?2022屆福建省福州高級中學高三上學期第三階段考試數(shù)學試題

一、單選題
1．已知集合，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題知，，再求交集即可.
【詳解】解：，
，
所以
故選：B
2．若已知直線：與圓：交于兩點，則“”是“弦所對圓心角為”的(????)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】結合已知條件，首先利用，看是否能推出弦所對圓心角為，然后再利用弦所對圓心角為，求出的值，最后根據(jù)充分性和必要性定義即可求解.
【詳解】由圓：，故圓的圓心坐標為，半徑，
直線：化成一般式為：，
①若，則直線：，即，
所以圓心到直線的距離，
所以由圓的弦長公式得，，
所以，故，
從而弦所對圓心角為；
②若弦所對圓心角為，結合圓的性質(zhì)可知，為等腰直角三角形，
易得，圓心到直線的距離，
又因為，故，
從而“”是“弦所對圓心角為”的充分不必要條件.
故選：A.
3．已知直線和平面、有如下關系：①；②；③；④.則下列命題為真的是（????）
A．①③④ B．①④③ C．③④① D．②③④
【答案】C
【分析】利用面面垂直的性質(zhì)可判斷A選項的正誤；由空間中線面位置關系可判斷B選項的正誤；利用線面垂直的判定定理和線面平行的性質(zhì)定理可判斷C選項的正誤；利用面面平行的性質(zhì)可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A選項，由①③可知，或，A錯；
對于B選項，由①④可知，與的位置關系不確定，B錯；
對于C選項，過直線作平面，使得，，則，，，
，，C對；
對于D選項，由②③可知，，D錯.
故選：C.
【點睛】本題考查空間中有關線面位置關系命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題.
4．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合白般好，隔離分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，有時可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖象函數(shù)為奇函數(shù)，排除D；再根據(jù)函數(shù)定義域排除B；再根據(jù)時函數(shù)值為正排除A；即可得出結果.
【詳解】由題干中函數(shù)圖象可知其對應的函數(shù)為奇函數(shù)，
而D中的函數(shù)為偶函數(shù)，故排除D；
由題干中函數(shù)圖象可知函數(shù)的定義域不是實數(shù)集，故排除B；
對于A，當時，，不滿足圖象；對于C，當時，，滿足圖象.
故排除A，選C.
故選：C
5．從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為（????）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】直接利用枚舉法寫出所有的等比數(shù)列即可得到答案.
【詳解】（2）以1為首項的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9；
以2為首項的等比數(shù)列為2，4，8；
以4為首項的等比數(shù)列為4，6，9；
把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個數(shù)列，
∴所求的數(shù)列共有2（2＋1＋1）＝8個.
故選：D.
【點睛】本題考查了等比關系的確定，考查了學生觀察問題的能力，是中檔題.
6．已知A?B為橢圓的左、右頂點，F(xiàn)為左焦點，點P為橢圓上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線與線段PF交于M點，與y軸交于E點，若直線BM經(jīng)過OE中點，則橢圓的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)已知條件求出三點坐標，再由三點共線可得斜率相等，從而得出可得答案.
【詳解】由題意可設，設直線的方程（由題知斜率存在）為，令，可得，令，可得，設的中點為，可得，由三點共線，可得，即，即為，可得，
故選：C.

【點睛】本題考查求橢圓的離心率，解題關鍵是根據(jù)三點共線找到關于的等量關系.
7．設均為正數(shù)，且，，．則（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】A
【分析】試題分析：在同一坐標系中分別畫出，， 的圖象，

與 的交點的橫坐標為， 與的圖象的交點的橫坐標為 ，與 的圖象的交點的橫坐標為，從圖象可以看出．
【解析】指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的應用．
【方法點睛】一般一個方程中含有兩個以上的函數(shù)類型，就要考慮用數(shù)形結合求解，在同一坐標系中畫出兩函數(shù)圖象的交點，函數(shù)圖象的交點的橫坐標即為方程的解．
【詳解】8．若對任意的，，且，都有，則的最小值是（????）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】已知不等式變形為，引入函數(shù)，則其為減函數(shù)，由導數(shù)求出的減區(qū)間后可的最小值．
【詳解】因為，所以由可得，
，即．
所以在上是減函數(shù)，
，
當時，，遞增，時，，遞減，
即的減區(qū)間是，
所以由題意的最小值是．
故選：A．

