當(dāng)時，，所以，其中所以，則故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列所以.(2)解：由（1）可得.18．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】(1)函數(shù)的最小正周期為：(2)函數(shù)在區(qū)間的值域為：． 【分析】（1）由輔助角公式可得的解析式，進而求出函數(shù)的解析式，可得函數(shù)的周期；（2）求出函數(shù)的解析式，由解出函數(shù)的值域．【詳解】(1)解：由輔助角公式得：，則 ，所以該函數(shù)的最小正周期； 函數(shù)的最小正周期為：.(2)由（1）可知，由可得， 即函數(shù)在區(qū)間的值域為：．19．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點，為棱上的點，．(1)證明：；(2)當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最大？【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)時，面與面所成的二面角的正弦值最大． 【分析】（1）連接，易知，，由，，再利用勾股定理求得和的長，從而證明，然后以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，證得，即可；（2）易知平面的一個法向量為，0，，求得平面的法向量，再由空間向量的數(shù)量積可得，從而知當(dāng)時，得解．【詳解】(1)證明：連接，，分別為直三棱柱的棱和的中點，且，，，，，，，，即，故以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ， 設(shè)，且，則， ， ，，即．(2)解：平面，平面的一個法向量為，由（1）知，， ，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，，，又當(dāng)時，面與面所成的二面角的余弦值最小，此時正弦值最大，故當(dāng)時，面與面所成的二面角的正弦值最大．20．口袋中有5個紅球，若干個白球、黑球，現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出兩個球都是紅球的概率為，一紅一黑的概率為.(1)求白球黑球各有多少個；(2)求．【答案】(1)2個白球，3個黑球；(2)1. 【分析】（1）分別求出“取出兩個球都是紅球”， “取出兩個球一紅一黑”的概率，列方程求解即可；（2）寫出的分布列，利用期望的公式計算即可.【詳解】(1)設(shè)口袋中有個白球，個黑球，“取出兩個球都是紅球”為事件，“取出兩個球一紅一黑”為事件，所以，解得①，，解得，將代入①得，所以口袋中有2個白球，3個黑球.(2)根據(jù)題意可知，，，，，的分布列如下：012 .21．已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2．(1)求的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點，點在上，點滿足，求直線斜率的最大值．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）根據(jù)焦點到準(zhǔn)線的距離為2求出，進而得到拋物線方程，（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，按照向量關(guān)系得出點坐標(biāo)，再代入拋物線方程中，利用基本不等式即可求出最值．【詳解】(1)拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；(2)設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點的軌跡方程為，所以直線的斜率，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，因為，此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；當(dāng)時，；綜上，直線的斜率的最大值為.22．已知(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)，若曲線和在上有且僅有兩個交點，求的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為(2) ． 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分和兩大類，討論在上的正負性，即可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）利用參變分離法，可使原問題等價于在上有兩個根，構(gòu)造函數(shù)，確定在上的單調(diào)性與取值情況，即可得的取值范圍.【詳解】(1)解：函數(shù)的定義域為：令，即則 ①當(dāng)時，即，此時恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時，即的兩個根為，且 當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；③當(dāng)時，即的兩個根為，且 此時恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增； 綜上：當(dāng)時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當(dāng)時，的增區(qū)間為.(2)解：由題可知在上有兩個根則，即在上有兩個根設(shè)，令，則恒成立所以在上單調(diào)遞增，且所以時，，在上單調(diào)遞減，時，，在上單調(diào)遞增，又，，則所以 .【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和兩曲線交點問題，利用參變分離將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值問題，并構(gòu)造新函數(shù)是解題關(guān)鍵，考查課轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運算能力，是一道綜合題.23．設(shè)函數(shù).(1)若在點處的切線為，求a，b的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間. 【答案】(1)，；(2)答案見解析. 【分析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點在曲線，切點在切線，切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.【詳解】(1)的定義域為，，因為在點處的切線為，所以，所以；所以把點代入得：.即a，b的值為：，.(2)由（1）知：.①當(dāng)時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，解得：，列表得：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增 所以，時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問題第一步求導(dǎo)，第二步列切點在曲線，切點在切線，切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個方程，可解切線相關(guān)問題.