二、多選題
9．若實數(shù)，滿足，則（????）
A．的共軛復數(shù)為 B．
C．的值可能為 D．
【答案】BCD
【分析】由復數(shù)相等的定義求出的關系，并求得的可能值，然后判斷各選項.
【詳解】因為.
所以，，
即，，則.解得或，
故A錯誤，B，C，D均正確.
故選：BCD.
10．已知平面向量，若是直角三角形，則的可能取值是（????）
A．-2 B．2 C．5 D．7
【答案】BD
【分析】討論三角形直角的情況，結合向量垂直的坐標表示即可求解
【詳解】，，，
若，則，
∴，解得；
若，則，
∴，此時方程無解；
若，則
∴，解得．
結合選項可知BD正確，
故選：BD
11．在正方體中，點是棱的中點，點是線段上的一個動點．以下四個命題中真命題是（????）

A．異面直線與所成的角是定值
B．三棱錐的體積是定值
C．直線與平面所成的角是定值
D．二面角是定值
【答案】AB
【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，利用坐標法求解異面直線所成角判斷A；根據(jù)三棱錐的體積等于三棱錐的體積，面判斷B；利用坐標法求解線面角判斷C；討論點為中點時和點與點重合時二面角的大小判斷D.
【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為，
所以，，，，，，，，，，
所以，對于A選項，，，
所以，即，
所以異面直線與所成的角是，是定值，A選項正確；
對于B選項，由正方體的性質(zhì)知，故四邊形是平行四邊形，
所以，，因為面，面，
所以面，而是線段上的一個動點，即到面距離恒定，
所以，三棱錐的體積恒定.
因為三棱錐的體積等于三棱錐的體積，
所以三棱錐的體積是定值，故B選項正確；
對于C選項，設平面的法向量為，，
所以，即，故，
，
所以，，
顯然隨著的變化在變化，
所以，直線與平面所成的角不是定值，故C選項錯誤；
對于D選項，設平面的法向量為，平面的法向量為，
所以，當點為中點時，，，，，
，即，令，則，
，即，令，則，
，
所以，當點為中點時，二面角的余弦值為；
當點與點重合時，，，，，
，即，則，
，即，令，則，

所以，當點與點重合時，二面角的余弦值為，
所以，二面角不是定值，故錯誤；
故選：AB

12．若函數(shù)有兩個極值點，且，則下列結論中正確的是（????）
A． B．的取值范圍是
C． D．
【答案】ACD
【分析】求結合題設，將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個交點，，利用導數(shù)研究的性質(zhì)并畫出圖象，應用數(shù)形結合即可判斷A、B的正誤；由零點可得，應用放縮即可判斷C的正誤；令易得，應用分析法需證成立，結合導數(shù)研究的值域范圍，即可判斷D的正誤.
【詳解】，有兩個極值點，且，
∴，有兩個零點，，且在，各自兩邊異號，
∴與有兩個交點，，
記，則，易知：時，時，
∴在上遞增，在上遞減，即在上遞增，在上遞減．
∴有最大值，且時；時，又，，
由上的圖象如下，

∴當且僅當時與有兩個交點，才符合條件，且，故A正確，B不正確．
又，
∴，故 C正確．
令，則，
∴，則，，
∴要證，只需證，只需證，
令，則，
∴在上單調(diào)遞減，即時，不等式得證，故D正確．
故選：ACD
【點睛】關鍵點點睛：將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個交點，，應用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，由數(shù)形結合判斷參數(shù)范圍；根據(jù)零點處的等量關系及放縮法證明不等式；由分析法轉(zhuǎn)化證明的結論，再構造函數(shù)并利用導數(shù)研究函數(shù)值域，即可證明不等式.

三、填空題
13．函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知分別是最高點、最低點，且滿足（為坐標原點），則__________．

【答案】
【分析】由已知部分函數(shù)圖象可知，即可求，再由向量垂直的坐標表示求A，最后由求，即可寫出的解析式.
【詳解】由圖象知：，即，則，可得，
∴，的橫坐標為，即，
∵，
∴，則，，得，
∴，
由五點作圖法知：，得，
綜上，函數(shù)的解析式為．
故答案為：

14．已知小李每次打靶命中靶心的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率．先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每個隨機數(shù)為一組，代表三次打靶的結果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：
321??421??191??925??271??932??800??478??589??663
531??297??396??021??546??388??230??113??507??965
據(jù)此估計，小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率為_________．
【答案】0.3##
【分析】確定隨機數(shù)組中以恰有兩個數(shù)字是0，1，2，3，再由古典概型的概率公式計算即可．
【詳解】解：由題意，隨機數(shù)組421，191，271，932，800，531共6個，表示恰有兩次命中十環(huán)，
所以小李三次打靶恰有兩次命中靶心的概率為．
故答案為：0.3．
15．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，依次構成的數(shù)列的第n項，則的值為__________．

【答案】##
【分析】由累加法求出，再由裂項相消法求和即可
【詳解】設第個數(shù)為，
則，，，，…，，
疊加可得，
∴．
故答案為：
16．在三棱錐中，，，平面，且在三角形中，有，則該三棱錐外接球的表面積為_________．
【答案】
【分析】由正弦定理化邊為角化簡可求得，再由正弦定理可求得的外接圓的半徑，即可利用勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，進而求出表面積.
【詳解】解：在中，，
則由正弦定理得，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
由正弦定理，，得三角形的外接圓的半徑為，
設該三棱錐外接球的半徑為，∵平面，
∴，
∴該三棱錐外接球的表面積為，
故答案為：．

四、解答題
17．已知數(shù)列滿足
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前20項的和．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）由題設可得為等差數(shù)列并寫出數(shù)列通項公式，由已知可得，即可寫出的通項公式.
（2）由題設有，利用分組求和，結合等差、等比前n項和公式求和即可.
【詳解】（1）由題意，，
∴為等差數(shù)列，公差，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，則且，
∴，即為等比數(shù)列，公比，
∴．
（2）數(shù)列的前20項的和．
18．如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，，.在AB邊上取點E，使得，連接EC，ED．若，.

（1）求的值；
（2）求CD的長.
【答案】（1）；（2）7.
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，代入已知條件即可求解；
（2）由同角三角函數(shù)關系求出，進而求出，由余弦定理得，計算可得CD.
【詳解】（1）在中，由正弦定理，知，
因為，，，
所以；
（2）因為，所以，
所以，
因為，所以為直角三角形，又，
所以，
在中，，
所以.
【點睛】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應用，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于?？碱}.
19．某市為了解2020年十一雙節(jié)期間市民旅游出行的方式及滿意程度，對去該市市區(qū)內(nèi)甲?乙?丙三個景點旅游的市民進行了調(diào)查.現(xiàn)從中隨機抽取100人作為樣本，得到下表(單位：人)：
滿意度得分
甲
乙
丙
報團游
自駕游
報團游
自駕游
報團游
自駕游
10分
12
1
12
10
7
14
5分
4
1
4
4
4
9
0分
1
0
7
2
1
7
合計
17
2
23
16
12
30

（1）從樣本中任取1人，求這人沒去丙景點的概率；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.針對甲?乙?丙三個景點，從全市十一雙節(jié)期間旅游出行選自駕游的所有人中，隨機選取2人，記X為去乙景點的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；
（3）如果王某要去甲?乙?丙三個景點旅游，那么以滿意度得分的均值為依據(jù)，你建議王某是報團游還是自駕游？說明理由.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望為；（3）建議王某選報團游，理由見解析.
【分析】（1）由表格中所給數(shù)據(jù)，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意得到隨機變量的所有可能取值，結合獨立重復試驗的概率計算公式，求得相應的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（3）由題干所給表格中的數(shù)據(jù)，分別求得報團游滿意度和自駕游滿意度的均值，結合均值的比較，即可得出結論.
【詳解】（1）設事件“從樣本中任取1人，這人沒去丙景點”為事件A，
由表格中所給數(shù)據(jù)可得，去甲、乙、丙旅游的人數(shù)分別為19，39，42，
所以從樣本中任取1個，這人沒去丙景點的概率為.
（2）由題意，的所有可能取值為0，1，2，
從全市十一雙節(jié)期間旅游出行選自駕游的所有人中，隨機選取1人，
此人去乙景點的概率是，
所以，，，
所以隨機變量的分布列為

0
1
2





故.
（3）由題干所給表格中的數(shù)據(jù)可知，報團游?自駕游的總人數(shù)分別為52，48，得分為10分的報團游?自駕游總人數(shù)分別為31，25，得分為5分的報團游?自駕游的總人數(shù)分別為12，14，得分為0分的報團游?自駕游總人數(shù)分別為9，9，
所以從滿意度來看，報團游滿意度的均值為，
自駕游滿意度的均值為，
因為，所以建議王某選報團游.
【點睛】獨立重復試驗與二項分布問題的類型及解題策略：
1、在求次獨立重復試驗中事件發(fā)生次的概率時，首先要確定好和的值，再準確利用公式求解；
2、在根據(jù)獨立重復試驗求二項分布的有關問題時，關鍵時理清事件與事件之間的關系，確定二項分布的試驗次數(shù)和變量的概率，求得概率.
20．請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答．
①AB⊥BC，②FC與平面ABCD所成的角為，③∠ABC．
如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中點為F．

（1）在線段AB上是否存在一點G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由；
（2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．
【答案】（1）存在，G是線段AB的中點，證明見解析；（2）詳見解析
【分析】(1)設PC的中點為H，連結FH，由題意得AGHF為平行四邊形，則AF∥GH，由此能證明在線段AB上存在中點G，使得AF∥平面PCG．
(2)選擇①AB⊥BC，推導出AB，AD，AP彼此兩兩垂直，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角 F﹣AC﹣D的余弦值．選擇②FC與平面ABCD所成的角為，取BC中點E，連結 AE，取AD的中點M，連結FM，CM，則FM∥PA，且FM＝1，F(xiàn)M⊥平面ABCD，F(xiàn)C與平面 ABCD所成角為∠FCM，，推導出AE，AD， AP彼此兩兩垂直，以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．選擇③∠ ABC，推導出PA⊥BC，取BC中點E，連結AE，推導出 AE，AD，AP彼此兩兩垂直，以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角 F﹣AC﹣D的余弦值．
【詳解】(1)在線段AB上存在中點G，使得AF∥平面PCG．
證明如下：如圖所示：

設PC的中點為H，連結FH，
因為，， ，，
所以
所以四邊形AGHF為平行四邊形，
則AF∥GH，
又GH?平面PGC，AF?平面PGC，
∴AF∥平面PGC．
(2)選擇①AB⊥BC：
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
由題意知AB，AD，AP彼此兩兩垂直，
以AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

∵PA＝AB＝2，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，F(xiàn)(0，1，1)，P(0，0，2)，
∴(0，1，1)，(﹣2，﹣1，1)，
設平面FAC的一個法向量為(x，y，z)，
∴，
取y＝1，得(﹣1，1，﹣1)，
平面ACD的一個法向量為(0，0，1)，
設二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，
則cosθ，
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．
選擇②FC與平面ABCD所成的角為：
∵PA⊥平面ABCD，取BC中點E，連結AE，取AD的中點M，連結FM，CM，
則FM∥PA，且FM＝1，
∴FM⊥平面ABCD，
FC與平面ABCD所成角為∠FCM，∴，
在Rt△FCM中，CM，
又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，
∴AE，AD，AP彼此兩兩垂直，
以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

∵PA＝AB＝2，
∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C(，1，0)， D(0，2，0)，E(，0，0)，F(xiàn)(0，1，1)，P(0，0，2)，
∴(0，1，1)，( ，0，1)，
設平面EAC的一個法向量為(x，y，z)，
則，
取x，得( ，﹣3，3)，
平面ACD的一個法向量為：(0，0，1)，
設二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，
則cosθ．
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．
選擇③∠ABC：
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，取BC中點E，連結AE，
∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，
∵E是BC的中點，∴BC⊥AE，
∴AE，AD，AP彼此兩兩垂直，
以AE、AD、AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

∵PA＝AB＝2，
∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C(，1，0)， D(0，2，0)，E(，0，0)，F(xiàn)(0，1，1)，P(0，0，2)，
∴(0，1，1)，( ，0，1)，
設平面EAC的一個法向量為(x，y，z)，
則，
取x，得( ，﹣3，3)，
平面ACD的法向量(0，0，1)，
設二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ，
θ則cosθ．
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為．
【點睛】本題主要考查滿足線面平行的點是否存在的判斷與求法，二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等，還考查了運算求解能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．
21．已知橢圓：的離心率為，點是橢圓短軸的一個四等分點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設過點A且斜率為的動直線與橢圓交于，兩點，且點，直線，分別交：于異于點的點，，設直線的斜率為，求實數(shù)，使得，恒成立.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)點是橢圓短軸的一個四等分點，求得b，再根據(jù)離心率和，即可求得a，從而得出答案；
（2）設，直線MN的方程為，則直線BM的方程為，與聯(lián)立，利用韋達定理可求得點，的坐標，從而得出直線的斜率，整理可得出結論.
【詳解】解：（1）因為點是橢圓短軸的一個四等分點，
所以，
又，且，
則，所以，，
所以橢圓的標準方程為；
（2）設，直線MN的方程為，
則直線BM的方程為，與聯(lián)立，
得：，
由，且點在上，得，
又，即，代入上式得，
，
即點，同理，
則，
將代入上式，
得，
所以時，，恒成立.
【點睛】本題考查了根據(jù)離心率求橢圓的標準方程及直線與橢圓、圓的位置關系，考查了計算能力和邏輯推理能力，難度較大.
22．已知函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
(2)若，關于的方程有且僅有一個根，求實數(shù)的取值范圍．
(3)若對任意的，，不等式均成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最大值即可;
(2)若,關于的方程有且僅有一個根,即有且只有一個根,令,進而研究函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
(3)設,因為在單調(diào)遞增,故原不等式等價于函數(shù)和均在上單調(diào)遞增,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)a的取值范圍
【詳解】（1）解：當時, ，,
所以，當時，，時，，
所以，在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,
因為，當時,, 當時,,
所以，在區(qū)間上的最大值為．
（2）解：當時, 關于的方程為有且僅有一個實根,
所以，有且僅有一個實根,
設,
則,
所以，當時，，當時，，
所以，在和上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增,
因為,
當趨近于時，趨近于，趨近于時，趨近于，
所以，有且僅有一個實根, 則實數(shù)的取值范圍是．
（3）解：不妨設,則恒成立．
因此恒成立, 即恒成立,
且恒成立,
所以，函數(shù)和均在上單調(diào)遞增,
設,
則在上上恒成立,
因此在上恒成立，因此,
因為在上單調(diào)遞減,
所以，時,，即．
由在上恒成立,
因此在上恒成立, 因此,
設,則，解得
所以，當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增．
所以，，即
綜上，實數(shù)的取值范圍是
【點睛】本題第三問解題的關鍵在于根據(jù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和均在上單調(diào)遞增,進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)即可.

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